數(shù)值分析第三版課本習(xí)題及答案(編輯修改稿)
2024-07-21 21:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 上述迭代法收斂（其中）。12. 用高斯－塞德?tīng)柗椒ń猓糜浀牡趇個(gè)分量，且。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。(c) 設(shè)A是對(duì)稱(chēng)的，二次型證明 。(d) 由此推出，如果A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，且高斯－塞德?tīng)柗椒▽?duì)任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。13. 設(shè)A與B為n階矩陣，A為非奇異，考慮解方程組其中。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個(gè)方法的收斂速度。14. 證明矩陣對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì)是收斂的。15. 設(shè)，試說(shuō)明A為可約矩陣。16. 給定迭代過(guò)程，其中，試證明：如果C的特征值，則迭代過(guò)程最多迭代n次收斂于方程組的解。17. 畫(huà)出SOR迭代法的框圖。18. 設(shè)A為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣且，求證：解的SOR方法收斂。19. 設(shè)，其中A為非奇異陣。(a) 求證為對(duì)稱(chēng)正定陣；(b) 求證。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1. 用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：(a) , (b) ,當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。2. 方陣T分塊形式為,其中為方陣，T稱(chēng)為塊上三角陣，如果對(duì)角塊的階數(shù)至多不超過(guò)2，則稱(chēng)T 為準(zhǔn)三角形形式，用記矩陣T的特征值集合，證明3. 利用反冪法求矩陣的最接近于6的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。4. 求矩陣與特征值4對(duì)應(yīng)的特征向量。5. 用雅可比方法計(jì)算的全部特征值及特征向量，用此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。6. (a)設(shè)A是對(duì)稱(chēng)矩陣，λ和是A的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使證明的第一行和第一列除了λ外其余元素均為零。 (b)對(duì)于矩陣,λ=9是其特征值，是相應(yīng)于9的特征向量，試求一初等反射陣P，使，并計(jì)算。7. 利用初等反射陣將正交相似約化為對(duì)稱(chēng)三對(duì)角陣。8. 設(shè)，且不全為零，為使的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算第行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的計(jì)算公式。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個(gè)特征向量。(a)證明矩陣A對(duì)應(yīng)的特征向量是；(b)對(duì)于給出的y應(yīng)如何計(jì)算x？10. 用帶位移的QR方法計(jì)算(a) , (b) 全部特征值。11. 試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣。數(shù)值分析習(xí)題簡(jiǎn)答（適合課程《數(shù)值方法A》和《數(shù)值方法B》）第一章 緒論習(xí)題參考答案1． ε（lnx）≈。2． 。3． 有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字，有4位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字。4． 。5． 。6． 。7． 。8．9． 。10． ，故t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，相對(duì)誤差減小。11． ，計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定。12． ，如果令，則，，，的結(jié)果最好。13． ，開(kāi)平方時(shí)用六位函數(shù)表計(jì)算所得的誤差為，分別代入等價(jià)公式中計(jì)算可得。14． 方程組的真解為，而無(wú)論用方程一還是方程二代入消元均解得，結(jié)果十分可靠。15．第二章 插值法習(xí)題參考答案1. ；.2. .3. 線(xiàn)性插值：取，則； 二次插值：取，則＝－ .4. ，其中.所以總誤差界 .5. 當(dāng) 時(shí)，取得最大值 .6. i) 對(duì)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有 由于，故有. ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，有.插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .7. 以a, b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式，據(jù)余項(xiàng)定理，由于故8. 截?cái)嗾`差 其中 則時(shí)取得最大值 .由題意， 所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時(shí)，為m－1次多項(xiàng)式；假設(shè) 是mk 次多項(xiàng)式，設(shè)為，則為m(k+1)次多項(xiàng)式，得證。11. 右左12. 13. .14. 由于是的n個(gè)互異的零點(diǎn)，所以對(duì)求導(dǎo)得，則 ，記則 由以上兩式得 15. i) . ii) 證明同上。16. 17. 即均為的二重零點(diǎn)。因而有形式：作輔助函數(shù)則 由羅爾定理，存在使得類(lèi)似再用三次羅爾定理，存在使得 又 可得 即 18. 采用牛頓插值，作均差表：一階均差二階均差012011101/2又由 得 所以 19. 記 則因?yàn)?，所以在上一致連續(xù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)有由定義知當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于。20. 在每個(gè)小區(qū)間上表示為計(jì)算各值的C程序如下：includeincludefloat f(float x){ return(1/(1+x*x))。}float I(float x,float a,float b){ return((xb)/(ab)*f(a)+(xa)/(ba)*f(b))。}void main(){ int i。 float x[11],xc,xx。 x[0]=5。 printf(x[0]=%f\n,x[0])。 for(i=1。i=10。i++) { x[i]=x[i1]+1。 printf(x[%d]=%f\n,i,x[i])。 } for(i=0。i10。i++) { xc=(x[i]+x[i+1])/2。 I(xc,x[i],x[i+1])。 printf(I[%d]=%f\n,i+1,I(xc,x[i],x[i+1]))。 } for(i=0。i10。i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2。 f(xx)。 printf(f[%d]=%f\n,i+1,f(xx))。 }}21. 在每個(gè)小區(qū)間上為22. 則在每個(gè)小區(qū)間上表示為 23. 則三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式為i) 由，得，關(guān)于的方程組為24. i) 因?yàn)樗杂遥剑阶蟆? ii) 由于為三次函數(shù)，故為常數(shù)，又，則，所以。第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算習(xí)題參考答案1. (a) 區(qū)間變換公式為，代入原公式可得新區(qū)間里的伯恩斯坦多項(xiàng)式為。(b) ，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)分別為，部分和誤差則為，大于伯恩斯坦多項(xiàng)式的誤差。2. ，故，當(dāng)時(shí)。3. ，對(duì)任意不超過(guò)6次的多項(xiàng)式，在時(shí)，若有，
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