【文章內容簡介】 式（37）?njdd)(21)(?? 由于 是矩形頻率響應特性，故 一定是無限長序列，且是?je )(hd非因果的，而 FIR 濾波器的 必然是有限長的，所以要用有限長的)(h來逼近無限長的 ，最有效的方法是截斷 或者說用一個有限)(nhnd nd長度的窗口函數(shù)序列 來截取 ，即d 式（38）)()(h?? 因而窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇就是關鍵。 我們以一個截止頻率為 的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波c寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 12 頁 共 35 頁器為例來討論。設低通特性的群延時為 ，即? 式（3????????cccjjdeH????,0)(9） 這表明，在通帶 ≤ 范圍內， 的幅度是均勻的，其值為c)(jdeH1，相位是 。?? 式（3??)(sin21)( ???????????denhjdc10） 是中心點在 的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的 ，)(d )(nh一種最簡單的方法就是取矩形窗 ，即)(nRN 式（3)(N??11） 但是按照線形相位濾波器的約束， 必須是偶對稱的，對稱中心應nh為長度的一半(N1)/2，因而必須 =(N1)/2，所以有? 式（312）???????????21N,01)()()(??為 其 他nNhndd 將式 39 代入式 310，可得 式（313）10,0)21(sin)( ??????????????Nnhc為 其 他 值?? 此時，一定滿足 這一線性相位的條件。)()hn? 下面求 的傅里葉變換，也就是找出待求 FIR 濾波器的頻率特性， )(h寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 13 頁 共 35 頁以便能看出加窗處理后究竟對頻率響應有何影響。 按照復卷積公式，在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關系，即 式（314）?????deHejdj )(21)(???? 因而 逼近 的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性jHjd。)(?jeW 窗函數(shù) 的頻率特性 為)(n)(?jeW 式（315）???10)()(Nnnjj 對矩形窗 ，則有)nRN 式（316）)2sin()(110NeeWjNnjjR ?????? 也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù) 式（317）??)21()(??NjRjNee 其中 式（318）)2sin()(NWR?? 就是頻域抽樣內插函數(shù)，其幅度函數(shù) 在 之內)(?jReW)(?RWN/2???為一個主瓣，兩側形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應也寫成 式（319）??)21()(??NjdjdeHe寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 14 頁 共 35 頁 則其幅度函數(shù)為 式（320）?????????cdH,01)( 窗函數(shù)介紹 實際應用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型和特點： （1）矩形窗 矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，函數(shù)形式為: 式（321）??????Ttt,01)(?相應的窗譜為： 式（322）TW?sin2)(? 矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負譜現(xiàn)象。寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 15 頁 共 35 頁圖 31 矩形窗的時域及頻域波形（2）三角窗亦稱費杰(Fejer)窗，是冪窗的一次方形式，其函數(shù)形式是： 式（323）???????Tttt,0),1()?三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣，如圖 32 所示。圖 32 三角窗的時域波形圖（3）漢寧(Hanning)窗漢寧窗又稱升余弦窗，其時域表達式為：寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 16 頁 共 35 頁 式（324）????????Tttt,0),cos21()??相應的窗譜為： 式（325）????????????TW)sin()sin(21si)( 由此式可以看出，漢寧窗可以看作是 3 個矩形時間窗的頻譜之和，或者是 3 個 sin(t)型函數(shù)之和，而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左、右各移動了 π/T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能?？梢钥闯觯瑵h寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當于分析帶寬加寬，頻率分辨率下降。 （4）海明(Hamming)窗 海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進的升余弦窗，其時間函數(shù)表達式為： 式（326）????????TtTtt,0),.(1)?? 其窗譜為： 式（327）?????????????TTW)sin()sin()( 海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權系數(shù)不同。海明窗加權的系數(shù)能使旁瓣達到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為42dB。海明窗的頻譜也是由 3 個矩形窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為 20dB／(10oct)，這比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數(shù)。 （5）高斯窗寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 17 頁 共 35 頁 高斯窗是一種指數(shù)窗。其時域函數(shù)為： 式（328） ????????Ttetat,01)(2? 式中 a 為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。a 值如果選取適當，可以使截斷點(T 為有限值)處的函數(shù)值比較小，則截斷造成的影響就比較小。高斯窗譜無負的旁瓣，第一旁瓣衰減達一 55 dB。高斯窗的主瓣較寬，故而頻率分辨率低。高斯窗函數(shù)常被用來截斷一些非周期信號，如指數(shù)衰減信號等。不同的窗函數(shù)對信號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函數(shù)，產生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截斷產生了能量泄漏，而用 FFT 算法計算頻譜又產生了柵欄效應，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進行抑制。圖 33 是幾種常用的窗函數(shù)的時域和頻域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高。圖 33 幾種常用的窗函數(shù)的時域和頻域波形 對于窗函數(shù)，還有一些要求： (1)3dB 帶寬 B，它是主瓣歸一化的幅度下降到3dB 時的帶寬。當數(shù)據(jù)長度為 N 時，矩形窗主瓣兩個過零點之間的寬度為 4π/N。 (2)最大邊瓣峰值 A(dB)。寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 18 頁 共 35 頁 （3)邊瓣譜峰漸進衰減速度 D(dB/cot)。 所以，理想的窗函數(shù)應當具有最小的 B 和 A，和最大的 D。 窗函數(shù)法設計步驟(1)、首先是給定所要求的頻率響應函數(shù) ；)(?jdeH(2)、其次，求單位沖激響應 ；??nhnjdd)(21)(??? (3)、再次，有過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，查表選定窗函數(shù)及 N的大小，一般 N 的大小要通過幾次試探而后確定； (4)、求得所設計的 FIR 濾波器的單位沖激響應； ，n=0，1，…,N1；)()(nhd??(5)求 ，檢驗是否滿足設計要求，如不滿足，???0nnjjeeH?則需要重新設計。第四章 設計實例 用窗函數(shù)法設計一個數(shù)字低通濾波器。要求:通帶截止頻率:,阻帶起始頻率:,阻帶最小衰減:50dB。 (1)設 為理想線性相位濾波器)(?jeH 式（4???????其 他,0)(,cjjeH???寧夏大學物理電氣信息學院信息工程系 第 19 頁 共 35 頁1） 由所需低通濾波器的過渡帶求出理想低通濾波器的截止數(shù)字頻率ω=,得出: 。為 線 性 相 位 所 需 的 移 位,21 ,)](sin[21)( )(?? ???????