排列組合和概率統(tǒng)計(jì)(編輯修改稿)
2025-07-22 22:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 種方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得：，所以。因此分為三份，每份兩本一共有15種方法。（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法。（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有種方法。（5）可以分為三類情況：①“2型”即（1）中的分配情況，有種方法；②“3型”即（4）中的分配情況，有種方法；③“4型”，有種方法。所以一共有90+360+90 = 540種方法。要理解概率的意義，所謂概率就是某一事件發(fā)生的可能性相對于所有的可能性來說所占的比值。古典概率圍繞事件進(jìn)行，注意樣本空間的概念，所謂樣本空間就是所有的可能性，而樣本點(diǎn)就是某一種可能性。注意取球問題是一個非常典型的應(yīng)用，關(guān)鍵就是要把握是否有放回。 概率論及應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機(jī)事件的概率、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和更深層次上的規(guī)律性。概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)。在獨(dú)立隨機(jī)事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認(rèn)為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。任何事件的概率值一定介于0和1之間。有一類隨機(jī)事件，它具有兩個特點(diǎn)：第一，只有有限個可能的結(jié)果；第二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點(diǎn)的隨機(jī)現(xiàn)象叫做“古典概型”。在客觀世界中，存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象，其產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機(jī)事件。如果用變量來描述隨機(jī)現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量分為有限和無限，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機(jī)變量就叫做非離散型隨機(jī)變量。在離散型隨機(jī)變量的概率分布中，比較簡單而應(yīng)用廣泛的是二項(xiàng)式分布。如果隨機(jī)變量是連續(xù)的，那么它有一個分布曲線，實(shí)踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，其分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機(jī)變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也叫標(biāo)準(zhǔn)方差。 古典概率所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P(A)。規(guī)定P(A)≥0，P(Ω) = 1。滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型：（1）所有基本事件是有限個；（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同。在古典概型中，設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為NW，而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：。 （取球問題）袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球。（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球。（3）一次取球：從袋中任取3個球。在以上取法中均求A={恰好取得2個白球}的概率。解：（1）有放回取球NW = 888 = 83 = 512（袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等）（先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有5種情況，第二次取白球還有五種情況注意是有放回，第三次取黑球只有三種情況）。（2）無放回取球NW = 8 180。 7 180。 6 = = 336，故。（3）一次取球注意古典概率的這幾個性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中，基本上都是圍繞著這幾個性質(zhì)展開。注意對于條件概率來說，關(guān)鍵在于理解它的思想，理解在某件事已發(fā)生的前提下其發(fā)生的意義。注意對照例子理解條件概率公式的意義。，故古典概率具有下面的性質(zhì)。l 若A204。B，則P(B A)=P(B )P(A)。即差的概率等于概率之差。l 若A204。B，則P(A)≤P(B )。即概率的單調(diào)性。l P(A)≤1，對任意事件A，P()=1P(A)。l 對任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)。 設(shè)A，B，C為三個事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)=，求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。解：由于ABC204。AB，故0≤P(ABC)≤P(AB) = 0，從而P(ABC) = 0。所求概率為P(A200。B200。C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC) 條件概率在實(shí)際問題中，常常需要計(jì)算在某個事件B已發(fā)生的條件下，另一個事件A發(fā)生的概率。在概率論中，稱此概率為事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，簡稱為A對B的條件概率，記為P(A | B)。一般地，因?yàn)樵黾恿恕笆录﨎已發(fā)生”的條件，所以P(A | B) 185。 P(A)。設(shè)A、B為兩個事件，且P(B) 0，則稱為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為。再看一下乘法公式：設(shè)有事件A和B，若P(A) 0或P(B) 0，由概率得P(AB) = P(A)P(B | A)，或P(AB) = P(B)P(A | B)。再看n個事件的情況，設(shè)有n個事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An1) 0，則有P(A1A2…An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2…An1)。事實(shí)上，由事件的包含關(guān)系有P(A1)≥P(A1A2)≥P(A1A2A3)≥…..≥P(A1A2…An–1)＞0，故公式右邊的每個條件概率都是有意義的，于是由條件概率定義可得。 甲、乙和丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個難題簽，按甲先、乙次及丙最后的次序抽簽。求甲抽到難題簽、甲和乙都抽到難題簽、甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽及甲、乙和丙都抽到難題簽的概率。解：設(shè)A，B和C分別表示甲、乙和丙各抽到難題簽的事件，則有，，
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