111-位移分量與應(yīng)變分量-幾何方程(編輯修改稿)
2025-07-21 18:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 量變換關(guān)系，設(shè)新坐標(biāo)系Oxyz 是舊坐標(biāo)系 Ox39。y39。z39。 經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)得到的， 新舊坐標(biāo)軸之間的夾角的方向余弦為 如圖所示，設(shè)變形前的M點(diǎn)，變形后移至M39。點(diǎn)，設(shè)其位移矢量MM 39。=S，則所以,新坐標(biāo)系的位移分量為， 根據(jù)幾何方程，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分關(guān)系 同理推導(dǎo)可得其余五個(gè)應(yīng)變分量的變換公式，即如果以 nij（i，j=1，2，3）表示新舊坐標(biāo)系之間的夾角的方向余弦，并注意到應(yīng)變張量表達(dá)式，則上述應(yīng)變分量變換公式可以寫作eij=nii39。 njj39。 eij 因此，如果將應(yīng)變分量寫作下列形式則應(yīng)變分量滿足張量變換關(guān)系。 與應(yīng)力張量相同，應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量。 由公式可知，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但它們作為一個(gè)整體，所描述的一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。第十三節(jié) 體積應(yīng)變本節(jié)介紹物體變形后的單位體積變化，即體積應(yīng)變。 討論微分平行六面體單元， 變形前，單元體的三條棱邊分別為MA，MB，MC， 長dx，dy，dz， 其體積為：V=dxdydz 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），則A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。 彈性體變形后，其三條棱邊分別變?yōu)镸39。A39。，M39。B39。，M39。C39。其中若用V 39。表示變形后的微分單元體體積，則 將行列式展開并忽略二階以上的高階小量，則 若用表示單位體積的變化即體積應(yīng)變，則由上式可得 顯然體積應(yīng)變 就是應(yīng)變張量的第一不變量J1。因此常寫作 體積應(yīng)變 大于零表示微分單元體膨脹，小于零則表示單元體受壓縮。若彈性體內(nèi) 處處為零，則物體變形后的體積是不變的。第十四節(jié) 主應(yīng)變和應(yīng)變不變量彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)變分量，即應(yīng)變張量隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應(yīng)力張量一樣，對(duì)于某一個(gè)確定點(diǎn)，在某個(gè)坐標(biāo)系下所有的切應(yīng)變分量都為零，僅有正應(yīng)變分量不等于。即能否找到三個(gè)相互垂直的方向，在這三個(gè)方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長度，而其夾角仍為直角。 答案是肯定的。 在任何應(yīng)變狀態(tài)下，至少可以找到三個(gè)這樣的垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪?具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的應(yīng)變稱為主應(yīng)變。 設(shè)e ij為物體內(nèi)某點(diǎn)在已知坐標(biāo)系的應(yīng)變張量，求其主應(yīng)變e 1，e 2，e 3 及應(yīng)變主軸方向n1, n2, n3。設(shè)MN 為M點(diǎn)的主軸之一，其變形前的方向余弦為l，m，n，主應(yīng)變?yōu)閑。令dr 表示MN 的長度, 則MN相對(duì)伸長為e dr ， 設(shè)M點(diǎn)的位移為（u，v，w），則N點(diǎn)的位移為（u+du，v+dv，w+dw）。因?yàn)?du=在x方向的變形位移分量+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量=e l dr + 剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量根據(jù)公式 即du等于純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得 或者寫作 同理可得 上述公式是關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組。對(duì)于l，m，n的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即 將上式展開，可得求解主應(yīng)變得特征方程， 其中 顯然與應(yīng)力不變量相同，J1，J2，J3為應(yīng)變不變量，分別稱為第一，第二和第三應(yīng)變不變量。 根據(jù)特征方程，可以求解得到三個(gè)主應(yīng)變。將求解后的主應(yīng)變代入公式，并注意到任意一點(diǎn)三個(gè)方向余弦的平方和等于1，則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。 由應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的公式的比較可知，主應(yīng)變和應(yīng)變
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