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正文內(nèi)容

矩陣函數(shù)以及應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計(編輯修改稿)

2024-07-21 13:46 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 接起來。如果線性變換函數(shù)的類型是,只要通過對標(biāo)準(zhǔn)基中的任意一個向量作簡單變換,最后把結(jié)果插到矩陣的列中,所以它是很容易確定的變換矩陣,即:例 已知求解 所以的特征值為。對應(yīng)于的特征向量;對應(yīng)于線性無關(guān)的特征向量,故 使得 于是 上面介紹的是一般矩陣,一般矩陣可以通過相似對角化的方法求解矩陣函數(shù),對一般矩陣而言相似對角化的過程必須先求出矩陣的特征向量。當(dāng)然矩陣中還有些比較特殊的矩陣,因為他們的特殊性可以將計算簡化。對角矩陣就是這樣的一種特殊矩陣,接著就來介紹求對角矩陣函數(shù)的方法。(為一個對角矩陣或者對角矩陣的塊)。(1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù)若為對角矩陣,即則由矩陣乘法,有若為分塊對角矩陣,即,其中為子塊。則(2矩陣函數(shù)為矩陣多項式因為是幾個矩陣指數(shù)函數(shù)的線性組合,它仍然可以作為(1)中的計算方法。 利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法求矩陣函數(shù)設(shè)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為,即,則必存在可逆矩陣,使從而由矩陣函數(shù)的性質(zhì)4可知所以求可以通過以下3個步驟來計算:第一步,先求出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,接著求相似的變換矩陣,使得;第二步,計算,其中第三步,利用求出該方法的關(guān)鍵在于如何求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J,這里簡單描述了怎么用初等因子法求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J:文獻(xiàn)[ 10 ]中有基本因素不變因子的定理和定義,有如下摘錄:定義3 標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素的不變因子。定義4 把矩陣的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積,所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算)稱為矩陣的初等因子。求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具體方法:首先求給定矩陣的特征矩陣;再求矩陣的初等因子組,其中可能有相同的,中也可能有相同的,但總有;每個初等因子對應(yīng)著一個Jordan塊,其階數(shù)為,對角線元素為,即這些Jordan塊的組合構(gòu)成一個Jordan矩陣J,即例 設(shè),求.解 :.再求相似的變換矩陣.設(shè)即,同解方程組,令分別取,得特征向量,于是有則,計算出.于是 .一個重要的結(jié)論:以獨立的矩陣函數(shù)和Jordan塊的排列順序沒有任何關(guān)系,沒有選定具體的變換矩陣P,矩陣函數(shù)總能轉(zhuǎn)為計算矩陣多項式。 利用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù)(化零多項式法)從上面的介紹可以知道求矩陣函數(shù)通過求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式的方法是非常復(fù)雜的,它要求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式及變換矩陣,這個過程很繁瑣。下面我們介紹根據(jù)化零多項式求解矩陣函數(shù)的一種方法,希望能達(dá)到降低計算量的目的。要達(dá)到目的這里需要介紹一個非常有用的定理。定理 階方陣的最小多項式等于它的特征矩陣的第個(也就是最后一個)不變因子。初等因子,不變因子的概念見引用文獻(xiàn)[10]中的定義3,定義4,這里不再介紹。設(shè)階方陣的不變因子反向依次為,由他們給出的初等因子分別為其中。因為,所以必定出現(xiàn)在中;如果,則。因此,矩陣的最小多項式是,它的最小多項式就是它的零化多項式,也就是按照矩陣函數(shù)的定義,只要求出多項式,有 令其中m是A的一個極小多項式的次數(shù),從上述條件可以得到方程組求出,從而得到,最終得到這是待定系數(shù)法的使用(多項式法)求解矩陣函數(shù)的相關(guān)理論知識,這里有具體的例子說明了如何使用這種方法。例 設(shè)矩陣,求解 由于特征多項式,易算出不是A的零化多項式,故A的最小多項式為,于是設(shè)為2次多項式,即,由于,且是單根,是二重根,故有 即 解得 從而得 四種方法的比較為了將問題說明清楚,這里將幾個基本概念回顧一下。首先了解初等變換的概念。初等變換(elementary transformation)是高代中的數(shù)學(xué)名詞,同時也代表著一種運(yùn)算。初等變換主要包括三種情況:線性方程組里的初等變換、行列式中的初等變換和矩陣的初等變換。三個方面的初等變換大同小異。由于本文是矩陣函數(shù)及其應(yīng)用的研究,因此本文主要對矩陣的初等變換進(jìn)行闡述,對另外兩種初等變換不作詳細(xì)介紹。矩陣的初等變換包含有矩陣的初等行變換與它的初等列變換。下面給出的三種初等變換都稱作矩陣初等行變換:將兩行對調(diào);某一行的所有元素乘上一個非零實數(shù);將某一行所有的元素乘以非零常數(shù)k加到另一行分別與之對應(yīng)的元素上去。如果把前面定義中的“行”換成“列”,得到的就是矩陣的初等列變換的定義。如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣,那么矩陣與是等效的。另外:分塊矩陣也能定義初等變換。四種方法中的第二種計算方法難度最大,在求的Jordan表示式時,要求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式,在求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的過程中還要涉及矩陣的初等變換,計算很麻煩,最后還要算交換矩陣,計算量非常大,矩陣的階數(shù)變大也會增加很多計算量;同時也是最實用的,因為這種方法的優(yōu)點是計算步驟非常清晰,容易理解。第一,第三和第四種方法中使用的數(shù)學(xué)原理和方法比較多,明顯地比第二種方法計算量少,它們的計算過程相對簡單,但要明白為什么要這么做,還需要清楚地理解里面運(yùn)用的一些定理和方法。4 矩陣函數(shù)的應(yīng)用矩陣函數(shù)理論對于矩陣?yán)碚撘饬x重大。因為矩陣函數(shù),人們對矩陣的研究由以前的計算進(jìn)入到現(xiàn)在的分析領(lǐng)域。同時也可以解決不僅數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且工程技術(shù)等其它許多領(lǐng)域的眾多計算難題。本文在這里簡單介紹矩陣函數(shù)的一些實際應(yīng)用,主要以在現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用為例進(jìn)行闡述?,F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)有許多不同的領(lǐng)域,其中包括的自動控制技術(shù)在各個方面的作用越來越明顯。隨著科學(xué)技術(shù)越來越成熟,自動控制理論進(jìn)入了一個新的過渡階段,從過去傳統(tǒng)的控制理論到現(xiàn)在的控制理論。優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論了變參數(shù)的多變量的高性能,多變量系統(tǒng)的精度高,主要工具就是矩陣?yán)碚?。因此,現(xiàn)代控制理論中的矩陣?yán)碚摵途仃嚭瘮?shù)的知識具有重要作用。同樣地,為了更好地研究本問題,對本問題中涉及到的控制學(xué)中概念做一些簡單介紹。首先簡單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。上個世紀(jì)50年代左右,最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論經(jīng)過一段時間的應(yīng)用和改善,已經(jīng)發(fā)展成了一套完整的理論,在許多工程技術(shù)領(lǐng)域中都有線性系統(tǒng)理的使用。通過矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。[14]最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數(shù)學(xué)知識,它的最根本的數(shù)學(xué)模型就是前面提到的傳遞函數(shù),最基本的研究和綜合方式是通過頻率響應(yīng)的方法。這種方法對單輸入輸出類型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。然而,這種理論也具備非常突出的不足之處,最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng),而且很難表示出一個系統(tǒng)的真正的內(nèi)部特征。在20世紀(jì)60年代左右,關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時期,其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進(jìn)了狀態(tài)空間的方法。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是:通過描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng),并且通過在時間區(qū)域內(nèi)對整個系統(tǒng)進(jìn)行探討和整合。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用,也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運(yùn)用。基于狀態(tài)的空間方法,卡爾曼將系統(tǒng)的可控制性與可觀測性這兩個最能揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的重要的概念又向前推進(jìn)了一部,在實踐應(yīng)用中已經(jīng)可以充分說明它們兩個是線性系統(tǒng)的理論中的最常用到的概念。在前面介紹的可控制性和可觀測性,對于線性系統(tǒng)的進(jìn)一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn)生了重大影響。這種影響集中體現(xiàn)在用“內(nèi)在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”,并將探討和整合的過程需要的基礎(chǔ)理論變的更加嚴(yán)格起來。從60年代中期到現(xiàn)在,不僅在研究內(nèi)容和研究方法,對于線性系統(tǒng),有很多新的突破。產(chǎn)生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結(jié)構(gòu)的方法,這種方法主要是以幾何方法解決實際問題,同時產(chǎn)生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論,也出現(xiàn)了基于擴(kuò)展的經(jīng)典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。就在此時,由于計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和完善,對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計算難題,以及使用計算機(jī)對線性的體系進(jìn)行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計,也都得到了廣泛和充分的研究。為了使研究的問題更透徹,接下來重點介紹一下能控性和能觀測性。可控制性和可觀性是現(xiàn)在的控制理論中最基礎(chǔ)的概念,它是卡爾曼于60年代率先提出,它的基礎(chǔ)是線性系統(tǒng)的理論分析和設(shè)計。能控制性其實指的是一種可能性,它是指控制作用對被控制系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行控制的這種可能性;能觀性描述的其實是一種可能性,它是通過系統(tǒng)輸出反推系統(tǒng)狀態(tài)的可能??煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力,可觀測性描述的是狀態(tài)的觀測力,這兩條性質(zhì)給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測性的定義。能控性定義:一般地,對于線性定常系統(tǒng) (11)其中,、分別是、維向量;、是常值矩陣,在的有限時間區(qū)間[ ,],可以發(fā)現(xiàn)控制使,系統(tǒng)的狀態(tài)在時刻是可以控制的;假如系統(tǒng)對于任何一個初始狀態(tài)都可以控制,那么就稱這個系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的,簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。對于能控性的定義,說明幾點:(1)初始狀態(tài)
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