【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 步：由送料機(jī)構(gòu)送進(jìn)海帶條，由送料夾爪夾持；第二步：纏繞機(jī)構(gòu)的纏繞夾爪夾持住送料夾爪送來(lái)的海帶條的一端，并通過(guò)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)將海帶條纏繞在打結(jié)夾爪上；第三步：壓緊機(jī)構(gòu)壓緊海帶條的另一端；第四步：打結(jié)夾爪夾持住海帶條的前端，也就是纏繞夾爪夾持的一端，從纏繞在其上的海帶圈中穿出、拉緊；第五步：切斷刀下行切斷海帶條，完成打結(jié)。如圖25所示為海帶打結(jié)機(jī)打出的海帶結(jié)。圖25 打結(jié)機(jī)加工出的海帶結(jié) Knotting kelp with Autokelpknotted machine 拓?fù)鋵W(xué)介紹 拓?fù)鋵W(xué)定義拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類(lèi)似的有關(guān)學(xué)科。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)[5]。舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。 拓?fù)鋵W(xué)分類(lèi)拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來(lái)研究的，叫點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)；另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來(lái)研究的，叫做代數(shù)拓?fù)洹，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。 拓?fù)鋵W(xué)紐結(jié)原理 紐結(jié)原理 紐結(jié)理論是代數(shù)拓?fù)涞囊粋€(gè)分支，按照數(shù)學(xué)上的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，是研究如何把若干個(gè)圓環(huán)嵌入到三維實(shí)歐氏空間中去的數(shù)學(xué)分支。紐結(jié)理論的特別之處是它研究的對(duì)象必須是三維空間中的曲線。在兩維空間中，由于沒(méi)有足夠的維數(shù)，不可能讓一根曲線自己和自己纏繞在一起打成結(jié)；而在四維或以上的空間中，由于維數(shù)太多，無(wú)論什么樣的紐結(jié)都能夠很方便地被解開(kāi)成沒(méi)有結(jié)的曲線。如何判斷一個(gè)紐結(jié)是否可以在不剪斷，不粘連的情況下，變化為另一個(gè)紐結(jié)，換句話說(shuō)，如何判斷兩個(gè)紐結(jié)其實(shí)是否同一個(gè)紐結(jié)，這是紐結(jié)理論的中心問(wèn)題。紐結(jié)理論的目的就是為了將五花八門(mén)的紐結(jié)分類(lèi)。空間中一條自身不相交的封閉曲線，會(huì)發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。要問(wèn)一個(gè)結(jié)能否解開(kāi)(即能否變形成平放的圓圈)，或者問(wèn)兩個(gè)結(jié)能否互變(如圖26中兩個(gè)三葉結(jié)能否互變)。圖26 圓圈與三葉結(jié) Circle and trefoil knot 紐結(jié)原理應(yīng)用 到目前為止，紐結(jié)理論是最耀眼的，或者至少說(shuō)具有最實(shí)際的應(yīng)用，在分子生物學(xué)領(lǐng)域、化學(xué)領(lǐng)域、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域等都展現(xiàn)了獨(dú)特的魅力。(1)紐結(jié)原理在分子生物學(xué)上的應(yīng)用 當(dāng)分子生物學(xué)家用限制性內(nèi)切酶與連接酶去切割與拼接DNA鏈時(shí)，DNA的短而環(huán)狀的片斷常以全部紐結(jié)的形式出現(xiàn)。在DNA重組反應(yīng)中，某些酶會(huì)造成特殊的紐結(jié)和鏈。于是，分子生物學(xué)家們確信能用紐結(jié)理論對(duì)酶促DNA反應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)，從而弄清DNA的結(jié)構(gòu)方式，作出有關(guān)其它反應(yīng)的預(yù)測(cè)，并證明某些酶的作用機(jī)理。研究紐結(jié)理論對(duì)于理解局部異構(gòu)酶如何卷繞和解開(kāi)DNA，并同時(shí)改變其結(jié)構(gòu)是重要的，把這種極其復(fù)雜過(guò)程中所反映出的重要信息，代之以簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)式的分析，多么了不起的飛躍。分子生物學(xué)這樣及時(shí)地與最新穎最深刻的數(shù)學(xué)研究緊密結(jié)合，這種生命科學(xué)與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)合是高水平的[8]。(2)紐結(jié)原理在化學(xué)上的應(yīng)用 1989年，法國(guó)化學(xué)家合成出第一種紐結(jié)化合物——形狀象三葉草的有124個(gè)原子的分子。科羅拉多大學(xué)化學(xué)家沃爾巴把一種用碳氧制成的麥比烏斯帶分子——扭轉(zhuǎn)一個(gè)或多個(gè)半周的圓圈——作為三葉形、平結(jié)和更復(fù)雜的化學(xué)結(jié)構(gòu)的基點(diǎn)。例如，右旋酞胺哌啶酮和左旋酞胺哌啶酮有相同的化學(xué)式和化學(xué)結(jié)構(gòu)。但左旋酞胺哌啶酮是強(qiáng)鎮(zhèn)靜劑，而右旋酞胺哌啶酮嚴(yán)重地影響胎兒的發(fā)育。五十年代，服用酞胺哌啶酮的孕婦易生畸形兒，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間，這種善惡之差才被發(fā)現(xiàn)。加利福尼亞大學(xué)圣巴巴拉分校的數(shù)學(xué)家米利特說(shuō)，用來(lái)區(qū)別鏡像紐結(jié)的紐結(jié)理論也許總有一天會(huì)幫助化學(xué)家同樣處理新的合成分子[9]。(3)紐結(jié)原理在計(jì)算機(jī)上的應(yīng)用 以前，程序設(shè)計(jì)師發(fā)現(xiàn)要預(yù)測(cè)計(jì)算機(jī)用多長(zhǎng)時(shí)間才能(甚至否能)解決特別復(fù)雜的問(wèn)題幾乎是不可能的。加利福尼亞大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)家菲爾茲獎(jiǎng)得主斯梅爾借用編織理論(紐結(jié)理論的近親之一)設(shè)計(jì)了一種解決方案。他發(fā)現(xiàn)，程序需要的“if 2 then”(如果2則)語(yǔ)句越多，它的編織越糾纏不清，計(jì)算運(yùn)行的時(shí)間越長(zhǎng)。賓夕法尼亞州拉斐特學(xué)院伊斯頓分院數(shù)學(xué)家特拉爾迪說(shuō)，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)可靠性也許是下一個(gè)目標(biāo)。像紐結(jié)一樣，網(wǎng)絡(luò)也含有直接鏈接的段和不直接鏈接的段。紐結(jié)理論能分析鏈接段和未鏈接段之間的關(guān)系并幫助確定哪類(lèi)最易出故障[9]。 海帶打結(jié)機(jī)打結(jié)原理的拓?fù)鋵W(xué)研究打結(jié)是日常生活中最常見(jiàn)的現(xiàn)象之一，例如系鞋帶便要打結(jié)。據(jù)說(shuō)打結(jié)在過(guò)去曾經(jīng)有重要用途，如我國(guó)“上古結(jié)繩而治”[14]。紐結(jié)這種東西盡管用了幾千年，但并沒(méi)有一種科學(xué)理論研究它。直到十九世紀(jì)末，偉大的科學(xué)家龐伽萊創(chuàng)立了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。后來(lái)數(shù)學(xué)家利用代數(shù)拓?fù)溥@個(gè)工具對(duì)紐結(jié)進(jìn)行了大量的研究，至此紐結(jié)理論取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，而目前它廣泛應(yīng)用在化學(xué)與分子生物學(xué)領(lǐng)域。本文用拓?fù)鋵W(xué)曲帶紐結(jié)原理分析海帶成結(jié)原理，描述海帶成結(jié)的過(guò)程以及空間狀態(tài)，為改進(jìn)和優(yōu)化打結(jié)機(jī)械奠定理論基礎(chǔ)。一根繩子打結(jié)有很多種方法，如果把繩子擺成U型，先把開(kāi)口的兩端固定，再將U型繩下端翻轉(zhuǎn)一下，則形成“”的形狀，然后再將一端穿入環(huán)中即可成結(jié)。假想繩子無(wú)限長(zhǎng)，并把其兩端用假想的繩子連接起來(lái)，即構(gòu)成一個(gè)封閉的環(huán)圈，按上面的方法可形成“”的形狀，在拓?fù)鋵W(xué)里稱之為“8”字形曲線。由于海帶是有寬度的，且只成一個(gè)結(jié)，在打結(jié)的過(guò)程中會(huì)形如“8”，所以把海帶條作曲帶研究，并著重研究“8”字形曲帶。 建立海帶條(曲帶)模型在海帶打結(jié)機(jī)的前續(xù)工作中，海帶已經(jīng)由各種不規(guī)則的形狀整理切割成寬約18～20mm的海帶條。這里就把寬度為18～20mm左右的狹長(zhǎng)海帶條作為研究對(duì)象。把海帶條看作是狹長(zhǎng)柔性曲帶。設(shè)中心線為l，忽略其厚度的影響，海帶條兩側(cè)的體線分別為L(zhǎng)L2，如圖27所示。L1和L2張成一個(gè)狹長(zhǎng)的曲帶，此海帶條在空間中的狀態(tài)可以由曲帶的狀態(tài)來(lái)體現(xiàn)。圖27海帶條(曲帶)模型 Model of kelp(strip) 描述海帶條(曲帶)參數(shù) 扭轉(zhuǎn)數(shù) 設(shè)彈性桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)，中心線C為忽略伸縮變形的光滑空間曲線，桿的橫截面為中心線正交的剛性平面。以沿中心線的弧坐標(biāo)為s的任意點(diǎn)P為原點(diǎn)建立截面的主軸坐標(biāo)系(Pxyz)，其中z軸的角位移相對(duì)弧坐標(biāo)s的變化率稱為扭率，記作ω3。將扭率ω3沿桿長(zhǎng)的積分除以2π定義為曲帶的扭轉(zhuǎn)數(shù)，記作Tω(Twisting Number)。ω3沿曲桿長(zhǎng)保持常值時(shí)，導(dǎo)出公式： (21)扭轉(zhuǎn)數(shù)具有可加性，平面閉曲線的扭轉(zhuǎn)數(shù)為整數(shù)，空間閉曲線的扭轉(zhuǎn)數(shù)為實(shí)數(shù)，但不一定為整數(shù)。如圖28所示，在P截面內(nèi)沿任一主坐標(biāo)軸(例如x軸)取一長(zhǎng)度為2ε的微小線段，中心線C與此微線段構(gòu)成一狹長(zhǎng)曲帶作為曲帶的簡(jiǎn)化模型，曲帶的兩條邊緣曲線C1和C2可用矢量函數(shù)表示為公式： (22)式中 r ——是P點(diǎn)相對(duì)慣性坐標(biāo)系的矢徑，rj(j=1,2)為與P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊緣曲線Cj(j=1,2)上PP2點(diǎn)的矢徑；e ——是P點(diǎn)處x軸的基矢徑。圖28 沿中心線展開(kāi)的曲帶 Strip along the center line expansion 纏繞數(shù)與連接數(shù) 將曲帶的邊緣曲線Cj(j=1，2)沿弧坐標(biāo)s正向的切線矢量記作Tj(j=1，2)，在C1與C2的交叉處，從一個(gè)確定的點(diǎn)0觀察二曲線在投影面上的交點(diǎn)P，引矢量。根據(jù)矢量TT2和σ的相互關(guān)系，按以下規(guī)則定義參數(shù)Lk：(1)若T1在T2的上方與T2交叉，且T1хT2與σ方向一致，則Lk=+1；(2)若T1在T2的上方與T2交叉，且T1хT2與σ方向相反，則Lk=1；(3)若C1與C2有數(shù)個(gè)交叉點(diǎn)，則Lk為各交叉點(diǎn)處連接數(shù)的總和。Lk稱為曲帶的連接數(shù)(Linking Number)。Gauss于1833年給出一個(gè)計(jì)算連接數(shù)Lk的二重積分，稱為Gauss連接數(shù)積分： (23)式中 PP2——曲線CC2上弧坐標(biāo)分別為ss2的二任意兩點(diǎn)；r1(s1)、r2(s2)——PP2相對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑；T1(s1)、T2(s2)——PP2點(diǎn)處的切線軸基矢量。將曲帶或曲桿的連接數(shù)Lk與扭轉(zhuǎn)數(shù)Tω的差值定義為曲帶或曲桿的纏繞數(shù)，記作Wr(Writhing Number)，它反映了曲帶的纏繞程度，有關(guān)系式： (24) 應(yīng)用 規(guī)定，如果L1與L2在空間交叉，L1在L2上方(迎著箭頭方向看去)。如果L1的箭頭逆時(shí)針轉(zhuǎn)到L2的位置，則曲帶有等于1的連接數(shù)，反之，L1的箭頭順時(shí)針轉(zhuǎn)到L2的位置，則Lk等于1。如圖29(a)所示，曲帶繞中心線扭轉(zhuǎn)一周，L1和L2在空間交叉兩次，但L1在L2上方只有一次，因此連接數(shù)等于1。曲帶中心線每扭轉(zhuǎn)一圈Tw增加1，朝反方向扭轉(zhuǎn)一圈，則Tw增加1。如圖29(a)中曲帶的扭轉(zhuǎn)數(shù)為1。如圖29(b)所示，曲帶無(wú)扭轉(zhuǎn)地纏繞出一個(gè)開(kāi)口環(huán)圈，則L1在L2的上方共交叉3次，其中兩次連接數(shù)為1，一次為1，總連接數(shù)Lk=21=1，此時(shí)扭轉(zhuǎn)數(shù)Tw為0。 (a) (b)圖29 扭轉(zhuǎn)與纏繞 Twist and writhe 8字形曲帶研究圖210 “8”字形曲線 Curve of looking like “8”平面閉曲線自相交一次即形成“8”字形曲線，如圖210所示。 (a) Tw=0 Lk=+1 (b) Tw =+1 Lk=+2 (c) Tw=0 Lk=+1 (d) Tw=1 Lk=0圖211 “8”字形曲帶 The strip of looking like “8”以“8”字形曲線為中心線構(gòu)成“8”字形曲帶。由于曲帶是有寬度的實(shí)體，作為平面曲線的中心線不可能自交，因此可理解為是空間交叉，而曲線在交叉點(diǎn)處的距離可視為無(wú)限小量[15]。截面繞切線軸無(wú)扭轉(zhuǎn)時(shí)，其扭轉(zhuǎn)數(shù)Tw為0。如圖211(a)所示。若截面在A點(diǎn)處繞切線軸產(chǎn)生180176。扭轉(zhuǎn)，則必須在另一點(diǎn)B處也產(chǎn)生180176。扭轉(zhuǎn)，每次扭轉(zhuǎn)為T(mén)w提供+1/2(逆時(shí)針)或1/2(順時(shí)針)，總扭轉(zhuǎn)數(shù)仍為+0或1。(如圖2