【文章內容簡介】 從不等式()可以推出 ，系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。為第個子系統(tǒng)選取Lyapunov泛函 ()其中，均是適當維數(shù)的正定矩陣，()，可以得到 ()其中，不等式()等價于由以上不等式，可得，因此 ()在零初始條件，即，下，考慮 ()將切換時間域分割成為，并且用表示在 時刻被激活的子系統(tǒng)的序列號，則時間依賴型切換律可以寫為。定義分段Lyapunov泛函，并注意到在序列中取值的任意性，結合()和()，可以得到由此可知 ()則對于任意的外部非零擾動，總有成立。因此，系統(tǒng)具有性能。定理證畢。說明 從定理的證明可以看出，如果每個子系統(tǒng)均具有性能，則整個切換系統(tǒng)在所設計的切換律下也具有性能。從而表明了每個子系統(tǒng)具有性能是整個切換系統(tǒng)具有性能的一個充分條件。 魯棒H∞可靠控制器設計執(zhí)行器是控制系統(tǒng)的重要組成部分。為研究可靠控制中執(zhí)行器失效的問題，通?？梢詫⑾到y(tǒng)()的執(zhí)行器分為兩部分。第一部分表示第個子系統(tǒng)在運行中所有可能發(fā)生故障的執(zhí)行器集合，稱為失效的執(zhí)行器集合；表示的補集，即非失效的執(zhí)行器集合，這部分執(zhí)行器對故障具有魯棒性，是鎮(zhèn)定系統(tǒng)所必須的。按此分類，輸入矩陣可以分解為 ，其中表示第個子系統(tǒng)關于執(zhí)行器有效集的控制輸入矩陣，表示第個子系統(tǒng)關于執(zhí)行器失效集的控制輸入矩陣。說明 一般而言，失效執(zhí)行器的輸出信號是任意的，而且是不可預知的。此類信號不再是正常執(zhí)行器的輸出，它們將會作用于系統(tǒng)，產生不可預料的控制效果。對于控制系統(tǒng)設計者所期望的是，通過反饋控制的方式減弱或消除故障執(zhí)行器對系統(tǒng)的不良控制作用，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。因此，可以將故障執(zhí)行器的輸出信號看作系統(tǒng)的外部擾動。最終的目的是將由故障執(zhí)行器所導致的系統(tǒng)輸出連同實際的外部干擾輸入抑制在給定的指標范圍內。定義對應于實際運行中執(zhí)行器發(fā)生故障的部分，表示故障執(zhí)行器的控制輸入，其中的控制輸入元素與故障執(zhí)行器相對應，據此定義，顯然有下面的不等式關系成立：， ()由此，將系統(tǒng)新的外部擾動輸入向量記為，則有 ()系統(tǒng)()狀態(tài)反饋控制律為 ()當執(zhí)行器發(fā)生故障時，則由控制器和系統(tǒng)()構成的閉環(huán)系統(tǒng)為 () ()， ()其中對于任意的。以下給出了系統(tǒng)魯棒可靠控制器的定義。定義 為給定的正常數(shù)，對于系統(tǒng)()，如果存在狀態(tài)反饋控制器，使得(i) 在時，閉環(huán)系統(tǒng)在給定切換律下是漸近穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定的；(ii) 在零初始條件，下， ()則稱為系統(tǒng)()的魯棒可靠控制器。如果存在控制器和切換律，使得系統(tǒng)的性能指標的值達到最小，這樣的控制器稱為系統(tǒng)()的最優(yōu)魯棒可靠控制器。在本小節(jié)中，依據前面所給出的系統(tǒng)具有性能的穩(wěn)定性條件，提出了魯棒可靠控制器的設計方法。定理 對于系統(tǒng)()，，是給定的正常數(shù)，如果存在對稱正定矩陣，矩陣以及正標量，使得下面的矩陣不等式組成立： () ()，并且系統(tǒng)的駐留時間滿足，則魯棒可靠控制器設計為， ()可確保閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，其中，滿足。 證明 對于第個子系統(tǒng)，在執(zhí)行器故障集為的條件下，控制器()可以寫為 ()將等式()代入到系統(tǒng)()，則閉環(huán)系統(tǒng)可以描述為式()。并且注意到，為第個閉環(huán)子系統(tǒng)選取Lyapunov泛函，可知如果 ()則有下式成立 其中顯然，如果，則。，等價于 ()其中。利用分別左乘和右乘不等式()的左端，并記，則 ()等價于定理條件()，并且可以得到 ()其中。將不確定矩陣形式()代入()，可得其中代表不等式()的左邊項，()，可得 ()記為式()的右邊項，如果，則有。，可得等價于 ()其中。顯然，如果不等式()成立，則()也必然成立，由此證明了。定理證畢。 說明 對于系統(tǒng)()，如果存在控制器和切換律使得系統(tǒng)的性能指標達到最小，這樣的控制器稱為最優(yōu)魯棒可靠控制器，以下的推論給出了其設計方法。推論 對于系統(tǒng)()，，是給定的正常數(shù)，若以下的優(yōu)化問題： (). ()，()有一個最優(yōu)值，并且系統(tǒng)的駐留時間滿足，則最優(yōu)魯棒可靠控制器設計為 ，可確保閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。說明 優(yōu)化問題()是一個具有線性矩陣不等式約束和線性目標函數(shù)的凸優(yōu)化問題，因此，可以應用LMI工具箱中的求解器mincx求解該問題。但值得指出的是，在實際的控制系統(tǒng)中，往往只要求系統(tǒng)的性能指標在容許的給定范圍之內，最優(yōu)化性能指標可能使得系統(tǒng)的其他動態(tài)性能指標惡化，所以實際應用中應根據系統(tǒng)的性能需求視具體情況而定。()的魯棒可靠狀態(tài)反饋控制器的設計問題，在定理證明過程中利用了變量替換方法給出了基于求解一組線性矩陣不等式問題的魯棒可靠狀態(tài)反饋控制器的設計方法，變量替換方法用一組線性矩陣不等式的可行性給出了控制器的存在條件，進而利用該組線性矩陣不等式的可行解直接構造出所求的控制器。值得指出的是，變量替換處理方法可以和系統(tǒng)的其它性能約束相結合處理多目標控制問題。 數(shù)值例子 考慮包含兩個子系統(tǒng)的時滯切換系統(tǒng)()，具體參數(shù)如下：子系統(tǒng)1：，，，，子系統(tǒng)2：，，，，時間滯后取為，已知常數(shù)選為，系統(tǒng)的性能指標取為，非線性項選為，Lipschitz常數(shù)矩陣取為，不確定參數(shù)矩陣結構取為：子系統(tǒng)1：，，子系統(tǒng)2：，，，可得魯棒狀態(tài)反饋矩陣為，并且可以計算出系統(tǒng)的駐留時間滿足，選擇以下形式的周期切換律：其中，不確定時變矩陣選為，系統(tǒng)初始狀態(tài)設置為，，閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線，可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡能夠最終收斂到原點，從而表明控制器的設計方法是有效的。 系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線 非線性時滯切換系統(tǒng)的魯棒L∞可靠控制 問題描述與預備知識，所不同的是系統(tǒng)中的外部干擾項不再是平方可積的有限能量信號，而是屬于持續(xù)有界的能量信號，即。如果不加特殊說明，本小節(jié)所考慮的系統(tǒng)模型均屬此類情況。在這種情況下，控制方法無法用來處理這類擾動，對于這類擾動利用控制思想加以抑制不失為一個有效的方法?？刂扑枷雽嵸|上是通過對持續(xù)有界的干擾信號所引起的系統(tǒng)狀態(tài)或輸出的幅值峰值加以抑制，從而達到所期望的控制效果。為了更好的闡明問題，首先給出系統(tǒng)的性能定義。定義 為給定的正常數(shù)，如果對于，即不含輸入的系統(tǒng)()，在零初始條件，下 ， ()則稱系統(tǒng)()具有性能。條件表明了在持續(xù)有界的外部干擾信號幅值峰值的作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)峰值具有有效抑制度。越小，表明系統(tǒng)的性能越好。在以后的定理證明當中，將使用到以下的引理。 引理 [76] 如果標量函數(shù)和滿足以下的微分不等式：則有 其中。87 具有L∞性能的穩(wěn)定性條件 定理 對于系統(tǒng)()，，是給定的正標量，如果存在對稱正定矩陣，使得 () ()，并且系統(tǒng)的駐留時間滿足，則在切換律的條件下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，且具有性能。其中，滿足，表示在時刻系統(tǒng)的切換序列值。 證明 對于第個子系統(tǒng)，選取Lyapunov函數(shù)為，不等式()等價于 ()沿著系統(tǒng)()的狀態(tài)軌跡，可以得到 ，可得 由式()可得將切換時間域分割為。定義以下的分段Lyapunov函數(shù)：，可得 ()注意到，在零初始條件下可得 ()并且在零初始條件，下，有則由式()可得由此有 ()由范數(shù)的定義，可得因此，系統(tǒng)的性能。，系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，并且具有性能。定理證畢。 魯棒L∞可靠控制器設計以下給出了系統(tǒng)魯棒可靠控制器的定義。定義 為給定的正常數(shù)，對于系統(tǒng)()，如果存在狀態(tài)反饋控制器，使得(i) 在時，閉環(huán)系統(tǒng)在給定切換律下是漸近穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定的；(ii) 在零初始條件，下， ()則稱為系統(tǒng)()的魯棒可靠控制器。在本小節(jié)中，依據前面所給出的系統(tǒng)具有性能的穩(wěn)定性條件，提出了魯棒可靠控制器的設計方法。 定理 對于系統(tǒng)()，，是給定的正常數(shù)，如果存在對稱正定矩陣，使得 () ()，并且系統(tǒng)的駐留時間滿足，則魯棒可靠控制器設計為， ()可確保閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，其中，滿足，性能指標為。 證明 對于第個子系統(tǒng)，在執(zhí)行器故障集的條件下，控制器()可寫為 ()將等式()代入到系統(tǒng)()，則閉環(huán)系統(tǒng)可以描述為式()。并且注意到，為第個閉環(huán)子系統(tǒng)選取Lyapunov函數(shù)則有由此可知，如果下式成立： ()則有 ()，不難獲得系統(tǒng)的擾動抑制性能界。，()等價于 ()，利用矩陣變換方法及放大技術，再對系統(tǒng)矩陣中的不確定參數(shù)作相似處理，可得定理結論，此處省略。定理證畢。 數(shù)值例子考慮包含兩個子系統(tǒng)的時滯切換系統(tǒng)()，具體參數(shù)如下：子系統(tǒng)1：，，，，子系統(tǒng)2：，，，，時間滯后取為，已知常數(shù)選為，，。非線性項，Lipschitz常數(shù)矩陣取為，不確定參數(shù)矩陣結構取為：子系統(tǒng)1：，，子系統(tǒng)2：，，，可得魯棒狀態(tài)反饋矩陣為：，并且可以計算出系統(tǒng)的駐留時間滿足，選擇切換周期為的周期切換律，不確定時變矩陣選取為，系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為，，可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡最終收斂到原點。同時，可以計算出。 系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線 本章小結本章首先給出了時滯切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性，性能以及性能的定義，并陳述了一些相關引理。而后介紹了非線性時滯切換系統(tǒng)依賴于時間切換的指數(shù)穩(wěn)定性條件，并根據性能以及性能的定義分別提出了非線性時滯切換系統(tǒng)的具有性能和性能的穩(wěn)定性條件。最后，在假定故障執(zhí)行器的輸入信號分別為平方可積的干擾信號和持續(xù)有界能量干擾信號的情形下，利用控制和控制的思想，討論了非線性時滯切換系統(tǒng)的魯棒可靠控制和可靠控制問題。3 異步切換下的非線性時滯切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定眾所周知，除了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能分析之外，系統(tǒng)鎮(zhèn)定是其綜合問題的一個重要方面。而對于切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題的研究主要涉及到控制律和切換信號的設計。目前，對于時滯切換系統(tǒng)在鎮(zhèn)定控制設計方面的研究也有不少的相關報道。文獻[77]利用LyapunovKrasovskii泛函方法研究了一類時變時滯躍變切換系統(tǒng)時滯獨立的反饋控制器設計，控制器增益矩陣可以由一組線性矩陣不等式得出，從而保證系統(tǒng)在任意切換律下是漸近穩(wěn)定的。文獻[59, 60]研究了具有常數(shù)時延的時滯切換系統(tǒng)時滯依賴的魯棒鎮(zhèn)定設計。文獻[78]基于多Lyapunov函數(shù)方法和線性矩陣不等式技術，研究了一類離散時滯切換系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題，所得結果是時滯獨立的。這些研究結果都是基于子系統(tǒng)的控制器與切換信號為同步切換的假設前提。然而，在實際系統(tǒng)當中，由于觸發(fā)信號及機械動作的超前或滯后，控制器和實際系統(tǒng)之間不可避免地存在切換時間上的誤差，這種現(xiàn)象稱為控制器和系統(tǒng)之間的異步切換，即控制器的實際切換時間超前或是滯后于系統(tǒng)的切換時間。這種不同步的現(xiàn)象往往導致所設計的控制器不能夠有效鎮(zhèn)定原系統(tǒng)。因此，在時滯切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制器的設計中，有必要對這種情況加以考慮。近年來，對于此類問題，已經有相關文獻進行了報道。文獻[79]基于模型辨識方法，研究了一類非線性切換系統(tǒng)異步切換下的輸入—狀態(tài)鎮(zhèn)定控制問題，給出了控制器的存在條件，但沒有給出控制器設計的具體過程。基于矩陣范數(shù)估計方法，文獻[80]研究了在控制器切換信號的檢測有固定延時的情況下線性切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題。文獻[81]進一步研究了控制器切換信號的檢測具有時變延時的線性切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題。文獻[82]利用改進的矩陣范數(shù)估計方法，考慮了在控制器切換信號的檢測有固定延時的情況下，線性切換系統(tǒng)基于觀測器的鎮(zhèn)定控制問題。值得指出的是，文獻[80, 81, 82]中控制器的設計均采用了極點配置的思想，即將每個子系統(tǒng)的極點配置到域的左半平面的適當位置，這樣處理的優(yōu)點是利用所得結論求解控制器的精確度較高，缺點是所給結論形式的求解較為困難，在實際應用中具有一定的局限性，且極點配置方法也難以應用到子系統(tǒng)含有時滯的情形。本章利用矩陣不等式處理方法，研究了子系統(tǒng)具有時滯的異步切換下的系統(tǒng)鎮(zhèn)定設計，并且不要求所討論的控制器與系統(tǒng)之間的不匹配切換時間段是固定常數(shù)，所給出的鎮(zhèn)定控制器的設計方法可以轉化為一組矩陣不等式的可行解問題，較之以往文獻求解方法更為簡單。本章首先利用駐留時間方法，對具有常時延的非線性時滯切換系統(tǒng)在異