有關(guān)平移與旋轉(zhuǎn)的對話(編輯修改稿)
2025-07-25 04:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 也可以看作小學的一個參照系。當你把三角形畫在一個方格紙上進行平移時，通常是這樣思考的：三角形有三個點，把一個點向右移動兩個格，第二個點也同時向右移動兩個格，第三個點也同時向右移動兩個格。這個三角形向右移動兩個格，其實相當于所有的點都平移兩個格。因為線段的兩個端點之間的平移是同樣的，這就相當于把三條線段同時平移了兩個格。S：其實，在平面上，平移兩個點就夠了，無論這個圖形是什么圖形。任何一個物體只要有兩個點，它們倆平行地走同樣的距離，也就是，它拉動了這個物體，這就平移了。K：在移動過程中，要保證它形狀不變。M：僅僅固定一個點，可能形成旋轉(zhuǎn)。K：如何看待平移、旋轉(zhuǎn)與平面幾何的關(guān)系呢？一提平移旋轉(zhuǎn)，許多人往往聯(lián)想起變換幾何。S：我的理解是，平面幾何與平移旋轉(zhuǎn)無關(guān)，為什么呢？平面幾何所研究的東西，總體上是固定的，是沒有參照系的。直到笛卡爾時期才可能產(chǎn)生參照系這種概念。雖然人們很早很早就研究圓錐曲線，但那時沒有方程，光有圖形、性質(zhì)，也沒有平移和旋轉(zhuǎn)。話題4：如何理解平移、旋轉(zhuǎn)對學生數(shù)學學習的作用和價值？M：解決平移、旋轉(zhuǎn)等等這樣問題，其意義是什么？學習這類問題的價值是什么?有沒有很好的例子？S：我想，最起碼就是我剛才說的路線問題。M：您是說路線問題與平移旋轉(zhuǎn)有關(guān)？在《課程標準》設(shè)計時，沒有將路線與平移、旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來。K：是的，二者的確沒有結(jié)合起來。M：我們原來設(shè)計的路線問題只是涉及方位，使學生認識方位而已。S：這是現(xiàn)在的數(shù)學與過去的數(shù)學最大的差異。過去的數(shù)學沒有量的概念，只有關(guān)系的概念，從這兒能走到那兒。我現(xiàn)在假設(shè)量的概念，走到這兒有多遠。這樣的話就可以判斷這幾條路走的遠近。平移、旋轉(zhuǎn)是最重要的，是圖形最根本的處理手段和方法。M：原來沒有這個，學生的數(shù)學學得也很好，現(xiàn)在為什么要加上這個內(nèi)容呢？K：我想，這個意義應(yīng)該可以從兩個角度來談：一個從數(shù)學內(nèi)容去談；一個是從生活角度談。從生活角度談，平移、旋轉(zhuǎn)是現(xiàn)實生活中普遍存在的現(xiàn)象。從數(shù)學角度看，中學的很多幾何內(nèi)容可以利用平移、旋轉(zhuǎn)的角度去思考和分析，而且，這樣做往往會使不少難題豁然開朗?，F(xiàn)在就是搞不清楚，平移、旋轉(zhuǎn)對幾何之外的其它領(lǐng)域是不是也有價值？S：平移、旋轉(zhuǎn)對大學數(shù)學也是非常有用的。如果坐標系在這兒，這兒有圓，假如直徑是2，圓的方程應(yīng)該是（xa）2+（yb）2=1，我這么平移一下，把圓心挪過去的話，就變成x2+y2=1，這時，平移就起很大作用，標準化了。你想一想，對于一個拋物線方程來說，如果頂點不在坐標軸上，對稱軸又不平行于坐標軸，這個表達式將是非常復雜的。高中數(shù)學所學的配方法，其實質(zhì)就是一個平移、旋轉(zhuǎn)，它使得這個方程變得簡單了、標準化了。通常，拋物線方程都要搞配方法，橢圓方程、雙曲線方程也是如此，否則，這個方程要表示出來將是非常復雜的。M：現(xiàn)在的問題是，如何讓小學生和老師覺得它是重要的？我現(xiàn)在也很難說服他們這個東西是重要的，剛才你講的線路圖是很重要的。另外書上有一些涉及圖案的簡單圖案，比如半圓，通過平移、旋轉(zhuǎn)，我可以組成各式各樣不同的圖案。S：所以，你要與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來。話題5：如何看待生活中的平移、旋轉(zhuǎn)？K：如何看待生活中的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱？ S：其實你把這個東西放在那兒，調(diào)試它的位置使其看著合適，就是平移和旋轉(zhuǎn)。如掛照片掛鏡框，歪了就需要旋轉(zhuǎn)，沒放中間就需要平移。K：那就是說，平移、旋轉(zhuǎn)給人們提供了一種審視社會、處理社會問題的方式和渠道。S：此外，這些知識的應(yīng)用價值十分突出，裝修房子等大量事情中都要用到平移、旋轉(zhuǎn)…K：包括平時的行駛中的汽車車身是平移，輪子在旋轉(zhuǎn)；飛機的飛行屬于空間中的平移。但從數(shù)學內(nèi)部來說這屬于剛體運動。還有一種變換屬于拓撲的。M：把線路圖和平移旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來，不光是方向、位置，以前僅僅局限于方向和位置。我們在這里討論的內(nèi)容實際上包含兩塊：一是幾何的位置變換，一是圖形的平移旋轉(zhuǎn)。如此這樣，平移旋轉(zhuǎn)與圖形位置也有了關(guān)系，位置、方位與平移、旋轉(zhuǎn)也有了關(guān)系。K：這樣就可以用平移旋轉(zhuǎn)來解釋方位，只不過要涉及空間中的旋轉(zhuǎn)了，但這些內(nèi)容屬于生
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