【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 O線(xiàn)性定常系統(tǒng)，能便利地處理這一類(lèi)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析或頻率法的分析和設(shè)計(jì)。但是，對(duì)于MIMO系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)，這種數(shù)學(xué)模型就無(wú)能為力。傳遞函數(shù)僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性，不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)變化特性。因而是一種對(duì)系統(tǒng)的外部動(dòng)態(tài)特性的描述，這就使得它在實(shí)際應(yīng)用中受到很大的限制?，F(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述的。它能反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變化，從而能同時(shí)確定系統(tǒng)的全部?jī)?nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而且還可以方便地處理初始條件。因而，狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的全部信息，是對(duì)系統(tǒng)行為的一種完全描述。狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線(xiàn)性定常系統(tǒng)，也適用于非線(xiàn)性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機(jī)系統(tǒng)等，適用范圍廣，對(duì)各種不同的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡(jiǎn)單而且統(tǒng)一。更突出的優(yōu)點(diǎn)是，它能夠方便地利用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算和求解，甚至直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，從而顯示了它的極大優(yōu)越性。動(dòng)態(tài)(亦稱(chēng)動(dòng)力學(xué))系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在將來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀況。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，是指能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)最小變量組。該變量組的每個(gè)變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。若要完全描述n階系統(tǒng)，則其最小變量組必須由n個(gè)變量(即狀態(tài)變量)所組成，一般記這n個(gè)狀態(tài)變量為x1(t)， x2 (t)， …，xn(t).若以這n個(gè)狀態(tài)變量為分量，構(gòu)成一個(gè)n維變量向量，則稱(chēng)這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量，簡(jiǎn)稱(chēng)為狀態(tài)向量，并可表示如下：（MIMO系統(tǒng)示意圖）狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測(cè)量或觀(guān)測(cè)的量，也可以是不能直接測(cè)量或觀(guān)測(cè)的量；可以是物理的，甚至可以是非物理的，沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時(shí)所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性，并非系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性。因此，狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型，它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程所組成。某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖23所示。試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入，電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。對(duì)本例，針對(duì)RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系，列出各電壓和電流所滿(mǎn)足的方程。將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫(xiě)在一起，即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型：其中：總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為：其中：x為n維的狀態(tài)向量；u為r維的輸入向量；y為m維的輸出向量；A為n180。n維的系統(tǒng)矩陣；B為n180。r維的輸入矩陣；C為m180。n維的輸出矩陣；D為m180。r維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣，直接轉(zhuǎn)移矩陣)。狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況，它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。輸入矩陣B又稱(chēng)為控制矩陣，它表示輸入對(duì)狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對(duì)輸出的直接影響，許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系，即直聯(lián)矩陣D=0。非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)其中f(x，u，t)和g(x，u，t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時(shí)間t的非線(xiàn)性向量函數(shù)f(x，u，t)=[f1(x，u，t) f2(x，u，t) … fn(x，u，t)]t ，g(x，u，t)=[g1(x，u，t) g2(x，u，t) … gm(x，u，t)]t。線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái)，以形象說(shuō)明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。在采用模擬或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真時(shí)，它是一個(gè)強(qiáng)有力的工具。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件：積分器，加法器和比例器，線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)： 的結(jié)構(gòu)圖如下：根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱(chēng)為機(jī)理建模。機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系，以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系，如電感的電壓和電流滿(mǎn)足的動(dòng)態(tài)關(guān)系。在實(shí)際工程系統(tǒng)中，許多過(guò)程和元件都具有儲(chǔ)存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如，機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)量體都儲(chǔ)存有能量并能通過(guò)某種形式傳遞；化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲(chǔ)存與傳遞；化工反應(yīng)系統(tǒng)中的反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息。對(duì)這些系統(tǒng)，根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機(jī)理，由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理、定律和規(guī)律等，在選擇適宜的狀態(tài)變量后，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理/依據(jù)有：電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系，彈性體和阻尼體的力與位移、則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、。剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述下圖表示由彈簧、質(zhì)量體、：外力u(t)為系統(tǒng)輸入，質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿(mǎn)足的關(guān)系式：可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 選擇狀態(tài)變量如下：經(jīng)整理，可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對(duì)系統(tǒng)的一種描述，它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同，并不具有唯一性和不變性。系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特性和行為具有重要的影響，決定了系統(tǒng)的基本特性。系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)線(xiàn)性變換后，其本質(zhì)特征之一的特征值應(yīng)保持不變，亦即狀態(tài)線(xiàn)性變換不改變系統(tǒng)的基本特性。MIMO線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中：x為n維狀態(tài)向量；u為r維輸入向量；y為m維輸出向量。對(duì)于許多復(fù)雜的生產(chǎn)過(guò)程與設(shè)備，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以等效為多個(gè)子系統(tǒng)的組合結(jié)構(gòu)，這些組合結(jié)構(gòu)可以由并聯(lián)、串聯(lián)和反饋3種基本組合聯(lián)結(jié)形式表示。并聯(lián)結(jié)構(gòu)：串聯(lián)結(jié)構(gòu)：反饋聯(lián)結(jié)：和連續(xù)系統(tǒng)不同，離散系統(tǒng)中各部分的信號(hào)不再都是時(shí)間變量t的連續(xù)函數(shù)。在系統(tǒng)的一處或多處，其信號(hào)呈現(xiàn)斷續(xù)式的脈沖串或數(shù)碼的形式。事實(shí)上，大量的連續(xù)系統(tǒng)通常被通過(guò)采樣化為時(shí)間離散化系統(tǒng)，再來(lái)進(jìn)行分析和控制。離散系統(tǒng)成為控制理論與控制工程中重要的一類(lèi)系統(tǒng)模型。自動(dòng)控制系統(tǒng)可以分為調(diào)節(jié)系統(tǒng)和伺服系統(tǒng)兩類(lèi)。調(diào)節(jié)系統(tǒng)要求被控對(duì)象的狀態(tài)保持不變，一般輸入信號(hào)不作頻繁調(diào)節(jié)；而伺服系統(tǒng)則要求被控對(duì)象的狀態(tài)能自動(dòng)、連續(xù)、精確地跟隨輸入信號(hào)的變化。而命令是根據(jù)需要不斷變化的，因此伺服系統(tǒng)又稱(chēng)為隨動(dòng)系統(tǒng)。對(duì)于機(jī)械運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，被控對(duì)象狀態(tài)主要有速度和位置，如速度伺服系統(tǒng)、位置伺服系統(tǒng)。 引入計(jì)算機(jī)控制的伺服系統(tǒng)叫做計(jì)算機(jī)控制伺服系統(tǒng)，也可以稱(chēng)為數(shù)字伺服系統(tǒng)。伺服系統(tǒng)中引入計(jì)算機(jī)代替誤差的求取和控制器的功能，構(gòu)成計(jì)算機(jī)控制伺服系統(tǒng)，如下2圖所示。 位置伺服系統(tǒng)示意圖 計(jì)算機(jī)伺服控制系統(tǒng)示意圖計(jì)算機(jī)伺服控制系統(tǒng)的工作過(guò)程是：實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)采集——對(duì)被控參數(shù)的瞬時(shí)值進(jìn)行檢測(cè)、轉(zhuǎn)換并輸入到計(jì)算機(jī)中；實(shí)時(shí)決策——對(duì)采集到的表征被控參數(shù)的狀態(tài)變量進(jìn)行分析，并按已給的控制規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，決定進(jìn)一步的控制策略；實(shí)時(shí)控制——根據(jù)決策的結(jié)果，適時(shí)地對(duì)控制機(jī)構(gòu)發(fā)出控制信號(hào)。建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述之后，接著而來(lái)的是對(duì)系統(tǒng)作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)問(wèn)題，也就是對(duì)描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的求解問(wèn)題。定性分析主要包括研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，如：能控性、能觀(guān)性、穩(wěn)定性等。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型分析的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)性質(zhì)狀態(tài)能控性和能觀(guān)性。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)性是揭示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征的兩個(gè)重要的基本結(jié)構(gòu)特性。系統(tǒng)能控性指的是控制作用對(duì)被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進(jìn)行控制的可能性。能觀(guān)性反映由能直接測(cè)量的輸入輸出的量測(cè)值來(lái)確定反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性的狀態(tài)的可能性?，F(xiàn)代控制理論中著眼于對(duì)表征MIMO系統(tǒng)內(nèi)部特性和動(dòng)態(tài)變化的狀態(tài)進(jìn)行分析、優(yōu)化和控制。狀態(tài)變量向量的維數(shù)一般比輸入向量的維數(shù)高，這里存在多維狀態(tài)能否由少維輸入控制的問(wèn)題。此外，狀態(tài)變量是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的一組內(nèi)部變量，有時(shí)并不能直接測(cè)量或間接測(cè)量，故存在能否利用可測(cè)量或觀(guān)測(cè)的輸出輸出的信息來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的問(wèn)題。如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時(shí)刻的任意初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)都能由輸入(控制項(xiàng))來(lái)影響，并能在有限時(shí)間內(nèi)控制到空間原點(diǎn)，那么稱(chēng)系統(tǒng)是能控的，或者更確切地說(shuō)，是狀態(tài)能控的。否則，就稱(chēng)系統(tǒng)為不完全能控的。若電橋系統(tǒng)是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4)，電容C2的電壓x2(t)是不能通過(guò)輸入電壓u(t)改變的，即狀態(tài)變量x2(t)是不能控的，則系統(tǒng)是不完全能控的。若電橋系統(tǒng)是不平衡的， 兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過(guò)輸入電壓u(t)控制，則系統(tǒng)是能控的。狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時(shí)刻之后的輸入，與輸出y(t)無(wú)關(guān)。因此研究討論狀態(tài)能控性問(wèn)題，即輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)能否控制的問(wèn)題，只需考慮系統(tǒng)