【文章內(nèi)容簡介】 ，數(shù)學(xué)上稱這種方法為窗函數(shù)法。 H |w|時為，時為0 (32)h(n)= (33)h(n)= h(n)R(n) (34)其中是希望逼近的濾波器的單位脈沖響應(yīng)，H 是希望逼近的濾波器的幅頻特性，h(n)是所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)，R(n)是一個矩陣序列，長度為N。在截斷的過程中要保證FIR濾波器的穩(wěn)定性與線性相位的特性。由于截斷效應(yīng)使所設(shè)計濾波器的幅頻特性存在誤差，稱之為吉布斯效應(yīng)。最后，驗證所設(shè)計的濾波器是否滿足要求，若不滿足，重新設(shè)計。常用的窗函數(shù)有矩形窗、三角窗、漢寧窗和凱塞窗等。窗函數(shù)的選擇一般要滿足以下三個條件：(1)具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度。(2)旁瓣幅度下降速度要快，以利于增加阻帶衰減。(3)主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶。矩形窗函數(shù)的時域形式可以表示為： (35)它的頻域特性為： (36)矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。漢寧窗函數(shù)的時域形式可以表示為： (37)它的頻域特性為： (38)其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了1倍，為8π/N。漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨率下降。海明窗函數(shù)的時域形式可以表示為: (39)它的頻域特性為: (310)其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。海明窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度是一樣大的，只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到更小。三角窗是最簡單的頻譜函數(shù)為非負(fù)的一種窗函數(shù)。三角窗函數(shù)的時域形式可以表示為：當(dāng)n為奇數(shù)時： (311)當(dāng)n為偶數(shù)時： (312)它的頻域特性為： (313) 三角窗函數(shù)的主瓣寬度為8π/N，比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，但是它的旁瓣寬度卻小得多。 布萊克曼窗 (314)增加一個二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，增加N可減少過渡帶。 頻譜的幅度函數(shù)為： + (315) 下表列出了各種窗函數(shù)主瓣和旁瓣的特征：窗函數(shù)主瓣頻寬第一旁瓣相對主瓣衰減（dB）矩形窗13漢寧窗31海明窗41三角窗25布萊克曼窗57表31 各窗函數(shù)的特征表表中看出不同的窗函數(shù)主瓣頻寬和第一旁瓣相對主瓣衰減都不一樣，不同窗函數(shù)在這兩方面的特點(diǎn)是不同的，因此應(yīng)根據(jù)具體的問題進(jìn)行選擇。此外，主旁瓣頻率寬度還與窗函數(shù)長度N有關(guān)。增加窗函數(shù)長度N將減小窗函數(shù)的主瓣寬度，但不能減小旁瓣幅值衰減的相對值（分貝數(shù)），這個值是由窗函數(shù)決定的。例如：繪制矩形窗函數(shù)的幅頻響應(yīng)，窗長度分別為：(1)N=10。(2)N=20。 (3)N=50。(4)N=100時的圖形如下：圖31 不同窗函數(shù)長度的幅頻響應(yīng)由上圖可以看出，隨著N的增大，主瓣和旁瓣都變窄，但第一旁瓣相對主瓣的幅值下降分貝數(shù)相同，第二旁瓣相對第一旁瓣幅值下降的分貝數(shù)也相同。然而，隨著N的增大，旁瓣數(shù)也增多，減少主瓣寬度和抑制旁瓣是一對矛盾，不可兼得，只能根據(jù)不同用途折衷處理。 FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣法設(shè)希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)用H表示，對H在w=0到2之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到H：H=H| k=0,1,2,…,N1 (316)再對H進(jìn)行N點(diǎn)IDFT，得到h(n)：h(n)= n=0,1,2…,N1 (317)將h(n)作為設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H（z）為H（z）= (318)另外根據(jù)頻率域采樣理論，利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號Z變換的內(nèi)插公式 (319)X(k)表示X（z）的內(nèi)插公式，稱為內(nèi)插函數(shù)。將z= 帶入并進(jìn)行整理化簡，可得X（e）= 稱為頻域內(nèi)插公式 (320) 利用內(nèi)插公式 （320）可表示為H（z）= （321）此式就是直接利用頻率采樣值H形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，：首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)；其次，求單位沖激響應(yīng)；再次，有過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，查表選定窗函數(shù)及N的大小，一般N的大小要通過幾次試探而后確定；求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)；，n=0，1，…,N1；求，檢驗是否滿足設(shè)計要求，如不滿足，則需要重新設(shè)計。用框圖表示如下：頻率響應(yīng)函數(shù)H單位沖激響應(yīng)h(n)窗函數(shù)類型，N的大小加窗得到結(jié)果h(n)=h(n)w(n)=圖32：用窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的步驟第4章 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 設(shè)計指標(biāo)的確定（1）低通濾波器設(shè)計指標(biāo)逼近通帶：[0，w],通帶最大衰減：adB。逼近阻帶：[w,],阻帶最小衰減：adB.Remezord調(diào)用參數(shù)：f=(),m=[0,1],rip=[]其中，f向量省去了起點(diǎn)頻率0和終點(diǎn)頻率1，分別為通帶和阻帶波紋幅度（2）高通濾波器設(shè)計指標(biāo)：逼近通帶：[w,],通帶最大衰減：adB。逼近阻帶：[0,w]。阻帶最小衰減：adB.Remezord調(diào)用參數(shù):f=(),m=[0,1].rip=[](3)帶通濾波器設(shè)計指標(biāo)逼近通帶：[w,w]通帶最大衰減：adB。逼近阻帶：[0,w],[w,]阻帶最小衰減：adBRemezord調(diào)用參數(shù):f=(),m=[],rip=[,](4)帶阻濾波器設(shè)計指標(biāo)逼近通帶：[w, w]。通帶最大衰減：adB逼近阻帶：[0, w][w,]阻帶最小衰減：adB。Remezord調(diào)用參數(shù):f=(),m=[1,0,1],rip=[,] 濾波器類型的選擇一般主要運(yùn)用FIR和IIR兩種濾波器，現(xiàn)在來分析下各自的優(yōu)缺點(diǎn)。從性能上來說，IIR濾波器傳遞函數(shù)包括零點(diǎn)和極點(diǎn)兩組可調(diào)因素，對極點(diǎn)的惟一限制是在單位圓內(nèi)。因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存儲單元少，計算量小，效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴(yán)重。FIR濾波器傳遞函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，是不能動的，它只能靠改變零點(diǎn)位置來改變它的性能。所以要達(dá)到高的選擇性，必須用較高的階數(shù)；對于同樣的濾波器設(shè)計指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可能比IIR濾波器高510倍，結(jié)果，成本較高，信號延時也較大；如果按線性相位要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，同樣要大大增加濾波器的階數(shù)和復(fù)雜性。而FIR濾波器卻可以得到嚴(yán)格的線性相位。 從結(jié)構(gòu)上看，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)來配置極點(diǎn)，并保證極點(diǎn)位置在單位圓內(nèi)。由于有限字長效應(yīng)，運(yùn)算過程中將對系數(shù)進(jìn)行舍入處理，引起極點(diǎn)的偏移。這種情況有時會造成穩(wěn)定性問題，甚至產(chǎn)生寄生振蕩。相反，F(xiàn)IR濾波器只要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上還是在實際的有限精度運(yùn)算中都不存在穩(wěn)定性問題，因此造成的頻率特性誤差也較小。此外FIR濾波器可以采用快速傅里葉變換算法，在相同階數(shù)的條件下，運(yùn)算速度可以快得多。 另外，也應(yīng)看到，IIR濾波器雖然設(shè)計簡單，但主要是用于設(shè)計具有分段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR濾波器則要靈活得多，尤其是他易于適應(yīng)某些特殊應(yīng)用，如構(gòu)成數(shù)字微分器或希爾波特變換器等，因而有更大的適應(yīng)性和廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。 從上面的簡單比較可以看到IIR與FIR濾波器各有所長，所以在實際應(yīng)用時應(yīng)該從多方面考慮來加以選擇。從使用要求上來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通信等，選用IIR較為合