【文章內容簡介】 接起來。如果線性變換函數的類型是，只要通過對標準基中的任意一個向量作簡單變換，最后把結果插到矩陣的列中，所以它是很容易確定的變換矩陣，即：例 已知求解 所以的特征值為。對應于的特征向量；對應于線性無關的特征向量，故 使得 于是 上面介紹的是一般矩陣，一般矩陣可以通過相似對角化的方法求解矩陣函數，對一般矩陣而言相似對角化的過程必須先求出矩陣的特征向量。當然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因為他們的特殊性可以將計算簡化。對角矩陣就是這樣的一種特殊矩陣，接著就來介紹求對角矩陣函數的方法。（為一個對角矩陣或者對角矩陣的塊）。(1)矩陣函數為矩陣冪函數若為對角矩陣，即則由矩陣乘法，有若為分塊對角矩陣，即，其中為子塊。則(2矩陣函數為矩陣多項式因為是幾個矩陣指數函數的線性組合，它仍然可以作為（1）中的計算方法。 利用Jordan標準形法求矩陣函數設矩陣的Jordan標準形為，即,則必存在可逆矩陣，使從而由矩陣函數的性質4可知所以求可以通過以下3個步驟來計算：第一步，先求出的Jordan標準形，接著求相似的變換矩陣，使得；第二步，計算，其中第三步，利用求出該方法的關鍵在于如何求Jordan標準形J，這里簡單描述了怎么用初等因子法求Jordan標準形J:文獻[ 10 ]中有基本因素不變因子的定理和定義，有如下摘錄：定義3 標準形的主對角線上非零元素的不變因子。定義4 把矩陣的每個次數大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現的次數計算）稱為矩陣的初等因子。求Jordan標準形的具體方法：首先求給定矩陣的特征矩陣；再求矩陣的初等因子組，其中可能有相同的，中也可能有相同的，但總有；每個初等因子對應著一個Jordan塊，其階數為，對角線元素為，即這些Jordan塊的組合構成一個Jordan矩陣J，即例 設，求.解 ：.再求相似的變換矩陣.設即，同解方程組，令分別取,得特征向量，于是有則，計算出.于是 .一個重要的結論：以獨立的矩陣函數和Jordan塊的排列順序沒有任何關系，沒有選定具體的變換矩陣P，矩陣函數總能轉為計算矩陣多項式。 利用待定系數法求矩陣函數（化零多項式法）從上面的介紹可以知道求矩陣函數通過求矩陣Jordan標準形式的方法是非常復雜的，它要求Jordan標準形式及變換矩陣，這個過程很繁瑣。下面我們介紹根據化零多項式求解矩陣函數的一種方法，希望能達到降低計算量的目的。要達到目的這里需要介紹一個非常有用的定理。定理 階方陣的最小多項式等于它的特征矩陣的第個（也就是最后一個）不變因子。初等因子，不變因子的概念見引用文獻[10]中的定義3，定義4，這里不再介紹。設階方陣的不變因子反向依次為，由他們給出的初等因子分別為其中。因為，所以必定出現在中；如果，則。因此，矩陣的最小多項式是，它的最小多項式就是它的零化多項式，也就是按照矩陣函數的定義，只要求出多項式，有 令其中m是A的一個極小多項式的次數，從上述條件可以得到方程組求出，從而得到，最終得到這是待定系數法的使用（多項式法）求解矩陣函數的相關理論知識，這里有具體的例子說明了如何使用這種方法。例 設矩陣,求解 由于特征多項式，易算出不是A的零化多項式，故A的最小多項式為，于是設為2次多項式，即，由于，且是單根，是二重根，故有 即 解得 從而得 四種方法的比較為了將問題說明清楚，這里將幾個基本概念回顧一下。首先了解初等變換的概念。初等變換（elementary transformation）是高代中的數學名詞，同時也代表著一種運算。初等變換主要包括三種情況：線性方程組里的初等變換、行列式中的初等變換和矩陣的初等變換。三個方面的初等變換大同小異。由于本文是矩陣函數及其應用的研究，因此本文主要對矩陣的初等變換進行闡述，對另外兩種初等變換不作詳細介紹。矩陣的初等變換包含有矩陣的初等行變換與它的初等列變換。下面給出的三種初等變換都稱作矩陣初等行變換：將兩行對調；某一行的所有元素乘上一個非零實數；將某一行所有的元素乘以非零常數k加到另一行分別與之對應的元素上去。如果把前面定義中的“行”換成“列”，得到的就是矩陣的初等列變換的定義。如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣，那么矩陣與是等效的。另外：分塊矩陣也能定義初等變換。四種方法中的第二種計算方法難度最大，在求的Jordan表示式時，要求矩陣的Jordan標準形式，在求Jordan標準型的過程中還要涉及矩陣的初等變換，計算很麻煩，最后還要算交換矩陣，計算量非常大，矩陣的階數變大也會增加很多計算量；同時也是最實用的，因為這種方法的優(yōu)點是計算步驟非常清晰，容易理解。第一，第三和第四種方法中使用的數學原理和方法比較多，明顯地比第二種方法計算量少，它們的計算過程相對簡單，但要明白為什么要這么做，還需要清楚地理解里面運用的一些定理和方法。4 矩陣函數的應用矩陣函數理論對于矩陣理論意義重大。因為矩陣函數，人們對矩陣的研究由以前的計算進入到現在的分析領域。同時也可以解決不僅數學領域而且工程技術等其它許多領域的眾多計算難題。本文在這里簡單介紹矩陣函數的一些實際應用，主要以在現代控制理論中的應用為例進行闡述?，F代科學技術有許多不同的領域，其中包括的自動控制技術在各個方面的作用越來越明顯。隨著科學技術越來越成熟，自動控制理論進入了一個新的過渡階段，從過去傳統(tǒng)的控制理論到現在的控制理論。優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論了變參數的多變量的高性能，多變量系統(tǒng)的精度高，主要工具就是矩陣理論。因此，現代控制理論中的矩陣理論和矩陣函數的知識具有重要作用。同樣地，為了更好地研究本問題，對本問題中涉及到的控制學中概念做一些簡單介紹。首先簡單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。上個世紀50年代左右，最開始出現的線性系統(tǒng)理論經過一段時間的應用和改善，已經發(fā)展成了一套完整的理論，在許多工程技術領域中都有線性系統(tǒng)理的使用。通過矩陣函數定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術獲得期望矩陣的傳遞函數。[14]最開始出現的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數學知識，它的最根本的數學模型就是前面提到的傳遞函數，最基本的研究和綜合方式是通過頻率響應的方法。這種方法對單輸入輸出類型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個系統(tǒng)的真正的內部特征。在20世紀60年代左右，關于線性系統(tǒng)的理論經歷了從最開始的古典階段到現代階段的重要時期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進了狀態(tài)空間的方法。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內部空間的方法代替以前的使用傳遞函數的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內對整個系統(tǒng)進行探討和整合。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用，也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運用?；跔顟B(tài)的空間方法，卡爾曼將系統(tǒng)的可控制性與可觀測性這兩個最能揭示系統(tǒng)結構特征的重要的概念又向前推進了一部，在實踐應用中已經可以充分說明它們兩個是線性系統(tǒng)的理論中的最常用到的概念。在前面介紹的可控制性和可觀測性，對于線性系統(tǒng)的進一步研究和整合在根本的指導規(guī)則方面都產生了重大影響。這種影響集中體現在用“內在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”，并將探討和整合的過程需要的基礎理論變的更加嚴格起來。從60年代中期到現在，不僅在研究內容和研究方法，對于線性系統(tǒng)，有很多新的突破。產生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結構的方法，這種方法主要是以幾何方法解決實際問題，同時產生了基于抽象代數的主要用于線性系統(tǒng)的代數新理論，也出現了基于擴展的經典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。就在此時，由于計算機技術的飛速發(fā)展和完善，對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現的的計算難題，以及使用計算機對線性的體系進行輔助性的剖析和輔助性的設計，也都得到了廣泛和充分的研究。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性?？煽刂菩院涂捎^性是現在的控制理論中最基礎的概念，它是卡爾曼于60年代率先提出，它的基礎是線性系統(tǒng)的理論分析和設計。能控制性其實指的是一種可能性，它是指控制作用對被控制系統(tǒng)的狀態(tài)進行控制的這種可能性；能觀性描述的其實是一種可能性，它是通過系統(tǒng)輸出反推系統(tǒng)狀態(tài)的可能?？煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力，可觀測性描述的是狀態(tài)的觀測力，這兩條性質給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測性的定義。能控性定義：一般地，對于線性定常系統(tǒng) （11）其中，、分別是、維向量；、是常值矩陣，在的有限時間區(qū)間[ ，]，可以發(fā)現控制使，系統(tǒng)的狀態(tài)在時刻是可以控制的；假如系統(tǒng)對于任何一個初始狀態(tài)都可以控制，那么就稱這個系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的，簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。對于能控性的定義，說明幾點：(1)初始狀態(tài)