【文章內(nèi)容簡介】 將直角梯形 ABCD 向左翻折 180176。，翻折一次得到圖形①，翻折二次得圖形②，如此翻折下去。 （ 1）將直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長 a≥ 2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？ （ 2）將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積，這時等邊三角形的邊長 a至少應為多 少？ （ 3）將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？ 動態(tài)體現(xiàn) 請打開幾何畫板文件名“翻折 2”。 IP圖 12①②MADC BN 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 13 探究過程展現(xiàn) 該題的 主要 變量是：等邊三角形 MNP 的大小， 主要 不變量是：直角梯形 ABCD 的大小。 對于第一問： 將直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長 a≥ 2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？ （ 1） 如 圖 ，圖 。 在 GH 直線上 .移動點 H或選中 H點按“左右鍵”，即 可改變等邊三角形 PMN 的邊長， 因為 GH 的長度就是 等邊三角形 PMN 的邊長大小。 同時可觀察到 當 a2cm 時， 重疊部分的面積不會改變。 從而為學生解題提供結(jié)論性的幫助。 圖 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 14 （ 2） 如 圖 與 圖 。 可以發(fā)現(xiàn)當 a=2 時，三角形的邊 PM 與梯形的斜邊重合。因此 a=2 是一個臨界點，當 a2 時，重疊面積小于等邊三角形的面積。因此題目要求 a≥2cm 就是這個原因。 圖 圖 對于第二問 :將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積，這時等邊三角形的邊長 a 至少應為多少？ （ 3） 移動點 H， 或選中點 H按“左右鍵”，以 改變等邊三角形的大小，觀察重疊部分的變化。 或者移動“目標 點 ”按鈕，會觀察到臨界點，此時讀取 a的值為 10cm。 如 圖 ， 圖， 圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 15 圖 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 16 圖 對于第三問： 將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？ （ 4） 移動點 H， 或選中點 H按“左右鍵”。 可改變等邊三角形的大小，直到重疊部分面積=梯形面積的一半，讀取 a 的值。 容易發(fā)現(xiàn)當 a= 時，重疊部分面積 =梯形面積的一半。 如圖 。 當 a 時，重疊部分面積 梯形面積的一半 。如 圖 。 當 a 時，重疊部分面積 梯形面積的一半 。如 圖 。 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 17 圖 圖 關鍵制作步驟 （ 1） 建立平面直角坐標系，以 C為原點，按題目要求畫出直角梯形。 如 圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 18 圖 （ 2） 雙擊 y 軸，是 y 軸成為對稱軸。作直角梯形 ABCD 的反射圖形 A’ B’ CD’ 。 如 圖。 圖 （ 3） 制作翻折效果。在 y軸上找一點 M， CM CM與 CB 的坐標距離。以 C為中心，CB 為長軸、 CM 為短軸構(gòu)造橢圓。 先寫出橢圓的解析式， 222( ) (1 )xf x C M CB? ? ?.如圖。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 19 圖 （ 4） 在橢 圓上找一點 H，連接 CH。過點 H作 HO 垂直于 CB 且 HO 等于 AB，且過點 O作 CH的平行線，且使 OP=AD。連接 CP。 如圖 。 圖 （ 5） 隱藏橢圓，制作動畫按鈕。先制作隱藏直角梯形 A’ B’ CD’ 按鈕 ，再制作“ H→ B’ ”的按鈕，然后制作顯示直角梯形 A’ B’ CD’ 按鈕，最后先后選中它們，制作順序 3 個動作。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 20 圖 （ 6） 將剛才的“順序 3個動作”更名為“翻折 1”。 同樣方法 制作“返回 1”按鈕。 如圖 。 . 圖 （ 7） 用同樣地方法， 構(gòu)造 第二個 橢圓。此時的橢圓的位置比之前的橢圓對比，應該向左移動 5個單位。因此函數(shù)解析式為 222( 5 )( ) (1 )xf x CM CB?? ? ?g。 接著 制造會動的梯形。 如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 21 圖 （ 8） 按上述方法 制作“翻折 2”與“返回 2”按鈕。完成翻折效果圖。 如 圖 。 圖 （ 9） 對于第一問 ： 將直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長 a≥ 2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？ 構(gòu)造線段 GH,H 點可在直線上運動從而改變 GH 的長度。使 a=GH 的長度，構(gòu)造等邊三角形。如 圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 22 圖 （ 10） 構(gòu)造三角形 IC’ N的內(nèi)部，度量出它的面積。完成第一問。 如圖 。 圖 （ 11） 對于第二問。構(gòu)造出梯形 ABCD 第三次翻折得到的圖。 如圖 。 圖 （ 12） 移動點 H，發(fā)現(xiàn)當 GH≥ 10cm 時，等邊三角形包圍了梯形。 如圖 圖 ， 圖。 因此在直線 GH 上再找一個點 M，移動 M，使 GM=10cm。制造“ H→ M”的按鈕，更名為“目標”。隱藏點 M。完成第二問。 如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 23 圖 圖 圖 （ 13） 度量出直角梯形 ABCD 的面積的一半。再度量出翻折 3 次后的梯形與等邊三角形的面積。完成。 如圖 。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 24 圖 滿分解答 解： （ 1） 圖 如圖 。 因為 CB=5， 39。CC=10， CN=8 所以 39。CN=2 又因為∠ DCB=60176。且∠ 39。ICN =60176。 所以△ 39。ICN 為正三角形 . 所以△ 39。ICN 的高為 h= 3 所以39。ICNSV=12 2 3 = 3 （ 2） 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 25 圖 在直角梯形 ABCD 中 因為 CD=6，∠ DCB=60176。 所以 AB=3 3 cm 當直角梯形在第三次翻折后，剛好跟等邊三角形的 PM 邊有一個交點時能滿足 重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積 ，設這個交點為 K，如圖 。 在 Rt△ KMB 中， tan30176。 = MBKB MB =3 3 33 =3 所以 MN= MB + 39。BC+ 39。CN=3+5+2=10 cm （ 3）ABCDS梯 形=12 （ 2+5） 3 3 =2132 當 M與 B 重合 時，交 39。 39。DC于 V .如圖 。 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 26 則MVC39。SV= 1 5 3 25 35=2 2 4??＞ 12S梯形 ABCD． 圖 所以 MC’ ＜ 5，設 MC’ =x，則有 h39。= 32 x，如圖 。 所以 令 S公 共 部 分 =12 xg 32 x=2134 解得 x= 21 因為 39。CN=2 所以等邊三角形 MNP的邊長 a為（ 21 +2） cm 一平面圖形經(jīng)過翻折后成為空間圖形 ,由于位置關系變了 ,有些元素在位置關系的變化中發(fā)生了變化 ,有些 元素的數(shù)量關系并不改變 。 翻折類題型的解法 的關鍵是 要抓 住 這些變動著的量和保持不變的量之間的關系 ，搞清楚變化的量在翻折過程中的空間關系的位置變化 。利用幾何畫板進行翻折類題型的動態(tài)展示，更清晰地看清平面圖形翻折過程中的動態(tài)變化。變化的量在變化的過程中 通過幾何畫板 有一個很直觀的 動態(tài) 展示 ，能更好地理解題目 。 3 旋轉(zhuǎn)類問題 旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角 。 旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角 。 這是圖形變換最基本 的一種，我選取了比較有代表性的 2020 年山東德州中考第 23 題為例子，詳解如下： 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 27 例 3（ 2020 年山東德州） 已知正方形 ABCD 中， E 為 對角線 BD 上一點，過 E 點作 EF⊥ BD 交 BC 于 F，連接 DF， G 為DF 中點，連接 EG， CG． （ 1） 求證： EG=CG； （ 2）將圖①中 △ BEF繞 B點逆時針旋轉(zhuǎn) 45186。，如圖 ②所示 ，取 DF 中點 G，連接 EG， CG．問（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 ． （ 3）將圖①中 △ BEF 繞 B 點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問 （ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） 動態(tài)體現(xiàn) 請打開幾何畫板文件名“旋轉(zhuǎn) 1”。 探究過程展現(xiàn) 該題的 主要 變量是：△ BEF 的大小， 主要 不變量是：線段 EG 與線段 GC的位置。 （ 1） 對于第 一 問： 求證： EG=CG； 點擊“動點 E” 按鈕 ，可改變線段 BE 的長度，從 而改變△ BEF 的大小。 如圖 圖。 在這個過程中， EG與 GC的長度雖然隨時改變，但能清晰地觀察到 EG 與 GC的長度始終相等。從課件中讓學生初步感知到“變”與 “不變”。 F B A D C E G 第 23 題圖 ① F B A D C E G 第 23 題圖 ② F B A C E 第 23 題圖 ③ 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 28 圖 圖 （ 2）對于第二 問： 將圖①中 △ BEF繞 B 點逆時針旋轉(zhuǎn) 45186。，如圖 ②所示 ，取 DF 中點 G，連接 EG， CG．問（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 ． 點擊“逆時針旋轉(zhuǎn)”按鈕，即能讓學生看到△ BEF 整個旋轉(zhuǎn)過程。 如 圖 圖 。學生能全程看到線段 EG 和線段 GC 的長度始終不變，從而進一步思考原因。觀察后按“三角形返回”按鈕，使三角形恢復旋轉(zhuǎn)前位置。 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 29 圖 圖 （ 3） 除此之外，可點擊“ E點運動”按鈕，隨意改變線段 BE的長度再行觀察。 如圖 。 圖 （ 3）對于 第 三 問： 將圖①中 △ BEF 繞 B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？ 如圖 。 點擊 “任意角度旋轉(zhuǎn)點 E” 按鈕，即可對△ BEF 進行任意角度旋轉(zhuǎn)，此時可隨時觀察到 EG 與 GC 各自的長 度雖然改變，但始終相等。點擊“三角形返回”即可恢復旋轉(zhuǎn)前的位置。 圖 圖 幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究 30 圖 （ 4） 跟前兩問一樣，點擊“動點 E”按鈕，可隨意改變線段 BE 的長度，進而改變 △ BEF 的大小，進行再次觀察。 （ 5） 當然，可以將三個小問整合在同一個圖中展現(xiàn)出來。 如圖 。 圖 課件制作步驟要點 （ 1） 畫出正方形 ABCD，與對角線 BD，作 BD 的中點 I，構(gòu)