【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 A的任一列向量，有 的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量.7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.21345解：. 等都是完全路徑. 此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為 令，各級(jí)得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計(jì)算A的最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量得到：，數(shù)學(xué)模型作業(yè)（12月16日）解答、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖.越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當(dāng)?shù)厣虡I(yè)收入省時(shí) 準(zhǔn)則層修隧道建橋梁設(shè)渡輪 方案層 . 問對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）．建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）．構(gòu)造成對(duì)比較陣；（3）．計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；（4）．計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)． 對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位工作崗位工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等.3．用層次分析法時(shí)，一般可將決策問題分解成哪3個(gè)層次？試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時(shí)，一般可將決策問題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次； 一致性指標(biāo)的定義為：．n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n． 第九章（2008年12月18日）1．在節(jié)傳送帶效率模型中,一種簡(jiǎn)單的方法是增加一個(gè)周期內(nèi)通過工作臺(tái)的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變．另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個(gè)工人在任何時(shí)刻可以同時(shí)觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣．試推導(dǎo)這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關(guān)系上說明這種辦法比第一種辦法好．　解：兩種情況的鉤子數(shù)均為．第一種辦法是個(gè)位置，單鉤放置個(gè)鉤子；第二種辦法是個(gè)位置，成對(duì)放置個(gè)鉤子．　?、?由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為　　　　　　　　當(dāng)較小，時(shí)，有　　　　　　　　　，　　?、?下面推導(dǎo)第二種辦法的傳送帶效率公式：　　　對(duì)于個(gè)位置，每個(gè)位置放置的兩只鉤子稱為一個(gè)鉤對(duì)，考慮一個(gè)周期內(nèi)通過的個(gè)鉤對(duì)．　　任一只鉤對(duì)被一名工人接觸到的概率是；　 任一只鉤對(duì)不被一名工人接觸到的概率是；　　記．由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性及事件的互不相容性．得，任一鉤對(duì)為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對(duì)上只掛上１件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為．所以一個(gè)周期內(nèi)通過的個(gè)鉤子中，空鉤的平均數(shù)為　　　 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ，未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ）　此時(shí)傳送帶效率公式為　　　　 ③ 近似效率公式：由于　　　　 當(dāng)時(shí)，并令，則 ④ 兩種辦法的比較：　　　由上知：，　　　　，當(dāng)時(shí)， ．所以第二種辦法比第一種辦法好．《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日）一報(bào)童每天從郵局訂購(gòu)一種報(bào)紙，第二天削價(jià)可以全部賣出，其概率分布如下表：售出報(bào)紙數(shù)（百份）012345概率0．05試問報(bào)童每天訂購(gòu)多少份報(bào)紙最佳(訂購(gòu)量必須是100的倍數(shù))？解：設(shè)每天訂購(gòu)百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時(shí)的收益期望值. G(0)=0；G(1)=+7+7（+++）=。G(2)= ()。G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時(shí)，收益的期望值最大. 數(shù)模復(fù)習(xí)資料第一章1. 原型與模型, 按北京師范大學(xué)劉來福教授的觀點(diǎn)：、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學(xué)模型對(duì)某一實(shí)際問題應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法,通過抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)等對(duì)這一實(shí)際問題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型. .3. 數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)建模是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為了一個(gè)特定的目的,運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象和簡(jiǎn)化,建立一個(gè)近似描述這個(gè)系統(tǒng)或問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(數(shù)學(xué)模型),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以及計(jì)算機(jī)技術(shù)來解模型,最后將其結(jié)果接受實(shí)際的檢驗(yàn),并反復(fù)修改和完善.數(shù)學(xué)建模過程流程圖為：實(shí)際問題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)確定變量、參數(shù)歸結(jié)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)地、數(shù)值地 求解模型估計(jì)參數(shù)否 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?用實(shí)例或有關(guān)知識(shí))符合否？是評(píng)價(jià)、推廣并交付使用產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益依次為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a. 按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類 數(shù)學(xué)模型 b. 按建模的數(shù)學(xué)方法分類 數(shù)學(xué)模型 c. 按建模目的來分類 數(shù)學(xué)模型 ：：冪法、和法、根法4．在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長(zhǎng)方形，.解：設(shè)椅子四腳連線呈長(zhǎng)方形ABCD. AB與CD的對(duì)稱軸為軸，、B與地面距離之和記為。C、設(shè)就得到.數(shù)學(xué)模型：,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個(gè)連續(xù)函數(shù). ：,使.又因?yàn)?.9． （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)？（2）37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，？解：（1）方法一：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn),兩天都在時(shí)刻經(jīng)過地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個(gè)人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時(shí)出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時(shí)刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場(chǎng)比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場(chǎng)；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)需賽場(chǎng)，若，則需賽輪.2．已知某商品在時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來近似表示曲線和： （1） （2）由（2）得 （3） （1）代入（3），可得 ， （4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 （5）當(dāng)8時(shí)，顯然有 （6）從而 2，在單位圓外．下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 ．故點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為 ．3．設(shè)某漁場(chǎng)魚量(時(shí)刻漁場(chǎng)中魚的數(shù)量)的自然增長(zhǎng)規(guī)律為：其中為固有增長(zhǎng)率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù).（1）．求漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性。（2）．試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,并求此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平.解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 （1） ， （1）的解為：① 當(dāng)時(shí)，（1）無實(shí)根，此時(shí)無平衡點(diǎn)； ②當(dāng)時(shí)，（1）有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； ③ 當(dāng)時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知 ，