【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 若一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性移不變性 （ Linear Shift Invariant， LSI） 離散時(shí)間系統(tǒng)。 線性：即該系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足疊加原理；移不變性：設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì) x（ n）的響應(yīng)是 y（ n），如果將 x（ n）延遲 k 個(gè)抽樣周期、輸出 y（ n）也相應(yīng)地延遲了 k個(gè)抽樣周期。離散時(shí)間系統(tǒng)（ LSI）分為有限沖激響應(yīng)（ Finite Impulse Response， FIR）系統(tǒng)和無(wú)限沖激響應(yīng)（ Infinite Impulse Reponse， IIR）系統(tǒng)。 且對(duì)一個(gè) LSI系統(tǒng)我們可以用四種不同的方法描述它： ① 頻率響應(yīng)： ?????0 )()( nnjj enheH ?? ② 轉(zhuǎn)移函數(shù)： nn znhzH????? 0 )()( ③ 差分方程： ???? ?????MrNk rnxrbknykany 01 )()()()()( ④ 卷積關(guān)系： )(*)()()()( nhnxknhkxnyk ??? ????? 3 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換及 DFT 簡(jiǎn)單介紹一下連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換及傅立葉級(jí)數(shù)的基本概念，然后著重討論離散信號(hào)的抽樣定理，最終引導(dǎo)出時(shí)域和頻域都取離散值的離散 傅立葉變換即 DFT。 DFT 是數(shù)字信號(hào)處理中最基本，也是最重要的運(yùn)算。 連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換： 設(shè) )(tx 為一連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則 )(tx 的傅立葉變換為dtetxjX tj???? ???? )()( 其反變換為 ??? ???? ? dejXtx tj)(21)( ? 其中 f?2?? 為角頻率，單位 為 rad/s。 )(?jX 是 ? 的連續(xù)函數(shù)，稱為信號(hào) )(tx 的頻率密度函數(shù)或頻譜密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱為頻譜。 (1) 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（ DTFT 的定義） 對(duì)任意的 )(nx ，其離散時(shí)間的傅立葉變換（ DTFT）為 ?????? njj enxeX ?? )()( ???? ??? ? )2(2 )()( ???? jj enxeX )()(2 ??? jnjnj eXenxe ?? ???? ?? 由式 我們可以看出 )( ?jeX 是 ? 的周期函數(shù)，周期為 ?2 。而且由序列 z變換的定義很容易得到式 ?? jj ezzHeH ?? )()( 即 DTFT 是 z僅在單位圓上取值 z 變換。 DTFT 的反變換公式為 ?? ??? ? deeXnx njj )(21)( ??? (2) DFT 的定義 DFT 對(duì)應(yīng)的是在時(shí)域、頻域都是有限長(zhǎng)且都是離散的，其正變換為 1,1,0,)()()( 10102 ???? ?? ????? NkWnxenxkX nkNNnNnnkNj ?? 反變換為 1,1,0,)(1)(1)( 1010 2 ???? ????? ?? NkWkXNekXNnx nkNNnNn nkNj ?? (3) 抽樣定理 抽樣定理是連接離散信號(hào)和連續(xù)信號(hào)的橋梁，是進(jìn)行離散信號(hào)處理與離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。將連續(xù)信號(hào) )(txa 和沖激串 函數(shù) )(tp 相乘。即可得到離散信號(hào))(nTsx ， )()()()( tptxtxn T sx an T sta ?? ? 其中沖激串函數(shù)為： ????? ?? n nT sttp )()( ?，它是時(shí)域的周期信號(hào)，周期為 Ts ，則)(txa 和 )(nTsx 的傅立葉變換如式 和式 所示 dtetxjX tjaa ???????? )()( ?????? njj enT sxeX ?? )()( 由上述兩式可以得到 ??????? ?????? n saTssj jkjXTsjXeX )(1)()( ?? 將連續(xù)信號(hào) )(txa 經(jīng)抽樣變成 )(nTsx 后， )(nTsx 的頻譜將變成周期的。相對(duì)頻率 ? ，周期為 ss fTs ?? 2/2 ??? ，相對(duì)圓頻率 ? ，周期為 ?2 。變成周期的方法是將 )( ?jXa 在頻率軸上以 s? 為周期作移位后再疊加并除以 Ts。這種現(xiàn)象又稱為頻譜的周期延拓。則在保證抽樣頻率 cs ff 2? ，則可由 )(nTsx 恢復(fù)出 )(tx ，即 )(nTsx 保留了 )(tx 的全部信息。 cs ff 2? 是最小抽樣頻率，即“ Nyquist 頻率”，2/sf 稱為折疊頻率。 FIR 濾波器背影知識(shí) 有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器和無(wú)限沖擊響應(yīng)（ IIR）濾波器廣泛 應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中。 IIR 數(shù)字濾波器方便簡(jiǎn)單，但它相位的線性，要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正。圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性，有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器具有很好的線性相位特性，因此越來(lái)越受到廣泛的重視。 1 IIR 和 FIR 數(shù)字濾波器的比較： 首先，從性能上說(shuō)， IIR 濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高，但是這個(gè)高效率是以相位為代價(jià)的。選擇性越好，則相位非線性越嚴(yán)重。相反，F(xiàn)IR 濾波器卻可以得到嚴(yán)格的非線性相位 ，然而由于 FIR 濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，所以只能用較高的階數(shù)達(dá)到高的選擇性；對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)， FIR 濾波器所要求的階數(shù)可以比 IIR 濾波器高 5~10 倍，結(jié)果，成本高，信號(hào)延時(shí)也較大；如果按相同的選擇性和相同的線性要求來(lái)說(shuō)，則 IIR 濾波器就必須加全同網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，同樣要大大增加濾波器的節(jié)數(shù)和復(fù)雜性。 從結(jié)構(gòu)上看， IIR 濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。另外在這種結(jié)構(gòu)中，由于運(yùn)算過(guò)程中對(duì)序列的舍入處理，這種有限字長(zhǎng)效應(yīng)有時(shí)會(huì)引起寄生振蕩。相反， FIR 濾波器主要采 用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上還是在實(shí)際的有限精度運(yùn)算中都不存在穩(wěn)定性的問(wèn)題，運(yùn)算誤差較小。 FIR 濾波器采用快速傅立葉變換算法，在相同階數(shù)的條件下，運(yùn)算速度快的多。 從設(shè)計(jì)工具看， IIR 濾波器可以借助與模擬濾波器的成果，計(jì)算工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)只有計(jì)算程序可循，對(duì)計(jì)算工具要求不高。 從上面簡(jiǎn)單比較看出 IIR 與 FIR 濾波器各有所長(zhǎng)，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)從多方面來(lái)加以選擇。在相位要求不敏感的場(chǎng)合，用 IIR 較為合適，可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟(jì)高效的特點(diǎn)。對(duì)于圖象信號(hào)處理，數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的 餓系統(tǒng)，則對(duì)線性相位要求高，采用 FIR 濾波器較好。 2 有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器的特點(diǎn)： １ .系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng) h(n)在有限個(gè) n 值處不為零。 ２ .系統(tǒng)函 數(shù) H(z)在 z 0 處收斂，極點(diǎn)全部在 z＝０處（穩(wěn)定系統(tǒng)）。 ３．結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。 3 有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器的優(yōu)點(diǎn)： １ .既有嚴(yán)格的線性相位又具有任意的幅度 ２ .FIR 濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而濾波器性能穩(wěn)定 ３ .只要經(jīng)過(guò)一定的延時(shí)，任何非因果有限長(zhǎng)序列都能變成因果的有限長(zhǎng)序列，因而能用因果系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn) 濾波器用于單位沖擊響應(yīng)是有限長(zhǎng)的因而可用快速傅立葉變換 (FFT)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)過(guò)濾信號(hào)，可大大提高運(yùn)算效率。 4 濾波器設(shè)計(jì)方法有兩種： 一類是頻譜法，即逼近所需要的頻率特性；另一類是時(shí)域法，既逼近所需要的時(shí)間特性。 FIR 數(shù)字濾波器原理 1 單位沖擊響應(yīng) h(n)的特點(diǎn) FIR 濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)長(zhǎng)度 N(0≤ n≤ N1),其 Z 變換為 : H(z)= ???10 )(Nm nh mz? 在有限 Z 平面有（ N1）個(gè)零點(diǎn)，而它的 (N1)個(gè)極點(diǎn)均位于原點(diǎn) z=0 處。因此 H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是 FIR 濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)。 2 線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為 N 的 h(n)，傳輸函數(shù)為 H( ?je )=???10 )(Nn nhnje?? H( ?je )= H(? ) )(??je 式中， H(? )稱為幅度特性， )(?? 稱為相位特性。 H( ?je )線性相位是指 )(?? 是的線性函數(shù)，即 )(?? =??， ? 為常數(shù) )(?? = 0? ?? ， 0? 是起始相位 一般稱滿足 ()式是第一類線性相位；滿足 ()式是第二類線性相位。 滿足第一類線性相位的條件是： h(n)是實(shí)序列且對(duì) (N1)/2 偶對(duì)稱 ， 即 h(n)=h(Nn1) 滿足第二類線性相位的條件是： h(n)是實(shí)序列且對(duì) (N1)/2 奇對(duì)稱， 即 h(n)=h(Nn1) 結(jié)論：如果 FIR 濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)為實(shí)數(shù)，且滿足以下任一條件： 偶對(duì)稱 h(n)=h(N1n) 奇對(duì)稱 h(n)=h(N1n) 其對(duì)稱中心在 n=(N1)/2 處，則濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位。 3 線性相位特點(diǎn)及幅度函數(shù)的特點(diǎn) 第一類線性相位條件即 h(n)偶對(duì)稱時(shí)，幅度函數(shù) H(? )和相位函數(shù) )(?? 分別為 H(? )=? ?????1012 ])c os [()(NnNnnh ? )(?? =?12(N1)? 第二類線性相位條件即 h(n)奇對(duì)稱時(shí)，幅度函數(shù) H(? )和相位函 數(shù) )(?? 分別為 H(? )=?????1012 ])(sin[)(NnNnh ?? )(?? =( 12??N )? ?2? 由于 h(n)的長(zhǎng)度 N 取奇數(shù)還是偶數(shù)，對(duì) H( ? )的特性有影響，因此，對(duì)于兩類線性相位，下面我們分四種情況討論其幅度特性的特點(diǎn)。 1) h(n)=h(Nn1),N=奇數(shù) 按照 式，幅度函數(shù) H(? )為 H(? )=? ?????1012 ])c os [()(NnNnnh ? 式中 h(n)對(duì) (N1)/2 偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì) (N1)/2 偶對(duì)稱，可以以 (N1)/2 為中心把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于 N 是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng) n=(N1)/2。則 H(? )=h( 12??N )+??????1012 ])c os [()(2NnNnnh ? 令 m=(N1)/2n,則有 H(? )=h( 12??N )+ ???? ??2/)1(112 c o s)(2NmN mmh ? H(? )= ???2/)1(0 cos)(Nn nna ? 式中 a(0)=h( 21?N ) a(n)=2h( 21?N n),n=1,2,3,… , 21?N 按照 式，由于式中 cos n? 項(xiàng)對(duì) ? =0, ??2, 皆為偶對(duì)稱，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì) ? =0, ??2, 是偶對(duì)稱的。 同理可知： 2) h(n)=h(Nn1),N=偶數(shù) H(? )=?? ?2/1 21 )](c os [)(Nn nnb ? 式中 b(n)=2h( 2N n),n=1,2,… ,2N 按照 式， ? =? 時(shí)，由于余弦項(xiàng)為零，且對(duì) ? =? 奇對(duì)稱，因此這種情況下的幅度特性的特點(diǎn)是對(duì) ? =? 奇對(duì)