基于風(fēng)險(xiǎn)基金的capm模型[1](編輯修改稿)
2025-07-21 00:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，其中一個(gè)是風(fēng)險(xiǎn)基金，另一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)基金。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)基金投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。 風(fēng)險(xiǎn)基金則投資于全部風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而決不投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。從而，復(fù)雜的資產(chǎn)市場(chǎng)可以簡(jiǎn)化為: 存在一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。且該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)由所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)復(fù)合而成，相互權(quán)重與投資者的財(cái)富，偏好無(wú)關(guān)，而只與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的分布性質(zhì)有關(guān)。因此，使用兩基金分離定理可以極大地簡(jiǎn)化消費(fèi)—投資組合模型，從而使得模型求解變得更加容易。風(fēng)險(xiǎn)基金可以理解為，所有投資者均只投資于某個(gè)復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，該復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資于各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合為列向量，其中.使用矩陣記號(hào)，風(fēng)險(xiǎn)基金投資于各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之上的投資組合等于。四、風(fēng)險(xiǎn)基金的動(dòng)態(tài)本節(jié)證明風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并給出風(fēng)險(xiǎn)基金的期望收益率和波動(dòng)率之間的關(guān)系。記風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格為，依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)基金的定義，風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格服從如下隨機(jī)過(guò)程.下面說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。由于服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，所以線性組合也服從正態(tài)分布，且其均值為,方差為,其中第三個(gè)等號(hào)使用了協(xié)方差矩陣的定義，第四個(gè)等號(hào)使用了的定義，并利用了協(xié)方差矩陣的對(duì)稱(chēng)性。因此，風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，記為，其中和都是常數(shù)。下面進(jìn)一步給出和的具體表達(dá)式。由風(fēng)險(xiǎn)基金的定義可知風(fēng)險(xiǎn)基金的期望收益率等于 , (5)風(fēng)險(xiǎn)基金的收益率的方差等于 . (6)由 (5) 和 (6) 得到 . (7)至此，已經(jīng)得到了風(fēng)險(xiǎn)基金的動(dòng)態(tài)，即風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格所服從的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并給出了期望收益率與波動(dòng)率之間的關(guān)系式。這對(duì)于證明基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM和CCAPM模型是十分方便的。五、基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型本節(jié)證明全文的核心結(jié)果: 基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型，主要結(jié)果反映在下面的定理1和定理2中。在基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型中，資產(chǎn)定價(jià)的基準(zhǔn)不是市場(chǎng)組合，而是兩基金分離之中的風(fēng)險(xiǎn)基金。定理1 假定經(jīng)濟(jì)中所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格都服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。令是任意一個(gè)可行投資組合的收益率，那么該投資組合的期望收益率滿足如下關(guān)系,此處度量該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。證明 令是任意的可行投資組合的收益率。如果為該投資組合投資于各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合向量，為該投資組合投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合權(quán)重。因?yàn)樗酗L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格都服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，所以投資組合的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且有.因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，所以，由的定義得到. (8)由于風(fēng)險(xiǎn)基金的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么布朗運(yùn)動(dòng)項(xiàng)等于。因此， ,將之代入 (8)，得到 , (9)其中最后一個(gè)等號(hào)利用了式 (7)。由于投資組合的期望收益率，所以得到。再由 (9)，那么投資組合的期望收益率滿足如下關(guān)系，此處度量該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。證畢.由于定理1中所研究的是任意的投資組合，而CAPM模型所處理的是實(shí)際的單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，所以為了便于和CAPM模型進(jìn)行比較，將定理1推廣到處理單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形，即如下定理2.定理2: (基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型) 假定同定理1。任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率滿足如下關(guān)系 , (10)此處度量風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。證明: 定理2其實(shí)是定理1的一個(gè)簡(jiǎn)單的推論。由于任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)也是可行的投資組合，所以直接使用定理1就可以得到定理2。證畢。定理2給出了基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型，模型描述了資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的線性關(guān)系。資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)定義為，資產(chǎn)收益率與風(fēng)險(xiǎn)基金收益率之間的協(xié)方差除以風(fēng)險(xiǎn)基金收益率的方差。定理2對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的這種定義十分類(lèi)似于傳統(tǒng)的CAPM模型中的Beta系數(shù)，即資產(chǎn)收益率與市場(chǎng)組合收益率的協(xié)方差除以市場(chǎng)組合收益率的方差。顯然，定理2中的風(fēng)險(xiǎn)與傳統(tǒng)的CAPM模型中的Beta系數(shù)是截然不同的。下面分析說(shuō)明基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型的經(jīng)濟(jì)含義。不妨假設(shè)投資者現(xiàn)在持有風(fēng)險(xiǎn)基金，并且風(fēng)險(xiǎn)基金的期望收益率高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。如果風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的大于0，那么風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率與風(fēng)險(xiǎn)基金的收益率正相關(guān) 系數(shù)與相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念。定義為，度量的是該資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。 相關(guān)系數(shù)定義為，度量的是該資產(chǎn)收益率與風(fēng)險(xiǎn)基金收益率之間的相關(guān)性。從而，投資者做多風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)將會(huì)增加所持有資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，因此，該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率一定大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，否則投資者不愿意持有該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。這個(gè)均衡分析過(guò)程與定理2的預(yù)測(cè)是一致的。同理也可以分析其它各種情形。六、模型的應(yīng)用—CCAPM基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型具有重要的理論意義。作為應(yīng)用例子，本節(jié)使用基于風(fēng)險(xiǎn)基金的CAPM模型證明，Breeden (1979) 提出的CCAPM模型。結(jié)果反映在定理3中。1 簡(jiǎn)化的消費(fèi)—投資組合模型使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)基金和風(fēng)險(xiǎn)基金，投資者的財(cái)富動(dòng)態(tài)方程 (2) 可以重新描述為,此處實(shí)數(shù)是投資者將財(cái)富
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