【文章內容簡介】 個一般的線性矩陣不等式問題；（5）驗證結果。下面我們介紹LMI工具箱中的幾個重要函數：（1）setlmis（[ ]）：初始化的LMI系統(tǒng)。（2）lmivar（type，struct）：增加新的矩陣變量X到當前的LMI系統(tǒng)中。其中，type (類型）：根據變量X的不同類型設置（1~3），1表示矩陣變量X為對稱塊對角陣，2表示矩陣變量X為滿秩陣，3表示矩陣變量X為其它；struct（結構）：若type=1,則struct的第i行描述X的第i個塊對角陣，其中struct（i，1）代表塊的大小，struct（i，2）代表塊的性質，如果是尺度塊t*I，則struct（i，2）取0，如果是滿塊，則取1，如果是0塊，則取1。若type=2，假如X是矩陣，則struct=[M，N]。若type=3,則struct是一個與X同維的矩陣，其中，struct（i，j）取值為：當X（i，j）=0，struct（i，j）=0，當X（i，j）為第n個待求變量時，struct（i，j）=+n，當X（i，j）為第n個待求變量乘上（1）時，struct（i，j）=n。（3）lmiterm（termID，A，B，flag）：給定前描述的LMI系統(tǒng)中的某個LMI增加一項。其中，termID為4輸入向量，用來指定項的位置和性質。對于termID（1）：若該項位于第n個LMI的左邊，則termID（1）=+n，若該項位于第n個LMI的右邊，則termID（1）=n。對于termID（2：3）：若該項屬于LMI的第（i，j）塊，則termID（2：3）=[i，j]，若該項屬于外部因子，則termID（2：3）=[0 0]。對于termID（4）：若該項屬于常數項，則termID（4）=0，若該項屬于變量項，則termID（4）=m，若該項屬于變量項：termID（4）=m，其中，m為由函數lmivar返回的變量X的標識。A可以是外部因子，常數項或者變量項或的左系數，B是變量項或的右系數。flag：設置flag=39。s39。，在一個lmiterm函數內快捷定義表達式。（4）LMIs=getlmis：如果系統(tǒng)已經用lmivar和lmiterm進行了完整描述，則返回這個LMI系統(tǒng)的內部描述LMIs。內部描述LMIs能夠直接傳遞到求解工具或者其它LMILab函數中去。（5）[，xfeas]=feasp（LMIs，options，target）：求解LMI系統(tǒng)定義的線性矩陣不等式約束條件問題的可行解。如果問題是可解的，則輸出xfeas將是待求向量的可行值。給定的可解性問題，解決凸優(yōu)化過程：對：求：minimize t如果LMI系統(tǒng)可解，則極小化值將是負的。feasp在每次迭代過程中給出t的當前最佳值。LMIs：LMI約束的描述；options（選擇項）：控制參數的5輸入向量。Target（選擇項）：的目標值（缺省值=100）。一旦Target，則代碼終止。：終止時的。而且僅當LMI系統(tǒng)是可解的。xfeas：相應的極小化值，如果，xfeas將是LMI約束的一個可行向量。使用dec2mat可以從xfeas取出相應的矩陣變量的值.（6）[copt，xopt]=mincx（LMIs，c，options，xinit，Target）：針對約束，極小化。其中，X是待求變量。LMIs：LMI約束的系統(tǒng)描述；c：與X同維的向量；options（選擇項）：控制參數的5輸入向量；xinit（選擇項）：X的初始值。Target（選擇項）：目標值，一旦可行的X找到，即：Target，中斷迭代；copt：目標的極小化值；xopt：待求變量X的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應的矩陣變量的值。（7）[，xopt]=gevp（LMIs，nlfc，options，，target）：求解廣義特征值最小化問題。對LMI約束，以及 （j=1,...,nlfc），求minimize t。這里x表示待求變量。正定約束必須很好限定，涉及t的LMIs必須最后限定。LMIs：LMI約束的系統(tǒng)描述；nlfc：涉及t的LMIs的數目；options（選擇項）：控制參數的5輸入向量；，（選擇項）：t，x的初始值；target（選擇項）：的目標值，只要t小于這個值，則代碼終止；：t的最小值；xopt：待求變量x的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應的矩陣變量的值。 本章小結本章通過線性矩陣不等式算法（LMI）、基礎和工具箱三方面，對LMI的一般形式、可解決問題的分類以及應運軟件等方面內容進行了分析。線性矩陣不等式做為有效解決系統(tǒng)的魯棒控制問題及其控制理論中引起的其它控制問題的方法，在當今社會的各個領域都得到了廣泛的應用，隨著各行業(yè)的飛速發(fā)展，理論的進一步完善，LMI應用的普遍性亦可得到證實。3 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點配置算法研究 精確極點配置對于線性系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定性取決于狀態(tài)的零輸入響應，因而取決于系統(tǒng)極點的分布，當極點的實部小于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當極點分布在虛軸上時，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當幾點的實部大于零時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時，系統(tǒng)動態(tài)響應的基本特性也依賴于極點的分布，若系統(tǒng)極點是負實數，則系統(tǒng)動態(tài)響應時非周期的，按指數規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于極點的分布；若系統(tǒng)極點是具有負實部的共軛復數，則其動態(tài)響應是衰減振蕩的，振蕩的頻率取決于極點的虛部，而振幅衰減的快慢由極點的實部決定。因此將系統(tǒng)極點配置在指定位置，可以使系統(tǒng)滿足性能指標的要求，從而改善系統(tǒng)的基本特性，具有實際的理論意義。 問題描述 在極點配置方法中為使全部的閉環(huán)極點位于期望的位置上，需要反饋全部的狀態(tài)變量。但在實際系統(tǒng)中，不可能測量到全部的狀態(tài)變量，為了實現狀態(tài)反饋，利用狀態(tài)觀測器對位置的狀態(tài)變量進行估計是十分必要的。給定線性定常系統(tǒng)為： （） 選取 （）式中，X為n維狀態(tài)向量；u為p維狀態(tài)向量；A和B為相應維數的常數陣。若給定n個反饋性能的期望閉環(huán)極點為 （）則極點配置的設計問題就是確定一個狀態(tài)反饋增益矩陣K，使狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) （）的極點為，即 （）其中，表示的特征值。 算法步驟 當系統(tǒng)狀態(tài)完全可控時，可以通過狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點配置到復平面的任何位置。極點配置有兩種方法：第一種方法是采用變換矩陣T，使系統(tǒng)具有期望的極點，從而求出矩陣K；第二種方法基于CaylayHamilton理論，通過矩陣特征多項式，求出K（稱為Ackermann公式）[5]。（1） 矩陣變換法極點配置步驟：第1步 檢查系統(tǒng)的可控性，當時系統(tǒng)可控（在MATLAB中可以用 實現），其中cam為可控性矩陣；第2步 確定系統(tǒng)矩陣A的特征多項式系數：（在MATLAB中可用poly函數實現）；第3步 確定變換矩陣T：（在MATLAB中hankd（）函數用于計算）；第4步 確定期望特征多項式系： 第5步 求增益矩陣K： 。（2） Ackermann公式極點配置步驟：第1步 檢查系統(tǒng)的可控性，當；第2步 確定系數；第3步 求；第4步 求增益矩陣K：。 仿真分析MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了進行極點配置的函數acker（）和place（），它們的調用格式如下：K=acker（A，B，P）K=place（A，B，P）其中，K為狀態(tài)反饋矩陣，P為希望配置的極點位置，acker函數用于SISO系統(tǒng)的極點配置設計，place函數用于MIMO系統(tǒng)的極點配置設計。 對于已知系統(tǒng)（）假設其參數分別為： 。希望的閉環(huán)極點為，試設計狀態(tài)反饋矩陣K，并計算當系統(tǒng)初始條件為時的響應。用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供的place函數和acker函數進行極點配置設計的程序如下：clear all。close all。A=[0,1,0。0,0,1。0,2,3] 。 B=[0。0。1]。if rank(ctrb(A,B))==3 P=[2+j*sqrt(3),2+j*sqrt(3),10]。K=acker(A,B,P)。 sys_new=ss(AB*K,B,eye(3),zeros(3,1))t=0::5。y=initial(sys_new,[1。0。0],t)。 figure(1)plot(t,y(:,1))。gridxlabel(39。t39。)。ylabel(39。x139。)。title(39。initial response39。)。figure(2)plot(t,y(:,2))。gridxlabel(39。t39。)。ylabel(39。x239。)。title(39。initial response39。)。figure(3) plot(t,y(:,3))。gridxlabel(39。t39。)。ylabel(39。x339。)。title(39。initial response39。)。grid else message(39。This system not controllable,can not pole allocation39。)end運行結果如下：狀態(tài)反饋矩陣 K=[70 45 11]對應的控制律為 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應曲線如下圖31（a，b，c）所示。 圖31（a）變量下系統(tǒng)的零輸入響應曲線 圖31（b）變量下系統(tǒng)的零輸入響應曲線 圖31（c）變量下系統(tǒng)的零輸入響應曲線 圖31 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應曲線 具有穩(wěn)定裕度的區(qū)域極點配置在