【正文】 完成了整一道題。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 61 圖 (17)對(duì)于第三問(wèn)。發(fā)現(xiàn) B’ 與 A 點(diǎn)關(guān)于 y 軸對(duì)稱。完成第（ 1）問(wèn)。構(gòu)造點(diǎn) I（ xH， f(xH)）。旋轉(zhuǎn)的角度，即為α的度數(shù)。因此 OA39。 ＜ α ＜ 90176。 ）． ① 當(dāng) α ＝ 30176。度量出 M 的橫坐標(biāo) xA， 并度量出 MN 的坐標(biāo)距離。其中 Rt△ DCE 能在 x軸上左右移動(dòng)。那是前者還是后者呢？如果是后者， 它 的軌跡如 圖 。 這時(shí) D點(diǎn)同樣也可知落在拋物線上。 （ 1）對(duì)于第一問(wèn)，根據(jù)題意可求出拋物線的解析式為 22 10 433y x x? ? ?。 B A C D E F G 1 2 圖 12 H P M 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 44 ENMDCBA Oyx旋轉(zhuǎn) 不改變圖形的形狀與大小，只是位置發(fā)生變化，使圖中的相關(guān)條件發(fā)生了新的聯(lián)系， 這 類題型的解法 的關(guān)鍵還是 要抓住 這些變動(dòng)著的量和保持不變的量之間的關(guān)系 ，搞清楚變化的量在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的平面關(guān)系的位置變化。構(gòu)造線段 EH，使之為虛線。在圓上找一點(diǎn) F，連接 DF。 點(diǎn)擊“第三問(wèn)”按鈕， 會(huì)發(fā)現(xiàn)正方形 ABCD 與 DGFE 的大小發(fā)生改變，使 AD=4， DG= 2 。 A B C D E F 圖 10 G A D 圖 11 F E B C G A D B C E F H M 圖 12 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 36 圖 圖 （ 2）也可以拉動(dòng)點(diǎn) C 或點(diǎn) P改變正方形 ABCD 與正方形 DEFG 的大小再行觀察。 ∴ △ MEC 為直角三角形 ． ∵ MG = CG， F B A D C E 圖 ③ G F B A D C E G M N N 圖 ②（一） F B A D C E G M 圖 ②（二） 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 35 ∴ EG=21MC． ∴ EGCG? （ 3）（ 1）中的結(jié)論仍然成立， 即 EG=CG． 其他 的結(jié)論 還有 :EG⊥ CG 例 4（ 2020 湖南常德市 ） 如圖 10，若四邊形 ABCD、四邊形 CFED 都是正方形，顯然圖中有 AG=CE， AG⊥ CE. (1)當(dāng)正方形 GFED 繞 D旋轉(zhuǎn)到如圖 11 的位置時(shí)， AG=CE 是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 . (2)當(dāng)正方形 GFED 繞 D旋轉(zhuǎn)到如圖 12 的位置時(shí)，延長(zhǎng) CE交 AG 于 H，交 AD于 M. ①求證： AG⊥ CH。 圖 （ 6） 作小圓與 AB 的交點(diǎn) P，作點(diǎn) N 移動(dòng)到點(diǎn) P的操作按鈕，命名為“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 31 圖 （ 2） 制作點(diǎn) E的動(dòng)畫點(diǎn)。 點(diǎn)擊 “任意角度旋轉(zhuǎn)點(diǎn) E” 按鈕，即可對(duì)△ BEF 進(jìn)行任意角度旋轉(zhuǎn)，此時(shí)可隨時(shí)觀察到 EG 與 GC 各自的長(zhǎng) 度雖然改變，但始終相等。 F B A D C E G 第 23 題圖 ① F B A D C E G 第 23 題圖 ② F B A C E 第 23 題圖 ③ 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 28 圖 圖 （ 2）對(duì)于第二 問(wèn)： 將圖①中 △ BEF繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45186。 旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角 。SV= 1 5 3 25 35=2 2 4??＞ 12S梯形 ABCD． 圖 所以 MC’ ＜ 5，設(shè) MC’ =x，則有 h39。 所以 AB=3 3 cm 當(dāng)直角梯形在第三次翻折后，剛好跟等邊三角形的 PM 邊有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)能滿足 重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積 ，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為 K，如圖 。CC=10， CN=8 所以 39。完成第二問(wèn)。 圖 （ 11） 對(duì)于第二問(wèn)。完成翻折效果圖。 同樣方法 制作“返回 1”按鈕。 先寫出橢圓的解析式， 222( ) (1 )xf x C M CB? ? ?.如圖。 圖 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 17 圖 圖 關(guān)鍵制作步驟 （ 1） 建立平面直角坐標(biāo)系，以 C為原點(diǎn)，按題目要求畫出直角梯形。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 15 圖 圖 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 16 圖 對(duì)于第三問(wèn)： 將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？ （ 4） 移動(dòng)點(diǎn) H， 或選中點(diǎn) H按“左右鍵”。 從而為學(xué)生解題提供結(jié)論性的幫助。等邊三角形 MPN（ N 為不動(dòng)點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為 a cm，邊 MN 和直角梯形 ABCD 的底邊 BC都在直線 l 上， NC＝ 8cm。 ∴ ???????????? 30602 60180 E A OO E AFEA ， ∴△ EFQ 為等邊三角形，32?EQ 作 QI⊥ EO于 I， EI=3121 ?EQ， IQ= 3323 ?EQ ∴ IO= 313132 ?? ∴ Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 )31,33( ∵拋物線 y=mx2+bx+c 過(guò)點(diǎn) C(0， 1)， Q )31,33( ， m=1 ∴可求得 3??b ， c=1 ∴拋物線解析式為 132 ??? xxy （ 4）由（ 3）， 3323 ?? EOAO 當(dāng) 332?x 時(shí)， 3113323)332( 2 ?????y ＜ AB ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為 )31,332( ∴ BP= 32311 ?? AO 方法 1：若△ PBK 與△ AEF 相似，而△ AEF≌△ AEO，則 分情況如下： ①3323232 ?BK 時(shí)， 932?BK ∴ K 點(diǎn)坐標(biāo)為 )1,934( 或 )1,938( ②3232332 ?BK 時(shí)， 332?BK ∴ K 點(diǎn)坐標(biāo)為 )1,334( 或 )1,0( 故直線 KP與 y軸交點(diǎn) T的坐標(biāo)為 )1,0()31,0()37,0()35,0( 或或或 ?? 方 法 2：若△ BPK 與△ AEF 相似，由（ 3）得：∠ BPK=30176。作正方形 CFGH. 如 圖 。 而 這一步的關(guān)鍵是 找到一個(gè)大小適中的圓 。 圖 （ 2 ） 為 了 確 定 折 痕 的 位 置 ， 如圖 所 示 ， 設(shè) OE=x,BC=b ， CO=a, 則? ? ? ? 22 2 2 2a x b b a x? ? ? ? ? 解得 x=OE= 2 2 2b b b aa??。所以用幾何畫板去探究題目，不僅直觀，而且是檢驗(yàn)題目的正確性的一個(gè)很好 的工具。第一處錯(cuò)得地方是該比值：；四邊形四邊形CNM NCF G HSSm ?， 分母是四邊形 CNMN 應(yīng)改為四邊形 CNMO. 第二處錯(cuò)誤的地方是：按照題目讓 CM＝｜ CF— EO｜是不行的。 如 圖 。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 5 動(dòng)態(tài)體現(xiàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“翻折 1”。 翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折 180186。s demonstration with the lack of their own operation process. In this paper as the various provinces and cities nationwide the typical dynamic type senior high school entrance examination questions in recent three years for example, the subject is mainly divided into rotation, folding, translation .Using geometric sketchpad to produce corresponding solving courseware, teachers and students can handson operation, thereby better analys these three kinds of transform exercises. In this paper the Geometer39。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 1 中文摘要 隨著幾何畫板在數(shù)學(xué) 解題 上的廣泛應(yīng)用， 學(xué)生在理解動(dòng)態(tài)型題目過(guò)程中能輕松 將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言 轉(zhuǎn) 化為具體圖像表達(dá)， 但學(xué)生只是看到教師的演示，缺少自己動(dòng)手操作的過(guò)程 。s Sketchpad courseware displays a full investigation process, making teachers and students experience the changed and unchanged of this three kind of transformations in a dynamic type and get a clear thinking. This paper record the details of the steps of making courseware illustrately. And it can be used as a simple tutorial for teachers. Key words : rotation, translation, folding, the Geometer39。后所形成的新的圖形的變化 。 探究過(guò)程展現(xiàn) 該題的 主要 變量是矩形 OABC 的大小， 主要 不變量是△ AOE 的翻折。 點(diǎn)擊“改變 C”或者“改變 A”按鈕，改變點(diǎn) F 在 BC 上的位置。算 出來(lái)的 m不是一個(gè)定值，它會(huì)隨著矩形 OABC 的改變而改變。因此用幾何畫板解題是很有必要的。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 8 圖 則以 O為圓心， 為半徑作圓，交 OC 于點(diǎn) 所示，找出折痕點(diǎn) E。 圖 （ 5） 如圖 ， 隱藏圓與線段 OF，度量出 CE 與 EO 的長(zhǎng)度。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 10 圖 （ 7） 構(gòu)造四邊形 CMNO 與四邊形 CFGH，度量出其面積比 m,完成?；?60176。將直角梯形 ABCD 向左翻折 180176。 圖 圖 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 14 （ 2） 如 圖 與 圖 。 可改變等邊三角形的大小，直到重疊部分面積=梯形面積的一半，讀取 a 的值。 如 圖 。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 19 圖 （ 4） 在橢 圓上找一點(diǎn) H，連接 CH。 如圖 。 如 圖 。構(gòu)造出梯形 ABCD 第三次翻折得到的圖。 如圖 。CN=2 又因?yàn)椤?DCB=60176。 在 Rt△ KMB 中， tan30176。= 32 x，如圖 。 這是圖形變換最基本 的一種，我選取了比較有代表性的 2020 年山東德州中考第 23 題為例子，詳解如下： 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 27 例 3（ 2020 年山東德州） 已知正方形 ABCD 中， E 為 對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF⊥ BD 交 BC 于 F，連接 DF， G 為DF 中點(diǎn)，連接 EG， CG． （ 1） 求證： EG=CG； （ 2）將圖①中 △ BEF繞 B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45186。如圖 ②所示 ，取 DF 中點(diǎn) G，連接 EG， CG．問(wèn)（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立 ？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 點(diǎn)擊“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”按鈕，即能讓學(xué)生看到△ BEF 整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程。點(diǎn)擊“三角形返回”即可恢復(fù)旋轉(zhuǎn)前的位置。使點(diǎn) E在線段 BI上來(lái)回運(yùn)動(dòng)。 圖 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 33 （ 7） 作點(diǎn) N 的動(dòng)畫點(diǎn)，使點(diǎn) N 能在小圓上