無理數(shù)的存在性證明及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 21:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為對數(shù)的底，由于人們習(xí)慣使用十進制的數(shù)，因此從實際計算的角度看，采用以10為底的“常用對數(shù)”是比較方便的，但是，常用對數(shù)的真數(shù)N與其對數(shù)lgN的增長表現(xiàn)出明顯的不對稱性，而且當(dāng)真數(shù)均勻增長時，lgN的增長卻不均勻，從美學(xué)的角度講，這是不十分理想的. 而在尋求表現(xiàn)對稱美的對數(shù)底數(shù)的嘗試中，發(fā)現(xiàn)了以數(shù)列中各項依次作底，會使對稱性越來越好，因此若采用為底，就可以達到完全的對稱. 另一方面，在理論研究中，使用以為底的對數(shù)比常用對數(shù)更為方便. 特別的是，反映自然界規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，若是以指數(shù)形式或?qū)?shù)形式出現(xiàn)，則必定是而且只是以為底的. 所以為底的對數(shù)叫做自然對數(shù). 微積分的出現(xiàn)，使人們對使用以為底的指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)的好處有了更為清醒的認識，如下列運算中不可避免地要出現(xiàn)以為底的自然對數(shù)：，. 而以為底的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)在形式上卻簡單的多：從而；更為特殊，它有任意階導(dǎo)數(shù)且形式不變，即，它是唯一具有這一特性的函數(shù). 并有，這一性質(zhì)在求解微分方程中得到充分地應(yīng)用. 因此對研究具有重要的意義.4 的存在性與無理性證明 的存在性證明證明極限 首先給出關(guān)于極限存在的兩個基本準則. （I） 夾逼準則：如果函數(shù)且，那么.（II） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 這個函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，人們稱之為冪指數(shù)函數(shù). 只有當(dāng)時這個函數(shù)才有定義，故只對與來證明. 當(dāng)時，首先讓取正整數(shù)，即若而有伯努利不等式，這個不等式可由二項式定理推出，并且對時不等式仍然成立，可由由數(shù)學(xué)歸納法證明. 因此，對伯努利不等式將換成，便有或者故對有說明是隨的增加而增加的，即是單調(diào)增加數(shù)列，另一方面由二項定理知說明是單調(diào)增加有界數(shù)列，根據(jù)準則II，的極限存在，用表示，即 （1）其次，對任意，必存在兩個相鄰的整數(shù)與，使得，因而從而或者當(dāng)時，并且，，由準則I知 （2）當(dāng)時，而當(dāng)時，，所以 （3）綜合(1)，(2)，(3)對于與，極限得到了證明. 接下來討論極限的確定與其值的求法.由二項定理及(1)可得到的表達式或者由此可知是個無理數(shù)，整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是個無限不循環(huán)小數(shù). 數(shù)的近似值可以通過的麥克勞林展開式：，[5]當(dāng)時， 如取，可得，由此計算方法可見，若要求精度越高，則取的越大，且計算每一項的精確度比要求的精度要高，當(dāng)時高一位，時高二位，如此類推. 的無理性證明證明是無理數(shù)的方法很多，這里只介紹一種簡單易懂的方法. 首先有： ，那么，說明不是一個整數(shù). 為了證明是一個無理數(shù)，可用反證法，假設(shè)是有理數(shù)，那么就令，其中、均為正整數(shù). 由于不是整數(shù)，故≥2. 于是有： 顯然等式左邊的為整數(shù)，而等式左邊的第一項也為整數(shù)，故等式右邊第二項也為整數(shù)從知 因此 ，這與整數(shù)的性質(zhì)矛盾，故為無理數(shù). 5 的應(yīng)用 在求極限中的應(yīng)用，這是一個重要的極限，它在求解一些極限時有著重要的作用。例1:求極限解：因為 ，所以例2:求極限解：注： 即 例3:求極限分析：這道題不易直接運用極限四則運算法則求解，考慮把分解為與相類似的因式的積或商.解：因為所以 總結(jié)：在求解一些極限時，起到事半功倍的效果.
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