【文章內(nèi)容簡介】 D區(qū)域0xa，0yb，0zd，這時有六個截斷邊界，其一階和二階解析吸收邊界條件的具體形式見表21，其中代表任一直角場分量。G. Mur[14]對表中的吸收邊界條件引入了一種簡單有效的差分?jǐn)?shù)值算法，即對時間和空間的偏微分取二階中心差分近似，將單向波方程離散化，其總體虛假反射在1%～5%。圖25給出了反射系數(shù)（反射波與入射波）與入射角的關(guān)系，由圖24可看出，僅當(dāng)入射角較小時其反射系數(shù)較小。表21 三維長方體FDTD區(qū)域的一階和二階吸收邊界條件一階近似二階近似圖24 近似吸收邊界條件作用后殘留的反射波與入射波之比根據(jù)Yee氏元胞網(wǎng)格的特點，在FDTD截斷邊界面上只有電場切向分量和磁場法向分量。以界面為例，此界面僅有，節(jié)點。由于FDTD中的計算式不涉及區(qū)域，即不涉及截斷邊界界面外的節(jié)點。所以，吸收邊界條件將不考慮，而只考慮電場切向分量和。以為例，對一階和二階吸收邊界條件分別有 (215a) (215b)將式(215b)分別在距離邊界半個空間步長的輔助網(wǎng)格點處及時刻離散，此時的位置在，并對各項做差分近似，同時對輔助網(wǎng)格點處的場值應(yīng)用線性插值，假設(shè)，可得到一階吸收邊界條件在三維情況的形式： (216)式中代表截斷邊界上切向場分量。將式(216)所示二階吸收邊界推廣到長方體元胞各邊、和不相等情形。設(shè)邊界為，對于分量有 (217)同理，可以得到所有截斷邊界面上切向場分量的一階和二階差分式。需要注意的是，用二階近似條件計算界面上與棱邊相鄰的一列節(jié)點時會涉及棱邊上的場值。因此，要想避免用到棱邊上的場值，只需對截斷邊界面上切向場分量的計算按以下兩種情況區(qū)別對待：（1）截斷邊界面上與棱邊相鄰的一列場分量采用一階差分式；（2）截斷邊界面上其它場分量采用二階差分式。這樣，就完全不必考慮棱邊上的場分量，避免了計算棱邊上場分量所帶來的誤差。實際計算表明，這樣做提高了吸收邊界條件的精度和FDTD計算的穩(wěn)定性。但是，就目前FDTD的發(fā)展來看。 二維棱邊及角頂點的處理對于二維電磁場問題，在用FDTD計算邊界處的元胞時，將涉及到截斷邊界外側(cè)的節(jié)點。如對于二維TM情況，電磁場分量有，由圖25可見，在用FDTD計算邊界處的TM元胞和時并不涉及截斷邊界以外或的節(jié)點。只有涉及截斷邊界外側(cè)的節(jié)點。因此，只需給出邊界處切向場分量的吸收邊界條件。同樣，對于TE波只需給出邊界處切向場分量的吸收邊界條件。表22為矩形截斷邊界面上節(jié)點的二階Mur吸收邊界條件。圖25 二維TM左截斷邊界元胞表22 矩形截斷邊界四邊上的二階Mur吸收邊界條件截斷邊界位置二階Mur吸收邊界條件在二維矩形計算區(qū)域的角點，吸收邊界條件的離散式需特殊考慮。假設(shè)角點附近只有向外傳播的行波，且傳播方向沿角點處元胞的對角線，如圖26所示的矩形區(qū)域左下角點處的TM元胞為例，導(dǎo)出適用于角點的吸收邊界條件離散式。根據(jù)Courant穩(wěn)定條件式，有。在點與對角點之間取一點，對于沿對角線的外行波，有以下等式： （218）由于傳播距離很小，上式中略去了振幅的衰減。在利用線性插值 （219）由式（218）解出后代入（217）式得 （220）或（221）對于矩形域的其它角點可作類似的處理。對于二維TE波情況，將式（219），（221）式中的換為即可。 圖26 矩形域四個角點 在三維FDTD長方體計算區(qū)域有6個截斷邊界面和12條棱邊，如圖27所示。與x軸平行的棱邊上僅有場分量，與y軸平行的棱邊上僅有場分量，與z軸平行的棱邊上僅有場分量。圖27 三維FDTD長方體計算區(qū)域?qū)嶋H上，可以將二維角點的吸收邊界條件式（221）應(yīng)用于三維棱邊。 Berenger完全匹配層完全匹配層[16~18]（Perfectly Matched Layer, PML），并將其設(shè)置在FDTD計算區(qū)域截斷邊界處，用來吸收外向電磁波。Berenger假設(shè)將電磁場分量在PML介質(zhì)中分裂，并分別對各個分裂的場分量賦以不同的損耗。這就相當(dāng)于在FDTD區(qū)域截斷邊界外設(shè)置了一種特殊的非物理的吸收介質(zhì)層，該層介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)的波阻抗完全匹配，因而外向波將無反射地穿過分界面進入PML。同時，由于PML為有耗介質(zhì)，而且不依賴于外向波的入射角和波阻抗，即使為有限厚度，外向波在其中也會迅速衰減。在實際計算中，PML是目前一種很常用的吸收邊界條件，有很好的吸收效果，其總的網(wǎng)格噪聲能量是使用普通吸收邊界條件時的1/107，可使FDTD模擬的最大動態(tài)范圍達(dá)到80dB。在PML介質(zhì)中，其網(wǎng)格剖分方式與常規(guī)FDTD網(wǎng)格完全一致，每個場分量在網(wǎng)格中的位置也不變，只是都被分裂為兩個子分量。這樣，式(21)可寫成 (222a) (222b) (222c) (222d) (222e) (222f) (222g) (222h) (222i) (222j) (217k) (222l)式中，，，為電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率，描述了PML介質(zhì)的各向異性。當(dāng)且時， PML介質(zhì)退化為普通有耗介質(zhì)。當(dāng)且時，退化為自由空間中的Maxwell方程。同時，要滿足PML介質(zhì)的重要基本條件即阻抗匹配條件，如下式所示： (223)式中和分別為真空的介電常數(shù)和真空的磁導(dǎo)率。對式(218)做差分處理，可得到PML介質(zhì)中的FDTD差分方程表達(dá)式：(223a)(223b)(223c)(223d)(223e) (223f) (223g) (223h) (223i) (223j) (223k) (223l)式中， (224)， (225)其中，； 在實際計算中，在FDTD計算中PML的設(shè)置不可能延伸到半無限空間，只能是有限厚度，因此PML的外側(cè)邊界需要特殊處理，通常情況下采用理想導(dǎo)體邊界截斷。這樣，透入PML中的外向波到達(dá)理想導(dǎo)體邊界處會反射回來，重新進入計算區(qū)域，PML的反射系數(shù)不再等于零。PML介質(zhì)內(nèi)沿方向的電導(dǎo)率分布通常采取以下函數(shù)形式 （226）式中，為PML層的厚度，為PML層靠近FDTD分界面的距離，是電導(dǎo)率分布階數(shù)，表示PML中電導(dǎo)率變化的程度，取整數(shù)。式（226）說明了實際計算中PML介質(zhì)層厚度必須取若干個空間步長，使電導(dǎo)率從FDTDPML分界面的0漸變到PML最外面的，避免電導(dǎo)率躍變太大，盡量消除數(shù)值反射。這樣，如果相對于FDTDPML分界面定義的外向波入射角為，則PML內(nèi)側(cè)表面反射系數(shù)為 （227）使用PML吸收邊界條件時，首先要選定三個參數(shù)：PML層數(shù)，電導(dǎo)率分布階數(shù)，PML表面反射系數(shù)。大量的數(shù)值實驗表明：（1）當(dāng)層數(shù)N固定時，減小，即增加PML的衰減，可以使局部及總體誤差都單調(diào)地減小。然而，當(dāng)減小到一定程度后，這種現(xiàn)象不再出現(xiàn)，原因是存在由空間網(wǎng)格引起的固有誤差。（2）增加PML層數(shù)，可以使局部及總體誤差都單調(diào)地減小，但是N過大又會使計算量劇增，需折衷考慮吸收效果和計算量。（3）電導(dǎo)率分布階數(shù)的改變不會影響計算量，卻會影響PML的吸收效果，一般情況下，越大，吸收效果越好。因此，在實際計算中參數(shù)的選擇隨所處理問題的不同而不同，需綜合考慮，并由數(shù)值實驗尋找最佳值。實際的電磁場問題總是要在合適的激勵源激勵下求解，因此，恰當(dāng)?shù)貙⒓钤匆氲紽DTD網(wǎng)格之中，對于正確地模擬電磁場問題是至關(guān)重要的。在激勵源的引入過程中，為了盡量減小計算機內(nèi)存占用和計算時間、提高整個程序的效率，通常要求激勵源的實現(xiàn)盡可能地緊湊，即在FDTD網(wǎng)格中只用很少的幾個電（磁）場分量就可實現(xiàn)對激勵源的恰當(dāng)模擬。就是說，應(yīng)將被研究媒質(zhì)在真實源激勵下這一完整條件在數(shù)值計算中盡可能近似的“復(fù)現(xiàn)”出來，或者說對所研究的主要參數(shù)來講，二者是等效的[34]。在關(guān)于時域有限差分求解的問題中，可以設(shè)置各種類型的源，這些源可以按不同的形式和性質(zhì)來分類。從空間分布來看，有面源、線源、點源等。典型的面源有常見的平面波源。在研究柱面波的問題時，常設(shè)置線源。從頻譜特性來看，有工作于一個頻率上的周期變化的連續(xù)波源，亦可以是占有較寬頻譜的波源。從源的時變特點看，主要有二大類：一類是隨時間周期變化的時諧源；另一類是對時間呈沖擊函數(shù)形式的波源。后者時變源包括矩形脈沖、高斯脈沖、上升余弦脈沖和核電脈沖等形式。從源處場的性質(zhì)看，有可分為型和型源。即在源面上僅賦值與電場量或磁場量，一般常用的是型源。應(yīng)當(dāng)指出，源的時變特性和其頻譜特性是相關(guān)的，二者由傅立葉變換相聯(lián)系的，但源的時域頻域特性是與其空間分布狀態(tài)不相關(guān)的。任一種空間分布均可采用不同時變特性的源，例如平面型波源，其時間變化規(guī)律既可以是時諧型的，亦可以是任一沖擊函數(shù)型的。下面簡要介紹幾種時變源。1. 時諧型 （228）式中是頻率，是時間步長，為整數(shù)，代表遞增的時間步數(shù)。2. 高斯脈沖型 （229）式中為常數(shù)，決定了高斯脈沖的寬度。脈沖峰值出現(xiàn)在時刻，應(yīng)合適的選擇 與，以保證源的初始條件，即。3. 升余弦脈沖 （230）為脈沖底座寬度。4. 微分高斯脈沖 （231）5. 調(diào)制高斯脈沖型 （232）上式右邊第一項為基波表達(dá)式，中心頻率為；第二項為高斯函數(shù)形式，通常取基波的個周期，即。FDTD仿真中，激勵源的正確設(shè)置是一個非常重要的部分，它必須反映場的分布，而且能夠覆蓋所關(guān)心的頻段。就散射問題而言[35]，我們所關(guān)心的主要問題是散射場的性質(zhì)。但在源場存在的空間中，得到的是總場(入射場+散射場)，而不是散射場。另一方面不論是散射場還是入射場還是總場均應(yīng)滿足麥克斯韋方程式，也就是說，F(xiàn)DTD算法對任一種的求解均是適用的。為了在FDTD運算過程中“提取”出散射場，如何設(shè)置入射波源是一個值得研究的問題。一種解決的辦法是將FDTD網(wǎng)格空間劃分成總場和散射場區(qū)。如圖28所示，將FDTD的計算空間分成二個區(qū)域，其分界面為假想的連接面。 圖 28 總場區(qū)和散射場區(qū)的劃分區(qū)域1稱為FDTD網(wǎng)格空間的內(nèi)區(qū)，標(biāo)作總場區(qū)，在此區(qū)內(nèi)“裝入”所研究的散射體。在總場區(qū)內(nèi)存在模擬的平面波源，該平面波照射到散射體上產(chǎn)生散射場。在該區(qū)域內(nèi)，麥克斯韋方程作用于總場矢的各分量。區(qū)域2為網(wǎng)格空間的外區(qū)，標(biāo)為散射場區(qū)。該區(qū)中不存在入射波。麥克斯韋方程僅作用于散射場矢的各分量。該區(qū)的外表面周界為吸收邊界，它能近似無反射的吸收外向行進的散射波。它的存在模擬將場的空間擴展到無限遠(yuǎn)處。連接邊界為網(wǎng)格空間的內(nèi)區(qū)和外區(qū)的公共界面，在此界面設(shè)置平面波源以在區(qū)域1內(nèi)產(chǎn)生平面波。該平面波具有預(yù)定的時間波形、入射角和極化角該連接邊界的存在幾乎完全將入射波“禁錮”在區(qū)域1內(nèi)，并且能有效地將外向散射波轉(zhuǎn)移進入外區(qū)2內(nèi)。除了平面波源外，還有其他類型的激勵源。這些初始源的設(shè)置大多模擬實際源存在條件，或是激發(fā)出所需的場分布。 FDTD計算所需時間步的估計 為了使計算達(dá)到穩(wěn)定,通常計算所需要時間步按照電磁波往返穿越FDTD計算區(qū)對角線3～5次來估計。若FDTD計算區(qū)總元胞數(shù)為，則對角線上元胞約為 （三維)。按照Courant穩(wěn)定條件，設(shè)計算中心區(qū)，即穿越對角線一次需要時間步為?？傆嬎銜r間步約需步。對于二維情況則約為?；蛘哒f，計算時間步大約等于FDTD計算區(qū)對角線上元胞數(shù)目的12～20倍。實際上，計算所需時間步還與散射體具體形狀、結(jié)構(gòu)有關(guān)。圖29給出了應(yīng)用FDTD分析電磁場問題時的程序流程圖圖29 FDTD 程序流程圖第三章 FDTD法分析矩形波導(dǎo)的截止頻率本章首先介紹了波導(dǎo)的基本理論，然后介紹了傅立葉變換的特點，最后將FDTD應(yīng)用到具體的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，求解矩形波導(dǎo)的截止頻率，驗證了用Matlab所編寫的FDTD程序的正確性，為場結(jié)構(gòu)圖的分析奠定基礎(chǔ)。 波導(dǎo)理論波導(dǎo)是用來引導(dǎo)電磁波在有限空間中傳播，使電磁波不至于擴散到漫無邊際的空間中去的結(jié)構(gòu)的總稱。在各類電子設(shè)備中，電磁能量的傳遞是通過傳輸線進行的。電磁能量是以電磁波的形式在傳輸線中傳播的。也就是說，傳輸線是用來引導(dǎo)電磁波做定向傳播的一種導(dǎo)波結(jié)構(gòu)，所以，傳輸線又可以成為波導(dǎo)[36 ]。在傳輸線引導(dǎo)下定向傳播的電磁波被稱為導(dǎo)行電磁波，簡稱為導(dǎo)波。研究導(dǎo)行電磁波在波導(dǎo)中的傳播，就是求解電磁波在波導(dǎo)橫截面上的分布規(guī)律及其沿軸向的傳播特性。波導(dǎo)的種類很多，在工程中常見的有平行雙線傳輸線、同軸線、圓波導(dǎo)、矩形波導(dǎo)、微帶、介質(zhì)波導(dǎo)、脊波導(dǎo)等等，如圖所示。 圖31a 平行雙線傳輸線