【正文】 。 解 這是一個(gè)具有兩個(gè)輸入、三個(gè)狀態(tài)變量的系統(tǒng)。因?yàn)? 故的秩，從而系統(tǒng)不是完全能控的。 定義4－7 對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，若在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，能通過觀測(cè)系統(tǒng)的輸出而唯一地確定任意初始狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，或者說對(duì)每一狀態(tài)是能觀測(cè)的。 定理4－15 系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充要條件是階對(duì)稱矩陣 為非奇異矩陣。 證明 充分性： 令 于是得 4－20以左乘上式兩邊，并從0到進(jìn)行積分，可得 ，即 若為非奇異矩陣，則 ，即可以唯一確定。由此可見，如果（）是非奇異的，那么該系統(tǒng)就是完全能觀的。 必要性：如果系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，我們用反證法證明是非奇異的。事實(shí)上，如果是奇異的，則存在非零維向量，使得 將代入此式便得 這表明對(duì)任意，有 若取，則對(duì)任意，便有 （）這與當(dāng)時(shí)由式4－20 （）的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說明不可以獨(dú)一確定。該系統(tǒng)與完全可觀測(cè)的假設(shè)互相矛盾。 定理4－16 系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充要條件是矩陣 的秩等于，亦即矩陣 的秩等于。矩陣叫做能觀測(cè)性矩陣。 例4－10 如果一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程是 試判斷此系統(tǒng)的能觀測(cè)性。 解 它的能觀測(cè)性矩陣為 明顯它的秩是2，所以是可觀測(cè)系統(tǒng)。矩陣函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣，以上介紹的幾個(gè)例子只是其中的一部分。矩陣函數(shù)在數(shù)值方法的研究、其余的數(shù)學(xué)分支和工程的課題上都有很大的作用，像探索剛體的旋轉(zhuǎn)表達(dá)方法時(shí)，就需要使用矩陣的指數(shù)函數(shù)；在處理圖像、識(shí)別模式、通信等其他領(lǐng)域，也經(jīng)常使用矩陣函數(shù)。使用矩陣函數(shù)能解決很多其他學(xué)科難以解決的計(jì)算難題并可以將誤差控制在最小范圍內(nèi). 5 矩陣函數(shù)與Matlab結(jié)合隨著現(xiàn)代科技的飛速發(fā)展，社會(huì)上出現(xiàn)了一系列的軟件，有文字編輯類的，有視頻制作類的，有圖形處理類的，還有專門的網(wǎng)絡(luò)安全軟件。這些軟件，使現(xiàn)代人的生活發(fā)生了翻天覆地的變化，它們極大地豐富了我們的生活，為人們提供了非常大的方便。因?yàn)槭褂眠@些現(xiàn)代軟件和人們追求高效化的生活目標(biāo)相契合，所以未來軟件將會(huì)發(fā)揮越來越大的作用，軟件將會(huì)在各個(gè)方面顯示它的優(yōu)越性。由于軟件的廣泛使用，傳統(tǒng)學(xué)科也隨之改變?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件的產(chǎn)生在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也具有劃時(shí)代的意義，它將數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的依靠手工并且誤差較大的計(jì)算帶到依靠計(jì)算機(jī)高速并且精確的計(jì)算。由于數(shù)學(xué)軟件的產(chǎn)生使數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科更好地發(fā)揮了其應(yīng)有的作用。為了更好地研究本問題，在此對(duì)Matlab作一點(diǎn)簡(jiǎn)單的介紹。現(xiàn)在人們使用各種各樣的數(shù)學(xué)軟件，其中人們普遍認(rèn)為Matlab是功能最強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。Matlab是美國(guó)的軟件公司出版的多用數(shù)學(xué)軟件，它的功能十分完善，可以說是觸及了方方面面。例如：使編程工作者研究算法、使得到的數(shù)據(jù)形象直觀、最主要的是用于數(shù)據(jù)方面?，F(xiàn)在我們已熟知的Matlab其實(shí)是將兩個(gè)詞（matrix與laboratory）組合而來的，不難看出有矩陣工廠的意義。所有使用過Matlab的人都非常清楚它的最基本的計(jì)算功能很強(qiáng)大，但不僅如此。它還提供了一般人很難達(dá)到的的信號(hào)處理功能，編輯文字的功能，使數(shù)學(xué)建模立體化并且根據(jù)需要隨時(shí)修改的功能。在數(shù)值分析，矩陣運(yùn)算，科學(xué)數(shù)據(jù)可視化和非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真建模，和許多其他強(qiáng)大的功能都集成在一個(gè)易于使用的環(huán)境下，這就是Matlab的優(yōu)點(diǎn)。它為研究工程、設(shè)計(jì)科學(xué)以及其他對(duì)所求的結(jié)果數(shù)據(jù)精確度要求非常高的的其他學(xué)科提供了一種非常有效的解決途徑，并且在很大程度上改變了為人們所熟悉的一般的程序設(shè)計(jì)語言（如C、C++）的編程方法。Matlab不僅能夠進(jìn)行矩陣的各種計(jì)算，還有有繪圖和數(shù)值處理等功能，它將理論上的算法用于解決實(shí)際問題，例如創(chuàng)建用戶界面、連接程序等等，但它是通過使用其他的編程語言，主要用于工程設(shè)計(jì)，現(xiàn)場(chǎng)控制計(jì)算，信號(hào)處理，圖像處理和通信，檢查信號(hào)異常，所有的社會(huì)判斷中最具有前景的分析世界金融形式等。Matlab使用的最小單位是矩陣，它使用的代碼的一般形式與工程數(shù)學(xué)和控制過程中常用的形式相同，所以分別用Matlab、C、FORTRAN等不同語言解決相同的問題，明顯的Matlab所用的時(shí)間比其他語言需要花費(fèi)的時(shí)間少很多，從中不難看出Matlab計(jì)算能力強(qiáng)大。此外Matlab也吸收了其他數(shù)學(xué)軟件的長(zhǎng)處，使Matlab真正成為一個(gè)有很多實(shí)用功能的數(shù)學(xué)軟件。隨之科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，Matlab也與時(shí)俱進(jìn)。不同的版本都有當(dāng)時(shí)最流行的編程技術(shù)。由于使用人數(shù)非常多和使用時(shí)間非常長(zhǎng)，現(xiàn)在代碼庫(kù)中可以直接調(diào)用的代碼源非常多，每個(gè)人都可以根據(jù)需要將自己認(rèn)為非常有用的代碼放進(jìn)Matlab函數(shù)庫(kù)，已經(jīng)形成了很多經(jīng)典的程序代碼，使用者根據(jù)需要直接在數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行下載后就能用。Matlab的使用群如此之大，原因非常多，可以歸結(jié)為以下幾點(diǎn)：（1)有效、精確的處理數(shù)據(jù)和圖形中符號(hào)處理等功能，使用戶不再需要進(jìn)行復(fù)雜冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)分析中的計(jì)算，并且它在數(shù)學(xué)分析中的方法及其晦澀難懂；（2）具有完善的處理圖形的功能，使計(jì)算和編程的結(jié)果形象地呈現(xiàn)出來，非常直觀；（3） 完備的用戶界面及用自然化語言表示的數(shù)學(xué)表達(dá)式，讓使用者很容易接受；（4）還有許多其他實(shí)用功能。如處理信號(hào)、組織通信，這些對(duì)解決實(shí)際問題都有很大作用。Matlab對(duì)數(shù)據(jù)和圖形處理的方法非常方便。Matlab的代碼庫(kù)中有許多算法。它包含了幾乎所有的項(xiàng)目都共同使用的數(shù)學(xué)函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算功能的各種用戶的要求。函數(shù)的算法應(yīng)用于科學(xué)和工程計(jì)算的最新研究成果，隨著時(shí)間的推移，通過各種優(yōu)化和誤差校正處理不斷擴(kuò)大和更新現(xiàn)有的數(shù)據(jù)庫(kù)。在遇到對(duì)結(jié)果的要求不是很高時(shí)，使用Matlab的優(yōu)勢(shì)更加明顯。當(dāng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的限制差不多時(shí)，利用Matlab編程將比預(yù)期少了很多時(shí)間。Matlab中含有許多函數(shù)集，既有我們都很熟悉的最基本的函數(shù)，也有很多難以理解的像快速傅里葉變換等復(fù)雜函數(shù)。函數(shù)能解決很多問題。矩陣計(jì)算，線性方程組的主要問題，常微分方程和偏微分方程，數(shù)學(xué)符號(hào)，傅立葉變換，數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，工程優(yōu)化問題，計(jì)算稀疏矩陣，計(jì)算復(fù)雜，三角函數(shù)的計(jì)算，其他基本的數(shù)學(xué)計(jì)算，計(jì)算多維的各種數(shù)學(xué)和工程陣列仿真圖像建模都可以用到。Matlab對(duì)圖形的處理能力也是空前的。在MATLAB中開始出現(xiàn)以使數(shù)據(jù)可視化顯示作為自己的戰(zhàn)略目標(biāo)，可以用圖形來表示矩陣和向量，并可以按照需求完成一系列其他工作。更高級(jí)別的作圖方式有二維平面圖和三維的立體圖、動(dòng)態(tài)和表達(dá)式作圖等。這些都可用于工程計(jì)算和科學(xué)繪圖。Matlab的最新版本有更好的圖形處理功能，使它比一般的數(shù)據(jù)可視化軟件都有的功能（例如描繪和制作二維曲線和三維曲面等）更加完備，更關(guān)鍵的是它有很多其他的，別的軟件一般沒有這些功能。像圖形的光照處置、處理色度、表現(xiàn)四維數(shù)據(jù)，Matlab更是顯示出了非凡的能力。同時(shí)對(duì)一些極少使用的可視化需求，Matlab也有與之匹配的功能函數(shù)，保證了不同用戶的各種需求。Matlab有許多在實(shí)踐中能發(fā)揮巨大作用的模塊箱和工具集。一般來說，它們由許多在自己研究領(lǐng)域頗負(fù)盛名的專家學(xué)者編寫的，所以用戶可以直接選擇自己需要的工具箱，從中選擇對(duì)自己有幫助的代碼進(jìn)行學(xué)習(xí)，不必完全由自己編寫，這樣不僅能給用戶帶來極大的方便還能提高工作效率，激發(fā)工作激情。所以學(xué)習(xí)好和掌握好Matlab的知識(shí)，對(duì)于繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他方面的知識(shí)都具有非常重要的意義。本文主要研究的是矩陣函數(shù)及其應(yīng)用，所以通過Matlab編寫程序，使一些常用的矩陣函數(shù)，像矩陣指數(shù)函數(shù)、矩陣三角函數(shù)和矩陣冪函數(shù)通過Matlab非常容易的計(jì)算出結(jié)果，再通過Matlab強(qiáng)大的圖形處理功能將函數(shù)的圖像直觀的顯示出來。具體的代碼見后面的附錄。32參考文獻(xiàn)[1]蘇育才，姜翠波，[M].北京：科學(xué)出版社，2006；[2]魯琦，陶桂秀，[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2011（01）， 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