【文章內容簡介】 由性質(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。據(jù)A0的定義，從100件產品隨機抽出10件的所有樣本點共有)個。要使抽出的10件產品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對立事件=“抽10件產品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小?！　　瞉某足球隊在未來一周中有兩場比賽，在第一場比賽中獲勝概率為1/2，在第二場比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊在這兩場比賽中至少有一場獲勝的概率是多少?　　解:設事件Ai=“第i場比賽獲勝”，i=1，2。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場比賽中至少有一場獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)。另外由于事件A1與A2是可能同時發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應用性質(4)來求，即:　　這表明在未來兩場比賽中至少有一場獲勝的概率為2/3?！　?二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個特定的(無條件)概率之商來計算，在舉例說明之前，先導出概率的乘法公式?！　⌒再|6:對任意兩個事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個等式成立要求P(B)0，第二個等式成立要求P(A)0?！　]設某樣本空間含有25個等可能的樣本點，又設事件A含有其中15個樣本點，事件B含有7個樣本點，交事件AB含有5個樣本點。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個條件概率也可以這樣來認識:當已知事件B發(fā)生，就意味著其對立事件是不會發(fā)生了。即中18個樣本點可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個樣本點之一?？梢娛录﨎的發(fā)生把原來的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B。這時事件A所含樣本點在ΩB中所占比率為5/7。這與公式計算結果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋?！　☆愃频?，利用這個解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3?！　　　]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=?！　　　‖F(xiàn)要尋求下列事件的條件概率:　?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?　　要求的概率是條件概率P(A80|A20)，按公式應為:　　　　由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲，這意味著A80A20，從而交事件A20 A80=A80，故上述條件概率為:　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲?！　∵@里談論的是烏龜?shù)膲勖偃缥覀兡塬@得彈藥的貯存壽命表，那么就可計算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個國家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險公司正是利用這個條件概率對30歲的投保人計算人身保險費率的?！　?2)獨立性和獨立事件的概率　　設有兩個事件A與B，假如其中一個事件的發(fā)生不依賴另一個事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨立?！　⌒再|7:假如兩個事件A與B相互獨立，則A與B同時發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質8:假如兩個事件A與B相互獨立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。這是因為:　　　　〔]，如今有三個標本獨立地在實驗室制作，問三個標本都被污染的概率是多少?　　解:設Ai=“第i個實驗室標本被污染”，i=1，2，3。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個標本相互獨立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個概率是很小的。第三節(jié)隨機變量及其分布　　一、隨機變量　　用來表示隨機現(xiàn)象結果的變量稱為隨機變量。常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機變量，而它們的取值用相應的小寫字母x，y，z等表示。　　假如一個隨機變量僅取數(shù)軸上有限個點或可列個點()，則稱此隨機變量為離散隨機變量，或離散型隨機變量?！　〖偃缫粋€隨機變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機變量為連續(xù)隨機變量，或連續(xù)型隨機變量，其中a可以是∞，b可以是+∞?！　　　，產品的性能一般都具有隨機性，所以每個質量特性就是一個隨機變量。例如:　　(1)設X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個離散隨機變量，它可以取0，1，2，…等值?？捎秒S機變量X的取值來表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過兩個”等等。這些事件有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。因為X取0，1，2，…等值是隨機的。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點數(shù)、一臺車床在一天內發(fā)生的故障數(shù)都是取非負整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機變量?！　?2)一臺電視機的壽命X(單位:小時)是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機變量:“X=0”表示事件“一臺電視機在開箱時就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機壽命不超過10000小時”，“X40000”表示事件“電視機壽命超過40000小時”。　　(3)檢驗一個產品，結果可能是合格品，也可能是不合格品。設X表示檢驗一個產品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個值的隨機變量。“X=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。類似地，檢驗10個產品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個值的離散隨機變量。更一般的，在n個產品中的不合格品數(shù)X是可能取0，1，2，…，n等n+1個值的離散隨機變量?！　《?、隨機變量的分布　　隨機變量的取值是隨機的，但內在還是有規(guī)律性的，這個規(guī)律性可以用分布來描述。認識一個隨機變量X的關鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個區(qū)間上取值。　　(2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機變量和連續(xù)隨機變量來敘述它們的分布，因為這兩類隨機變量是最重要的兩類隨機變量，而它們的分布形式是有差別的?！　?一)離散隨機變量的分布　　離散隨機變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機變量X僅取n個值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。這些可列在一張表上，清楚地表示出來:　　或用一個簡明的數(shù)學式子表示出來:　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1。滿足這兩個條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)?！　±齕]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個隨機現(xiàn)象有關的一些隨機變量:　　(1)設X表示“擲兩顆骰子，6點出現(xiàn)的個數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設Y表示“擲兩顆骰子，點數(shù)之和”:　　　　這些隨機變量X，Y都是各從一個側面表示隨機現(xiàn)象的一種結果，每個隨機變量的值是隨機的，但其分布告訴我們每個隨機變量取值概率，使人們不僅對全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最小；　　Y取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最??；　　這些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個概率都是非負的，其和均為1?！　　瞉設在10個產品中有2個不合格品，若從中隨機取出4個，則其中不合格品數(shù)X是離散隨機變量，它僅可取0，1，2等三個值。X取這些值的概率為():　　具體計算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機會最大?！　ν瑯訂栴}，若用放回抽樣，則從10個產品(其中有2個不合格品)中隨機取出4個，其中不合格品數(shù)Y是另一個隨機變量，它可取0，1，2，3，4等五個值。Y取這些值的概率為():　　具體計算可得如下分布列:　　這個分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。還可計算有關事件的概率，譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產的三極管，每100支裝一盒。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計方法整理出如下分布:　　從這個分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過5個不合格品的概率很小，這兩個事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機變量的分布　　連續(xù)隨機變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也記為f(x)。在第一節(jié)中，已經詳細介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。當數(shù)據(jù)個數(shù)很多，分組很細時，連接直方圖中每個矩形上邊中點的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)。下面再將上述過程用另一種形式來進行表述?！　〖俣ㄎ覀円粋€接一個地測量產品的某個質量特性值X，把測量得到的x值一個接一個地放在數(shù)軸上。當累積到很多x值時，就形成一定的圖形，為了使這個圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質量特性值x愈多，這個圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。這條曲線就是概率密度曲線，相應的函數(shù)表達式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質量特性X隨機取值內在的統(tǒng)計規(guī)律性。　　　　概率密度函數(shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同。這些不同的分布形式反映了質量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關注之處?！　　　∵@里應強調的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。　　　　〔]考試得分是一個隨機變量，下面是三個不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請讀者在圖上標明)。　　:　　　　地區(qū)(a)?！　〉貐^(qū)(b)。　　地區(qū)(c)?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。實際中不少產品發(fā)生失效(故障)的時間，或發(fā)生故障后需要維修的時間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產的推土機發(fā)生故障后的維修時間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計算:　　順便指出，在計算面積時，一條直線的面積為零，譬如在這個例子中P(T=100)=0，即該推土機完成維修時間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)。連續(xù)隨機變量這一性質普遍成立，它給計算帶來方便。類似地，該推土機發(fā)生故障而在100到300分鐘內完成維修的概率為:　　　　該推土機發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計算結果表明:%故障可在100分鐘內修好，%的故障可在100 到300分鐘內修好，%?！　∪?、隨機變量分布的均值、方差與標準差　　隨機變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小?！　【涤脕肀硎痉植嫉闹行奈恢?，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機變量X的平均值為5。對于絕大多數(shù)的隨機變量，在均值附近取值的機會較多。它的計算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號含義相同，這里不再重復。　　方差用來表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中。方差的計算公式為:　　方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同，常對方差開方，記它的正平方根為σ，稱為標準差:　　由于σ與X的單位相同，在實際中更常使用標準差σ來表示分布散布大小，但它的計算還是要通過先計算方差，然后開方來獲得。　　〔]現(xiàn)在我們來計算〔]和〔]中兩個分布的均值、方差和標準差。　　在〔]中隨機變量“擲兩顆骰子，點數(shù)之和Y”的均值、方差和標準差分別為:　　　　計算結果表明，擲兩顆骰子，點數(shù)之和的均值為7點、。類似地可以算得“擲兩顆骰子，6點出現(xiàn)個數(shù)X”的均值為1/3?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標準差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機的維修時間T的均值為:　　　　這表明推土機發(fā)生故障時，平均維修時間是50分鐘。還可證明，指數(shù)分布的均值E(T)與標準差σ(T)相等