【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 歸現(xiàn)象。2波動(dòng)率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時(shí)間的影響。大多時(shí)候，期權(quán)到期日越近，波動(dòng)率“微笑”就越顯著，到期日越長(zhǎng)，不同價(jià)格的隱含波動(dòng)率差異越小，接近于常數(shù)。因此，為了消除時(shí)間因素對(duì)波動(dòng)率微笑的影響，一些交易者把波動(dòng)率微笑定義為。其中為剩余到期時(shí)間，為資產(chǎn)相應(yīng)的遠(yuǎn)期價(jià)格。由于，應(yīng)用這個(gè)公式意味著用來表示執(zhí)行價(jià)格與資產(chǎn)價(jià)格之間的關(guān)系，即期權(quán)的平價(jià)、實(shí)值或虛值狀態(tài)，再除以一個(gè)，從而使得資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率對(duì)時(shí)間的依賴程度大大降低，更好地反映執(zhí)行價(jià)格對(duì)波動(dòng)率的影響。三、波動(dòng)率矩陣把波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)結(jié)合在一張表里，可以得到任何執(zhí)行價(jià)格和任何到期時(shí)間的期權(quán)所對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率，就形成了波動(dòng)率矩陣。，另一個(gè)方向是距離到期的時(shí)間，矩陣中的內(nèi)容是從BS公式中計(jì)算得到的隱含波動(dòng)率。在任意給定的時(shí)刻，該矩陣中的某些期權(quán)在市場(chǎng)中有交易，從而這些期權(quán)的波動(dòng)率可以直接從它們的市場(chǎng)價(jià)格中計(jì)算出來，其余的點(diǎn)則可以用線性插值法確定。當(dāng)必須為某個(gè)新的期權(quán)定價(jià)時(shí)，交易人員就從矩陣中尋找適當(dāng)?shù)牟▌?dòng)率。例如，，％，這個(gè)波動(dòng)率將在BS公式或二叉樹定價(jià)方法（我們將在第九章討論這一方法）中使用。剩余有效期執(zhí)行價(jià)格一個(gè)月三個(gè)月六個(gè)月一年兩年五年 波動(dòng)率矩陣四、波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的意義和應(yīng)用波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場(chǎng)不是這樣預(yù)期的。因此放松波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論發(fā)展的一個(gè)重要方向。目前主要有兩種不同的策略：，即仍然以BS模型為基礎(chǔ)，但同時(shí)假定期權(quán)市場(chǎng)已經(jīng)認(rèn)識(shí)到真實(shí)的波動(dòng)率函數(shù)，考慮不同期權(quán)市場(chǎng)和期權(quán)品種所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率矩陣，運(yùn)用隱含波動(dòng)率信息對(duì)BS公式作相應(yīng)的調(diào)整應(yīng)用。我們前面所介紹的從波動(dòng)率矩陣中獲取適合的波動(dòng)率就是屬于這一策略。應(yīng)用這一策略時(shí)要非常小心，因?yàn)槠跈?quán)市場(chǎng)的隱含波動(dòng)率具有一定的局限性：（1）這一隱含波動(dòng)率可能是市場(chǎng)供求的影響結(jié)果而不完全是市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的預(yù)期，而我們難以對(duì)供求關(guān)系推動(dòng)的和市場(chǎng)預(yù)期推動(dòng)的波動(dòng)率加以區(qū)分；（2）我們無法保證市場(chǎng)中的所有參與者都采用同一個(gè)定價(jià)模型。如果市場(chǎng)使用的模型差異很大，波動(dòng)率矩陣也將不同，說明市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的認(rèn)識(shí)是不同的。這時(shí)我們使用BS公式倒推出來的隱含波動(dòng)率就可能具有誤導(dǎo)性。（3）波動(dòng)率矩陣實(shí)際上反映的是期權(quán)市場(chǎng)對(duì)于未來波動(dòng)率的瞬時(shí)預(yù)期，和我們目前觀察到的實(shí)際波動(dòng)率可能很不一樣，而且這一預(yù)期不一定會(huì)實(shí)現(xiàn)，甚至幾天之內(nèi)就會(huì)發(fā)生變化。因此，在改良策略中我們使用BS模型具有一定的限制條件。市場(chǎng)交易者主要利用它來幫助我們了解與BS模型相對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率的瞬時(shí)情形，并且為流動(dòng)性差的期權(quán)（比如我們后面將介紹的奇異期權(quán)）定出與交易活躍的常規(guī)期權(quán)一致的市場(chǎng)價(jià)格。這時(shí)我們必須在買賣奇異期權(quán)的同時(shí)用這些交易活躍的期權(quán)進(jìn)行相應(yīng)的套期保值，才能降低模型錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。2. 創(chuàng)新策略。對(duì)于那些對(duì)波動(dòng)率變動(dòng)很敏感的期權(quán)，僅僅使用改良策略可能具有較大的風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)一些交易者傾向于采用新的模型來為期權(quán)定價(jià)。這些創(chuàng)新策略的主要思路是：改變BS模型波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)，一般是從標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)數(shù)據(jù)出發(fā)，建立波動(dòng)率的模型，使之反映真實(shí)情形，在此基礎(chǔ)上計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。這就是我們?cè)谙乱还?jié)將闡述的內(nèi)容。后面我們將會(huì)看到，這些模型的結(jié)果往往都會(huì)和波動(dòng)率微笑和期限結(jié)構(gòu)相呼應(yīng)，這進(jìn)一步向我們證實(shí)了研究隱含波動(dòng)率矩陣的重要性。第四節(jié) 隨機(jī)波動(dòng)率一、隨機(jī)波動(dòng)率模型 在現(xiàn)實(shí)世界中，波動(dòng)率顯然并非常數(shù)，而且無法直接在市場(chǎng)上觀測(cè)到，人們甚至發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率是無法預(yù)測(cè)的。在很多情況下，象股價(jià)這樣的因素并不能完全解釋波動(dòng)率的變化。因此，有必要考慮更一般的方法，即將作為隨機(jī)變量，建立隨機(jī)波動(dòng)率模型。 到目前為止，為隨機(jī)波動(dòng)率建模的文獻(xiàn)已經(jīng)相當(dāng)多，其一般模型為：其中和的相關(guān)系數(shù)為。這時(shí)對(duì)函數(shù)和的選擇很重要，它不僅關(guān)系到波動(dòng)率的確定，也對(duì)期權(quán)定價(jià)有重要影響。在為期權(quán)定價(jià)過程中，隨機(jī)波動(dòng)率也同樣可以采用BS方程所使用的無套利定價(jià)過程，只是這時(shí)候，在期權(quán)組合中，由于期權(quán)的價(jià)格函數(shù)由變?yōu)?，這時(shí)不僅需要份的標(biāo)的資產(chǎn)以消除帶來的不確定性，還需要加入份的另一種期權(quán)以消除帶來的不確定性，即，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行相應(yīng)的分析，為期權(quán)定價(jià)。當(dāng)然這時(shí)的模型往往非常復(fù)雜，常常無法得到解析解。因此，盡管這些復(fù)雜的模型更接近現(xiàn)實(shí)，但BS公式仍然使用廣泛，尤其在它的一些假設(shè)影響不是很大的時(shí)候。下面我們介紹其中一些較為有名的波動(dòng)率模型。 Hull和White考慮了一般的和特殊的隨機(jī)波動(dòng)率模型，其中一個(gè)股票風(fēng)險(xiǎn)中性的隨機(jī)波動(dòng)率模型為 其中、和是常數(shù)，和都是維納過程，則是股票的方差率，即波動(dòng)率的平方。顯然方差率本身是一個(gè)隨機(jī)過程，并以的速度回歸到水平。 Hull和White把這個(gè)模型得到的期權(quán)價(jià)格同使用BS公式得到的價(jià)格進(jìn)行了比較，其中BS公式中使用的方差率是期權(quán)存續(xù)期間預(yù)期的平均方差率。他們發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)波動(dòng)率確實(shí)會(huì)引起定價(jià)的偏差，而波動(dòng)率和資產(chǎn)價(jià)格之間的相關(guān)性在其中相當(dāng)重要。 1. 當(dāng)波動(dòng)率是隨機(jī)的，且與股票價(jià)格不相關(guān)時(shí)，也就是和不相關(guān)時(shí)，情形比較簡(jiǎn)單，歐式期權(quán)的價(jià)格是BS價(jià)格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值，即歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為 具體內(nèi)容參見J. C. Hull and A. White, “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities,” Journal of Finance, 42 (June 1987), 281300. 這里的是方差率在期權(quán)有效期內(nèi)的平均值；是應(yīng)用和BS公式計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格，為的函數(shù)；則是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率密度函數(shù)。Hull和White發(fā)現(xiàn)BS公式傾向于高估平價(jià)或接近平價(jià)的期權(quán)價(jià)格，低估深度實(shí)值和深度虛值期權(quán)，這和上一節(jié)中波動(dòng)率微笑模式一致（）。 2. 在股票價(jià)格和波動(dòng)率相關(guān)的情況下，這個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型沒有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權(quán)價(jià)格。當(dāng)波動(dòng)率和股票價(jià)格負(fù)相關(guān)時(shí)，得到的結(jié)果類似于股票期權(quán)的波動(dòng)率偏斜模式（）；當(dāng)它們之間是正相關(guān)時(shí)，結(jié)果正好相反，BS模型傾向于低估虛值看漲期權(quán)而高估虛值看跌期權(quán)。 3. 波動(dòng)率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會(huì)因到期時(shí)間的不同而不同。我們?cè)谏弦还?jié)曾經(jīng)提到，有效期越長(zhǎng)，隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)波動(dòng)率微笑的影響越不顯著，因?yàn)殡S機(jī)變化會(huì)在長(zhǎng)期中平均化。但是隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)定價(jià)偏差絕對(duì)值的影響則正好相反，時(shí)間越短，隨機(jī)波動(dòng)率引起的定價(jià)偏差絕對(duì)值越小（但是對(duì)于深度虛值期權(quán)而言，這個(gè)偏差用百分比衡量時(shí)可能是很大的）。二、GARCH模型 另一個(gè)廣泛使用的波動(dòng)率模型是廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）。1. GARCH(1,1)模型簡(jiǎn)介GARCH模型又可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型： （）其中、和都為常數(shù)，且，為恒定的長(zhǎng)期平均股票方差率。，即n時(shí)刻收益率對(duì)收益率均值的離差，可以看作是關(guān)于方差率的最新信息。從式（）可以看出，該模型意味著在n時(shí)刻的方差率是三個(gè)因素的加權(quán)平均：恒定的長(zhǎng)期平均方差率、前一時(shí)期的方差率和關(guān)于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估計(jì)值的基礎(chǔ)上，因而被稱為GARCH(1,1)。更一般的GARCH(p,q)模型則從最近p期的和最近q期的信息中估計(jì)方差率。采用的形式，用最大似然估計(jì)法估計(jì)三個(gè)參數(shù)、和，可以進(jìn)一步得到和的值，并可計(jì)算出特定時(shí)刻波動(dòng)率的大小。 假設(shè)我們從每日交易數(shù)據(jù)中估計(jì)出GARCH（1,1）模型為： 這說明。根據(jù)，我們可以算出；進(jìn)一步由于。，%。，則因此，％。 對(duì)式（）的右邊重復(fù)的迭代過程，可以得到 （）這說明在任意給定的時(shí)刻，方差率又可以看作是一個(gè)常數(shù)加上所有過去的的加權(quán)和。時(shí)刻的分配的權(quán)重為，即隨著時(shí)間往前推移，分配的權(quán)重是以速率指數(shù)下降的，越早的數(shù)據(jù)權(quán)重越小。這里的被稱為衰減率（Decay Rate）。比如，如果，那么的重要性就只有的90％，而的重要性更進(jìn)一步下降到的81％。時(shí)間距離當(dāng)前越近的數(shù)據(jù)，權(quán)重越大，這是符合實(shí)際的。(1,1)模型預(yù)測(cè)未來的波動(dòng)率 通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式（）寫作 由于，可得未來波動(dòng)率的預(yù)期值為 由于我們?cè)O(shè)定，隨著的增加，以上式子中的最后一項(xiàng)會(huì)越來越小，這意味著方差率會(huì)呈現(xiàn)出向的均值回歸，這和我們前面所討論的隨機(jī)波動(dòng)率模型具有相似的特點(diǎn)，也正是我們?cè)诓▌?dòng)率期限結(jié)構(gòu)中曾經(jīng)討論過的性質(zhì)。如果，說明長(zhǎng)期平均方差率不起作用，未來預(yù)期波動(dòng)率等于目前的波動(dòng)率水平；如果，的權(quán)重為負(fù)，波動(dòng)率是均值偏離的而非均值回歸的，無法進(jìn)行最大似然估計(jì)，這時(shí)需要轉(zhuǎn)向其他的模型來解釋和估計(jì)波動(dòng)率。第五節(jié) 不確定的參數(shù) 考慮了紅利收益率的BS方程可以寫作。在這個(gè)拋物形偏微分方程中，包括了兩個(gè)變量和，三個(gè)參數(shù)，和。BS方程假定這些都是已知的，但現(xiàn)實(shí)世界并沒有那么完美。即使是看起來很簡(jiǎn)單的和，也需要考慮諸如買賣價(jià)差、非交易日等的影響，更不用說每個(gè)期權(quán)合約各自還有其特有的參數(shù)如執(zhí)行價(jià)格X，邊界水平等條件。在這些變量和參數(shù)里面，和的不確定性是最強(qiáng)的，因此，現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在著這樣的問題：當(dāng)參數(shù)價(jià)值是不確定的時(shí)候，如何為期權(quán)定價(jià)？ 我們可以使用的一個(gè)方法是為這些參數(shù)再確定一個(gè)模型，將其與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格結(jié)合起來使用，比如我們之前介紹的關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)率的模型。但這種辦法也有其缺陷：一旦我們引入新的模型，我們還需要再考慮新模型的正確性，以及更多參數(shù)的不確定性。因?yàn)閷?shí)際上只有期權(quán)到期的時(shí)候，我們才能真正知道這些參數(shù)的正確值和遵循的路徑，再?gòu)?fù)雜精密的預(yù)測(cè)模型也有錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。 因此，Avellaneda, Levy, Paras和Lyons等人 參見M. Avellaneda, A. Levy and A. Paras, “Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 7388。 M. Avellaneda and A. Paras, “Managing the Volatility Risk of Derivative Securities: the Lagrangian Volatility Model,” Applied Mathematical Finance, 3 (1995), 2153。 T. J. Lyons, “Uncertain Volatility and the Riskfree Synthesis of Derivatives,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 117133.提出了另一種解決方法：我們不再假設(shè)已經(jīng)知道參數(shù)的精確值，而是假設(shè)我們知道這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對(duì)期權(quán)或期權(quán)組合的參數(shù)價(jià)值在有效期間上下限范圍的預(yù)測(cè)），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假