【文章內(nèi)容簡介】 接起來。如果線性變換函數(shù)的類型是，只要通過對標準基中的任意一個向量作簡單變換，最后把結(jié)果插到矩陣的列中，所以它是很容易確定的變換矩陣，即：例 已知求解 所以的特征值為。對應(yīng)于的特征向量；對應(yīng)于線性無關(guān)的特征向量，故 使得 于是 上面介紹的是一般矩陣，一般矩陣可以通過相似對角化的方法求解矩陣函數(shù)，對一般矩陣而言相似對角化的過程必須先求出矩陣的特征向量。當(dāng)然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因為他們的特殊性可以將計算簡化。對角矩陣就是這樣的一種特殊矩陣，接著就來介紹求對角矩陣函數(shù)的方法。（為一個對角矩陣或者對角矩陣的塊）。(1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù)若為對角矩陣，即則由矩陣乘法，有若為分塊對角矩陣，即，其中為子塊。則(2矩陣函數(shù)為矩陣多項式因為是幾個矩陣指數(shù)函數(shù)的線性組合，它仍然可以作為（1）中的計算方法。 利用Jordan標準形法求矩陣函數(shù)設(shè)矩陣的Jordan標準形為，即,則必存在可逆矩陣，使從而由矩陣函數(shù)的性質(zhì)4可知所以求可以通過以下3個步驟來計算：第一步，先求出的Jordan標準形，接著求相似的變換矩陣，使得；第二步，計算，其中第三步，利用求出該方法的關(guān)鍵在于如何求Jordan標準形J，這里簡單描述了怎么用初等因子法求Jordan標準形J:文獻[ 10 ]中有基本因素不變因子的定理和定義，有如下摘錄：定義3 標準形的主對角線上非零元素的不變因子。定義4 把矩陣的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣的初等因子。求Jordan標準形的具體方法：首先求給定矩陣的特征矩陣；再求矩陣的初等因子組，其中可能有相同的，中也可能有相同的，但總有；每個初等因子對應(yīng)著一個Jordan塊，其階數(shù)為，對角線元素為，即這些Jordan塊的組合構(gòu)成一個Jordan矩陣J，即例 設(shè)，求.解 ：.再求相似的變換矩陣.設(shè)即，同解方程組，令分別取,得特征向量，于是有則，計算出.于是 .一個重要的結(jié)論：以獨立的矩陣函數(shù)和Jordan塊的排列順序沒有任何關(guān)系，沒有選定具體的變換矩陣P，矩陣函數(shù)總能轉(zhuǎn)為計算矩陣多項式。 利用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù)（化零多項式法）從上面的介紹可以知道求矩陣函數(shù)通過求矩陣Jordan標準形式的方法是非常復(fù)雜的，它要求Jordan標準形式及變換矩陣，這個過程很繁瑣。下面我們介紹根據(jù)化零多項式求解矩陣函數(shù)的一種方法，希望能達到降低計算量的目的。要達到目的這里需要介紹一個非常有用的定理。定理 階方陣的最小多項式等于它的特征矩陣的第個（也就是最后一個）不變因子。初等因子，不變因子的概念見引用文獻[10]中的定義3，定義4，這里不再介紹。設(shè)階方陣的不變因子反向依次為，由他們給出的初等因子分別為其中。因為，所以必定出現(xiàn)在中；如果，則。因此，矩陣的最小多項式是，它的最小多項式就是它的零化多項式，也就是按照矩陣函數(shù)的定義，只要求出多項式，有 令其中m是A的一個極小多項式的次數(shù)，從上述條件可以得到方程組求出，從而得到，最終得到這是待定系數(shù)法的使用（多項式法）求解矩陣函數(shù)的相關(guān)理論知識，這里有具體的例子說明了如何使用這種方法。例 設(shè)矩陣,求解 由于特征多項式，易算出不是A的零化多項式，故A的最小多項式為，于是設(shè)為2次多項式，即，由于，且是單根，是二重根，故有 即 解得 從而得 四種方法的比較為了將問題說明清楚，這里將幾個基本概念回顧一下。首先了解初等變換的概念。初等變換（elementary transformation）是高代中的數(shù)學(xué)名詞，同時也代表著一種運算。初等變換主要包括三種情況：線性方程組里的初等變換、行列式中的初等變換和矩陣的初等變換。三個方面的初等變換大同小異。由于本文是矩陣函數(shù)及其應(yīng)用的研究，因此本文主要對矩陣的初等變換進行闡述，對另外兩種初等變換不作詳細介紹。矩陣的初等變換包含有矩陣的初等行變換與它的初等列變換。下面給出的三種初等變換都稱作矩陣初等行變換：將兩行對調(diào)；某一行的所有元素乘上一個非零實數(shù)；將某一行所有的元素乘以非零常數(shù)k加到另一行分別與之對應(yīng)的元素上去。如果把前面定義中的“行”換成“列”，得到的就是矩陣的初等列變換的定義。如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣，那么矩陣與是等效的。另外：分塊矩陣也能定義初等變換。四種方法中的第二種計算方法難度最大，在求的Jordan表示式時，要求矩陣的Jordan標準形式，在求Jordan標準型的過程中還要涉及矩陣的初等變換，計算很麻煩，最后還要算交換矩陣，計算量非常大，矩陣的階數(shù)變大也會增加很多計算量；同時也是最實用的，因為這種方法的優(yōu)點是計算步驟非常清晰，容易理解。第一，第三和第四種方法中使用的數(shù)學(xué)原理和方法比較多，明顯地比第二種方法計算量少，它們的計算過程相對簡單，但要明白為什么要這么做，還需要清楚地理解里面運用的一些定理和方法。4 矩陣函數(shù)的應(yīng)用矩陣函數(shù)理論對于矩陣理論意義重大。因為矩陣函數(shù)，人們對矩陣的研究由以前的計算進入到現(xiàn)在的分析領(lǐng)域。同時也可以解決不僅數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且工程技術(shù)等其它許多領(lǐng)域的眾多計算難題。本文在這里簡單介紹矩陣函數(shù)的一些實際應(yīng)用，主要以在現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用為例進行闡述?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)有許多不同的領(lǐng)域，其中包括的自動控制技術(shù)在各個方面的作用越來越明顯。隨著科學(xué)技術(shù)越來越成熟，自動控制理論進入了一個新的過渡階段，從過去傳統(tǒng)的控制理論到現(xiàn)在的控制理論。優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論了變參數(shù)的多變量的高性能，多變量系統(tǒng)的精度高，主要工具就是矩陣理論。因此，現(xiàn)代控制理論中的矩陣理論和矩陣函數(shù)的知識具有重要作用。同樣地，為了更好地研究本問題，對本問題中涉及到的控制學(xué)中概念做一些簡單介紹。首先簡單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。上個世紀50年代左右，最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論經(jīng)過一段時間的應(yīng)用和改善，已經(jīng)發(fā)展成了一套完整的理論，在許多工程技術(shù)領(lǐng)域中都有線性系統(tǒng)理的使用。通過矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。[14]最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數(shù)學(xué)知識，它的最根本的數(shù)學(xué)模型就是前面提到的傳遞函數(shù)，最基本的研究和綜合方式是通過頻率響應(yīng)的方法。這種方法對單輸入輸出類型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個系統(tǒng)的真正的內(nèi)部特征。在20世紀60年代左右，關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進了狀態(tài)空間的方法。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內(nèi)對整個系統(tǒng)進行探討和整合。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用，也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運用?；跔顟B(tài)的空間方法，卡爾曼將系統(tǒng)的可控制性與可觀測性這兩個最能揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的重要的概念又向前推進了一部，在實踐應(yīng)用中已經(jīng)可以充分說明它們兩個是線性系統(tǒng)的理論中的最常用到的概念。在前面介紹的可控制性和可觀測性，對于線性系統(tǒng)的進一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn)生了重大影響。這種影響集中體現(xiàn)在用“內(nèi)在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”，并將探討和整合的過程需要的基礎(chǔ)理論變的更加嚴格起來。從60年代中期到現(xiàn)在，不僅在研究內(nèi)容和研究方法，對于線性系統(tǒng)，有很多新的突破。產(chǎn)生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結(jié)構(gòu)的方法，這種方法主要是以幾何方法解決實際問題，同時產(chǎn)生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論，也出現(xiàn)了基于擴展的經(jīng)典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。就在此時，由于計算機技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計算難題，以及使用計算機對線性的體系進行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計，也都得到了廣泛和充分的研究。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性?？煽刂菩院涂捎^性是現(xiàn)在的控制理論中最基礎(chǔ)的概念，它是卡爾曼于60年代率先提出，它的基礎(chǔ)是線性系統(tǒng)的理論分析和設(shè)計。能控制性其實指的是一種可能性，它是指控制作用對被控制系統(tǒng)的狀態(tài)進行控制的這種可能性；能觀性描述的其實是一種可能性，它是通過系統(tǒng)輸出反推系統(tǒng)狀態(tài)的可能?？煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力，可觀測性描述的是狀態(tài)的觀測力，這兩條性質(zhì)給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測性的定義。能控性定義：一般地，對于線性定常系統(tǒng) （11）其中，、分別是、維向量；、是常值矩陣，在的有限時間區(qū)間[ ，]，可以發(fā)現(xiàn)控制使，系統(tǒng)的狀態(tài)在時刻是可以控制的；假如系統(tǒng)對于任何一個初始狀態(tài)都可以控制，那么就稱這個系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的，簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。對于能控性的定義，說明幾點：(1)初始狀態(tài)