對(duì)稱思想在幾何中的應(yīng)用研究畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-08 17:46 本頁面
【正文】 3。19 1 對(duì)稱思想方法對(duì)學(xué)生的影響19 2 對(duì)稱思想方法對(duì)教師的影響19參考文獻(xiàn)20后 記21 引 言 從中國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程和數(shù)學(xué)本身的特征看，中國數(shù)學(xué)表現(xiàn)出對(duì)稱性、統(tǒng)一性等科學(xué)美學(xué)特征。中國數(shù)學(xué)美的思想方法對(duì)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育的發(fā)展起到過積極作用，在今后的科學(xué)研究、數(shù)學(xué)教育中還會(huì)起到一定的啟迪作用。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱思想蘊(yùn)涵著豐富的美學(xué)思想和思維方法，充分挖掘教材中的對(duì)稱思想，具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義，特別具有審美教育的價(jià)值。一 對(duì)稱思想的意義對(duì)稱似乎是世間萬事萬物的一種表現(xiàn)形式或現(xiàn)象，而且它成為各種學(xué)科，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、建筑、美學(xué)、繪畫等的基本理論和表現(xiàn)形式之一。哥白尼說：“在這種有條不紊的安排之下，宇宙中存在著奇妙的對(duì)稱”對(duì)稱是廣義的，字母的對(duì)稱，結(jié)構(gòu)的對(duì)稱，圖形的對(duì)稱，解法的對(duì)稱，無論是哪種對(duì)稱都是美好的。數(shù)學(xué)對(duì)稱包括狹義的對(duì)稱、常義的對(duì)稱和泛對(duì)稱。狹義的對(duì)稱又包括代數(shù)對(duì)稱和幾何對(duì)稱?！? 對(duì)稱思想是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)重要組成部分，它普遍表現(xiàn)在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。笛卡兒創(chuàng)建的解析幾何學(xué)可以說是對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成功的運(yùn)用。在這種坐標(biāo)幾何學(xué)中，代數(shù)方程與幾何圖形之間建立了一種對(duì)稱，使代數(shù)與幾何化為一體，達(dá)到完美的統(tǒng)一。在高等數(shù)學(xué)里，對(duì)稱的例子也經(jīng)常遇到。矩陣和行列式被人們稱為“美麗的花園”，即使不懂?dāng)?shù)學(xué)的人，也能感到其排列的整齊和處處對(duì)稱，從而領(lǐng)略它們的形式之美。從更廣泛的意義上講，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱思想不僅在幾何中得到體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中同樣有著廣泛的體現(xiàn)。從運(yùn)算角度看：加與減、乘與除、乘冪與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等，這些互逆運(yùn)算都可以看作一種“對(duì)稱”關(guān)系。從函數(shù)角度看，函數(shù)與反函數(shù)也可視為一種“對(duì)稱”,還有變換與反變換、映像與逆映像等也屬對(duì)稱。從命題的角度看，正定理與逆定理、否定理、逆否定理等也存在著“對(duì)稱”關(guān)系?！皩?duì)偶”關(guān)系也可視為“對(duì)稱”的一種形式。集合論中的棣莫弗公式就是關(guān)于差集的對(duì)偶原理。在邏輯代數(shù)(布爾代數(shù))運(yùn)算中也相應(yīng)的有對(duì)偶原理。在射影幾何中，點(diǎn)和直線之間建立了對(duì)偶關(guān)系，進(jìn)而得出對(duì)偶原理：在平面幾何的任一定理中，如果把點(diǎn)換成直線，直線換成點(diǎn)，并把諸種關(guān)系換成相應(yīng)的對(duì)偶關(guān)系，所得到的新命題依然成立。二 幾何的對(duì)稱性1 （一）幾何公式的對(duì)稱性很多數(shù)學(xué)公式中的字母是對(duì)稱的，地位是平等的，如、這里可以互換，公式仍然成立。 （二）幾何圖形的對(duì)稱性幾何圖形的對(duì)稱性是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)稱思想最通俗直觀的解釋。對(duì)稱是最能給人以美感的一種形式。對(duì)稱性在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為圖形或數(shù)式的對(duì)稱，概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)的對(duì)偶、對(duì)應(yīng)等等。畢達(dá)哥拉斯就曾經(jīng)說過“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圖形”，就是因?yàn)樗鼈兪菍?duì)稱的圖形。對(duì)稱的幾何圖形有很多：如等腰三角形、平行四邊形、菱形、正方形、圓、拋物線等。在幾何圖形中，平行四邊形是中心對(duì)稱的；等腰三角形是軸對(duì)稱的；圓關(guān)于圓心是對(duì)稱的；關(guān)于直徑也是對(duì)稱的；正方形關(guān)于其中心是對(duì)稱的；球則最為特殊，它既是中心對(duì)稱、又是軸對(duì)稱、也是面對(duì)稱的圖形。又如，《解析幾何》中的圓柱、圓錐、旋轉(zhuǎn)曲面、橢球面等這圖形都有鮮明的對(duì)稱性，直觀地給人以美的享受。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。 （三） 對(duì)稱的廣泛應(yīng)用1 數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美在規(guī)劃論中的應(yīng)用在現(xiàn)代生活中, 我們常常遇到這樣的問題：(1)利用有限的資源(人力、物力、財(cái)力)去完成最大的任務(wù)；(2)利用最少的資源完成規(guī)定的任務(wù)。這兩類問題就是《規(guī)劃論》中的對(duì)偶問題，我們把問題(1)視為原問題，問題(2)視為原問題的對(duì)偶問題。由于它們具有對(duì)稱性，我們要求原問題的最大值，就是求對(duì)偶問題的最小值；要求對(duì)偶問題的最小值，就是求原問題的最大值。當(dāng)原問題的約束條件不等式的個(gè)數(shù)比決策變量的個(gè)數(shù)多時(shí)，用求解對(duì)偶問題代替原問題的求解，可使計(jì)算量大大減少。2 數(shù)學(xué)中的對(duì)稱思想在定積分中的應(yīng)用 在計(jì)算旋轉(zhuǎn)體、立體圖形的體積時(shí), 我們運(yùn)用數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性使計(jì)算簡捷。比如圓錐體 2 : 設(shè)圓錐體的高為，底圓半徑為，由圖可知圓錐體關(guān)于軸對(duì)稱，于是我們可以將它看作是由平面圖形，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得。截面面積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，從而在 上可積，所以其體積為三 對(duì)稱思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)
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