【正文】 ............................................................................... 45 探究過程展現(xiàn) ............................................................................................................................................... 45 ........................................................................................................................................ 48 滿分解答 ....................................................................................................................................................... 51 例 6（ 2020 年浙江義烏）（平移與旋轉(zhuǎn)結(jié)合） ............................................................................................... 52 ........................................................................................................................................................ 52 探究過程展現(xiàn) ............................................................................................................................................... 52 關(guān)鍵制作步驟 ............................................................................................................................................... 55 滿分解答 ....................................................................................................................................................... 62 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 4 1．引言 平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對(duì)給定的圖形 (或其一部分 )施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放，研究目標(biāo)不確定，注重考查學(xué)生的猜想、探索能力，因此時(shí)常使學(xué)生無從下手。 而 幾何畫板具有動(dòng)態(tài)演示交互、計(jì)算精確等特點(diǎn)，非常適合于 解決 平移、旋轉(zhuǎn)和翻折 這三大類動(dòng)態(tài)型問題 。 本文結(jié)合幾何畫板課件， 通過 展現(xiàn)完整的探究過程， ，輕松突破了以上難點(diǎn)。通過幾何畫板這個(gè)工具，一來能讓我們直觀地感知題目條件，快速清晰地理 解題意；二來提供一個(gè)實(shí)驗(yàn)探究平臺(tái)，利用它 學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測(cè)并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生 對(duì)題目的 理解和證明 ， 使學(xué)生從過去的 聽數(shù)學(xué) 轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在的 做數(shù)學(xué) 。 翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折 180186。后所形成的新的圖形的變化 。 翻折 特征： 平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸 。 解這類題抓住翻折前后兩個(gè)圖形 是全等的，弄清翻折后不變的要素 。 例 1（ 2020 年鄂州市 ） 如圖 27 所示，將矩形 OABC 沿 AE 折疊，使點(diǎn) O 恰好落在 BC 上 F 處，以 CF 為邊作正方形CFGH，延長(zhǎng) BC至 M，使 CM＝｜ CF— EO｜，再以 CM、 CO 為邊作矩形 CMNO (1)試比較 EO、 EC 的大小，并說明理由 。 (2)令；四邊形四邊形CNMNCFGHSSm ? ，請(qǐng)問 m是否為定值？若是，請(qǐng)求出 m 的值；若不是，請(qǐng)說明理由 。 (3)在 (2)的條件下，若 CO＝ 1， CE＝ 31 ， Q為 AE上一點(diǎn)且 QF＝ 32 ，拋物線 y＝ mx2+bx+c 經(jīng)過 C、 Q 兩點(diǎn)，請(qǐng)求出此拋物線的解析式 。 (4)在 (3)的條件下，若拋物線 y＝ mx2+bx+c 與線段 AB 交于點(diǎn) P，試問在直線 BC上是否存在點(diǎn) K，使得以 P、 B、 K 為頂點(diǎn)的三角形與△ AEF 相似 ?若存在，請(qǐng)求直線 KP 與 y 軸的交點(diǎn) T的坐標(biāo) ?若不存在，請(qǐng)說明理由。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 5 動(dòng)態(tài)體現(xiàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“翻折 1”。 探究過程展現(xiàn) 該題的 主要 變量是矩形 OABC 的大小， 主要 不變量是△ AOE 的翻折。 （ 1）翻折的動(dòng)態(tài)演示。點(diǎn)擊“翻折”按鈕 ，可觀察到翻折的動(dòng)態(tài)過程。點(diǎn)擊“返回”按鈕，可看到三角形返回的過程。同時(shí)下面設(shè)置了兩個(gè)按鈕，可隨意改變矩形 OABC 的大小。 圖 (2)對(duì)于第 一 問： 試比較 EO、 EC 的大小，并說明理由。 這是翻折后的圖形，此時(shí)可以觀察到 EO 的 長(zhǎng)度≥ EC的長(zhǎng)度。 如 圖 。 點(diǎn)擊“改變 C”或者“改變 A”按鈕，改變點(diǎn) F 在 BC 上的位置。再度觀察 EO與 EC的長(zhǎng)度。在這個(gè)過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn) F 越來越靠近點(diǎn) C 時(shí)， CE 與 EO 的長(zhǎng)度會(huì)越來越接近。只有當(dāng)點(diǎn) F與點(diǎn) C重合時(shí)， EO 與 EC的長(zhǎng)度相等，其他情況 EO 的長(zhǎng)度 EC 的長(zhǎng)度。 如圖 。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 6 圖 圖 (3)對(duì)于第二問 ： 令 ；四邊形四邊形C N M NC F G HSSm ?，請(qǐng)問 m 是 否為定值？若是，請(qǐng)求出 m 的值；若不是，請(qǐng)說明理由。 用幾何畫板操作時(shí)，我發(fā)現(xiàn)題目有 2 個(gè)地方都出錯(cuò)了。第一處錯(cuò)得地方是該比值：；四邊形四邊形CNM NCF G HSSm ?， 分母是四邊形 CNMN 應(yīng)改為四邊形 CNMO. 第二處錯(cuò)誤的地方是：按照題目讓 CM＝｜ CF— EO｜是不行的。算 出來的 m不是一個(gè)定值，它會(huì)隨著矩形 OABC 的改變而改變。 如圖 與 圖 。 圖 圖 因此 CM＝｜ CF— EO｜肯定是不對(duì)的。那么 CM 到底等于多少呢？直覺告訴我， CM=｜ CE— EO｜ . 果然，試驗(yàn)了一下成功了。任意改變矩形 OABC 的大小， m始終等于 1。 如 圖 與 圖。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 7 圖 圖 如果不是有了幾何畫板的探究，不管是學(xué)生還是老師，也許將耗費(fèi)很多的時(shí)間在該題上依舊一無所獲。所以用幾何畫板去探究題目，不僅直觀，而且是檢驗(yàn)題目的正確性的一個(gè)很好 的工具。因此用幾何畫板解題是很有必要的。 (4)第三問、第四問，略。 ： （ 1） 建立直角坐標(biāo)系，分別在橫軸與縱軸上取一段線段，再在上面分別取一點(diǎn)，分別命名為 C和 A。建立點(diǎn) C 和點(diǎn) A的動(dòng)畫點(diǎn)。這樣就能隨意改變矩形 ABCO 的大小。 成功構(gòu)造出變量。 如圖 。 圖 （ 2 ） 為 了 確 定 折 痕 的 位 置 ， 如圖 所 示 ， 設(shè) OE=x,BC=b ， CO=a, 則? ? ? ? 22 2 2 2a x b b a x? ? ? ? ? 解得 x=OE= 2 2 2b b b aa??。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 8 圖 則以 O為圓心， 為半徑作圓，交 OC 于點(diǎn) 所示，找出折痕點(diǎn) E。 圖 （ 3） 連接 AE，連接 EF， OF，則△ AEF 是△ AEO 沿著線段 AE 翻折得到的。 如 圖 。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 9 圖 （ 4） 如圖 ， 以 OF 的中點(diǎn) G 為圓心， OG為半徑作圓。在圓上取點(diǎn) I，連接 EI,IA.分別作 I移動(dòng)到點(diǎn) O得動(dòng)畫，命名為“返回”。 作 I移動(dòng)到 F的動(dòng)畫，命名為“翻折”。此步驟是為了 構(gòu)造出翻折效果。 而 這一步的關(guān)鍵是 找到一個(gè)大小適中的圓 。 圖 （ 5） 如圖 ， 隱藏圓與線段 OF，度量出 CE 與 EO 的長(zhǎng)度。 從而能使學(xué)生第一時(shí)間直觀感知 CE 與 EO 的相對(duì)大小，可讓學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，思考解答思路。 完成第一問。 圖 （ 6） 制作第二問： 計(jì)算出 |CEEO|的大小。且以 C 為原點(diǎn)， |CEEO|的長(zhǎng)度為半徑作圓。作直線 CF，交圓于點(diǎn) M。過 M作 CF 的垂線交 x軸于 N。作正方形 CFGH. 如 圖 。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 10 圖 （ 7） 構(gòu)造四邊形 CMNO 與四邊形 CFGH，度量出其面積比 m,完成。 如圖 。 圖 滿 分解答 （ 1） EO＞ EC， 理由如下： 由折疊知， EO=EF，在 Rt△ EFC 中， EF為斜邊，∴ EF＞ EC， 故 EO＞ EC （ 2） m 為定值 ∵ S 四邊形 CFGH=CF2=EF2－ EC2=EO2－ EC2=(EO+EC)(EO― EC)=CO (EO― EC) S 四邊形 CMNO=CM CO=|CE― EO| CO=(EO― EC) CO ∴ 1??CM NOCF G HSSm四邊形四邊形 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 11 （ 3）∵ CO=1，3231 ?? QFCE ， ∴ EF=EO= QF???32311 ∴ cos∠ FEC=21 ∴∠ FEC=60176。， ∴ ???????????? 30602 60180 E A OO E AFEA ， ∴△ EFQ 為等邊三角形，32?EQ 作 QI⊥ EO于 I， EI=3121 ?EQ， IQ= 3323 ?EQ ∴ IO= 313132 ?? ∴ Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 )31,33( ∵拋物線 y=mx2+bx+c 過點(diǎn) C(0， 1)， Q )31,33( ， m=1 ∴可求得 3??b ， c=1 ∴拋物線解析式為 132 ??? xxy （ 4）由（ 3）， 3323 ?? EOAO 當(dāng) 332?x 時(shí)， 3113323)332( 2 ?????y ＜ AB ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為 )31,332( ∴ BP= 32311 ?? AO 方法 1：若△ PBK 與△ AEF 相似，而△ AEF≌△ AEO，則 分情況如下： ①3323232 ?BK 時(shí)， 932?BK ∴ K 點(diǎn)坐標(biāo)為 )1,934( 或 )1,938( ②3232332 ?BK 時(shí)， 332?BK ∴ K 點(diǎn)坐標(biāo)為 )1,334( 或 )1,0( 故直線 KP與 y軸交點(diǎn) T的坐標(biāo)為 )1,0()31,0()37,0()35,0( 或或或 ?? 方 法 2：若△ BPK 與△ AEF 相似，由（ 3）得：∠ BPK=30176。或 60176。，過 P作 PR⊥ y軸于 R， 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究 12 則∠ RTP=60176?；?30176。 ①當(dāng)∠ RTP=30176。時(shí)， 233 32 ???RT ②當(dāng)∠ RTP=60176。時(shí)， 3233 32 ???RT ∴ )1,0()31,0()35,0()37,0( 4321 TTTT ，， ?? 例 2（ 2020 年福州市 ） 已知：如圖 12，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC， BC＝ 5cm， CD＝ 6cm，∠ DCB＝ 60176。，∠ ABC＝ 90176。等邊三角形 MPN（ N 為不動(dòng)點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為 a cm，邊 MN 和直角梯形 ABCD 的底邊 BC都在直線 l 上， NC＝ 8cm。