【文章內容簡介】 CD 的面積，這時等邊三角形的邊長 a 至少應為多少？（3）移動點 H，或選中點 H 按“左右鍵”，以改變等邊三角形的大小，觀察重疊部分的變化?；蛘咭苿印澳繕它c”按鈕，會觀察到臨界點，此時讀取 a 的值為 10cm。如圖 ，圖 ，圖 。圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究14圖 圖 對于第三問：將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？（4）移動點 H，或選中點 H 按“左右鍵”?？筛淖兊冗吶切蔚拇笮?，直到重疊部分面積=梯形面積的一半，讀取 a 的值。容易發(fā)現(xiàn)當 a= 時，重疊部分面積=梯形面積的一半。如圖 。當 a 時，重疊部分面積梯形面積的一半。如圖 。當 a 時，重疊部分面積梯形面積的一半。如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究15圖 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究16圖 關鍵制作步驟（1）建立平面直角坐標系，以 C 為原點，按題目要求畫出直角梯形。如圖 。 圖 （2）雙擊 y 軸，是 y 軸成為對稱軸。作直角梯形 ABCD 的反射圖形 A’B’CD’。 如圖。圖 （3）制作翻折效果。在 y 軸上找一點 M，CM CM 與 CB 的坐標距離。以 C 為中心，CB 為長軸、CM 為短軸構造橢圓。先寫出橢圓的解析式， .如2()(1)xfxMB??圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究17圖 （4）在橢圓上找一點 H，連接 CH。過點 H 作 HO 垂直于 CB 且 HO 等于 AB，且過點 O 作 CH的平行線，且使 OP=AD。連接 CP。如圖 。 圖 （5）隱藏橢圓，制作動畫按鈕。先制作隱藏直角梯形 A’B’CD’按鈕，再制作“H→B’”的按鈕，然后制作顯示直角梯形 A’B’CD’按鈕，最后先后選中它們，制作順序 3 個動作。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究18圖 （6）將剛才的“順序 3 個動作”更名為“翻折 1”。同樣方法制作“返回 1”按鈕。如圖。.圖 （7）用同樣地方法，構造第二個橢圓。此時的橢圓的位置比之前的橢圓對比，應該向左移動 5 個單位。因此函數(shù)解析式為 。接著制造會動的梯形。22(5)()1xfxCMB???g如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究19圖 （8）按上述方法制作“翻折 2”與“返回 2”按鈕。完成翻折效果圖。如圖 。圖 （9）對于第一問：將直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？構造線段 GH,H 點可在直線上運動從而改變 GH 的長度。使 a=GH 的長度，構造等邊三角形。如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究20圖 （10）構造三角形 IC’N 的內部，度量出它的面積。完成第一問。如圖 。圖 （11）對于第二問。構造出梯形 ABCD 第三次翻折得到的圖。如圖 。圖 （12）移動點 H，發(fā)現(xiàn)當 GH≥10cm 時，等邊三角形包圍了梯形。如圖圖 ，圖 2。因此在直線 GH 上再找一個點 M，移動 M，使 GM=10cm。制造“H→M”的按鈕，更名為“目標”。隱藏點 M。完成第二問。如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究21圖 圖 圖 （13）度量出直角梯形 ABCD 的面積的一半。再度量出翻折 3 次后的梯形與等邊三角形的面積。完成。如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究22圖 滿分解答解：（1）圖 如圖 。因為 CB=5， =10，CN=8 所以 =239。C39。CN又因為∠DCB=60176。且∠ =60176。39。I所以△ 為正三角形.39。IN所以△ 的高為 h=39。 3所以 = 2 =39。ICNSV12（2） 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究23圖 在直角梯形 ABCD 中因為 CD=6，∠DCB=60176。所以 AB=3 cm3當直角梯形在第三次翻折后，剛好跟等邊三角形的 PM 邊有一個交點時能滿足重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積，設這個交點為 K，如圖 。在 Rt△ 中，tan30176。=KMBBK =3 =33所以 MN= + + =3+5+2=10 cm 39。CN（3） = （2+5）3 =ABCDS梯 形 12321當 M 與 重合時，交 于 V .如圖 。39。圖 則 = ＞ S 梯形MVC39。S15324?1ABCD． 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究24圖 所以 MC’＜5，設 MC’=x，則有 h39。= x，如圖 。32所以令 = x x=S公 共 部 分 12g314解得 x=因為 =239。CN所以等邊三角形 MNP 的邊長 a 為（ +2）cm21一平面圖形經過翻折后成為空間圖形,由于位置關系變了,有些元素在位置關系的變化中發(fā)生了變化,有些元素的數(shù)量關系并不改變。翻折類題型的解法的關鍵是要抓住這些變動著的量和保持不變的量之間的關系，搞清楚變化的量在翻折過程中的空間關系的位置變化。利用幾何畫板進行翻折類題型的動態(tài)展示，更清晰地看清平面圖形翻折過程中的動態(tài)變化。變化的量在變化的過程中通過幾何畫板有一個很直觀的動態(tài)展示，能更好地理解題目。3 旋轉類問題旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉，這個定點叫做旋轉中心，圖形轉動的角叫做旋轉角。旋轉特征：圖形旋轉時，圖形中的每一點旋轉的角都相等，都等于圖形的旋轉角。這是圖形變換最基本的一種，我選取了比較有代表性的 2022 年山東德州中考第 23 題為例子，詳解如下： 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究25 例 3（2022 年山東德州）已知正方形 ABCD 中， E 為對角線 BD 上一點，過 E 點作 EF⊥ BD 交 BC 于 F，連接 DF， G 為DF 中點，連接 EG， CG．（1）求證： EG=CG；（2）將圖①中△ BEF 繞 B 點逆時針旋轉 45186。，如圖②所示，取 DF 中點 G，連接EG， CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． （3）將圖①中△ BEF 繞 B 點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明） 動態(tài)體現(xiàn)請打開幾何畫板文件名“旋轉 1”。 探究過程展現(xiàn)該題的主要變量是：△BEF 的大小，主要不變量是：線段 EG 與線段 GC 的位置。（1）對于第一問：求證： EG=CG；點擊“動點 E”按鈕，可改變線段 BE 的長度，從而改變△BEF 的大小。如圖 和圖 。在這個過程中，EG 與 GC 的長度雖然隨時改變，但能清晰地觀察到 EG 與 GC的長度始終相等。從課件中讓學生初步感知到“變”與“不變”。FBA DCEG第 23 題圖①FBA DCEG第 23 題圖②FBACE第 23 題圖③ 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究26圖 圖 （2）對于第二問：將圖①中△ BEF 繞 B 點逆時針旋轉 45186。，如圖②所示，取 DF 中點 G，連接 EG， CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．點擊“逆時針旋轉”按鈕，即能讓學生看到△BEF 整個旋轉過程。如圖 到圖 3。學生能全程看到線段 EG 和線段 GC 的長度始終不變，從而進一步思考原因。觀察后按“三角形返回”按鈕，使三角形恢復旋轉前位置。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究27圖 圖 （3）除此之外，可點擊“E 點運動”按鈕，隨意改變線段 BE 的長度再行觀察。如圖 3。 圖 （3）對于第三問：將圖①中△ BEF 繞 B 點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？如圖 至 。點擊“任意角度旋轉點 E”按鈕，即可對△BEF 進行任意角度旋轉，此時可隨時觀察到 EG 與 GC 各自的長度雖然改變，但始終相等。點擊“三角形返回”即可恢復旋轉前的位置。 圖 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究28圖 （4）跟前兩問一樣，點擊“動點 E”按鈕，可隨意改變線段 BE 的長度，進而改變△BEF 的大小，進行再次觀察。（5）當然，可以將三個小問整合在同一個圖中展現(xiàn)出來。如圖 。圖 課件制作步驟要點（1）畫出正方形 ABCD，與對角線 BD，作 BD 的中點 I，構造線段 BI，在 BI 上作一個點E。然后隱藏點 I。如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究29圖 （2）制作點 E 的動畫點。使點 E 在線段 BI 上來回運動。這樣便構造會改變大小的△BEF.圖 （3）按照題目的條件畫出下圖。但很快發(fā)現(xiàn)這樣△BEF 是不能夠旋轉的。圖 （4）為使△BEF 能夠繞點 B 旋轉，以點 B 為圓心，分別以 BE 與 BF 的長度為半徑畫圓。在小圓上作點 N，過點 N 作 BN 的垂線，交大圓于 O。如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究30圖 （5）作點 N 移動到點 E 的操作按鈕，命名為“三角形返回”。圖 （6）作小圓與 AB 的交點 P，作點 N 移動到點 P 的操作按鈕，命名為“逆時針旋轉”。圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究31（7）作點 N 的動畫點，使點 N 能在小圓上逆時針旋轉任意角度。將按鈕更名為“任意角度旋轉”。圖 （8）隱藏該隱藏的，將點 N，O 更名為點 E 與點 F。圖 （9）連接 FD，作 FD 的中點 G，連接 EG 與 GC。度量出 EG 與 GC 的長度。完成。圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究32 滿分解答解：（1）證明：在 Rt△FCD 中， ∵G 為 DF 的中點，∴ CG= 12FD同理，在 Rt△ DEF 中， EG= 2FD∴ CG=EG（2） （1）中結論仍然成立，即 EG=CG證法一：連 接 AG，過 G 點作 MN⊥AD 于 M，與 EF 的延長線交于 N 點．[來源:學科網 ZXXK]在△DAG 與△ DCG 中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG ，DG=DG，∴ △DAG ≌△ DCG∴ AG=CG在△DMG 與△FNG 中，∵ ∠DGM =∠FGN，F(xiàn)G =DG，∠MDG=∠NFG，