中考?jí)狠S題的風(fēng)韻(編輯修改稿)
2024-12-12 21:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ①試判斷以 PQ為直徑的圓與 x 軸的位置關(guān)系，并說明理由； ②以 PQ 為直徑的圓與 y 軸的交點(diǎn)為 A 、 B ，若OAOB = 1 ，求直線 PQ 對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式。（ 2020年楊州市中考題） 略解（ 1）猜想： d1 = d 2 . 簡證：設(shè) P （ )是 上的任意一點(diǎn)， 則 0 ，所以 d 1 = y 0 ；由勾股定理得 ，而 ∴ （ 2 ） ①以 PQ為直徑的圓與 x 軸相切（圖 2）。 P 39。Q 39。圖 2xyACBMFOQP 設(shè) PQ的中心為 M ,分別 Q、 M、 P作 x 軸的垂線，垂足分別為 Q’ 、 C 、 P’ 。 易證 MC 為梯形 P Q Q’P’的中位線。 ∴ ∴ 以 PQ為直徑的圓與 x 軸相切。 ②設(shè)直線 PQ 對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y =k x +b ，因?yàn)辄c(diǎn) F（ 0， 2）在 PQ上，所以 b = 2 ,所以 y = k x + 2 . y =kx + 2, 聯(lián)立 消去 y 得： x 2 4kx4=0 ( * ) 記點(diǎn) P（ ）、 Q（ ），則 是方程 ( * )的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴ . ∵⊙ M切 x 軸于點(diǎn) C，與 y 軸交于點(diǎn) A、 B ， ∴ OC 2 = OA 178。OB =1, ∵OC 0 ,∴OC =1 , ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 C（ 1， 0）或（ 1， 0），又點(diǎn) C是線段 P39。Q39。的中點(diǎn)， 故當(dāng)點(diǎn) C坐標(biāo)為（ 1， 0）時(shí)， X 0 1 =1 – X1 , ∴ X 0 + X 1 =2 ， 即 4 k =2 , ∴k = 。 當(dāng)點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 1， 0）時(shí)， X 0 （ 1） =（ 1） – X 1 ∴ X 0 + X 1 = 2 ， 即 4k =2 ,∴k = 。 ∴ 所求直線 PQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為： 或 此類題型是以直角坐標(biāo)系為載體，融函數(shù)、方程、幾何為一體的探究性試題，注重在初中數(shù)學(xué)主干知識(shí)的交匯點(diǎn)進(jìn)行命題，背景知識(shí)豐富，綜合性強(qiáng)，解決本題，還需擁有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類思想。 二、 幾何操作型壓軸題備受青睞 所謂幾何操作題，就是指利用指定的工具和材料，動(dòng)手操作，自主探究，得出猜想，而后驗(yàn)證猜想，最終解決問題的一種題型。 例 2（ 2020年紹興市中考題）已知 ∠ ABC=90176。 .OM 是∠ ABC的平分線，按以下要求解答問題： （ 1）將三角板的直角頂點(diǎn) P在射線 OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與 OA、 OB交于點(diǎn) C、 D。 ①在圖 3（ 1）中，證明 PC = PD。 ② 在圖 3（ 2）中，點(diǎn) G是 CD與 OP的交點(diǎn)，且 求△ POD與△ PDG的面積比。 （ 1 ）MPDOCA（ 2 ）MPDOCAG（ 3 ）MBOA（ 2）將三角板的直角頂點(diǎn) P放在射線 OM上移動(dòng)，一直角邊與邊 OB交于點(diǎn) D， OD = 1，另一直角邊與直線OA、直線 OB分別交于點(diǎn) C 、 E，使以 P 、 D、 E為頂點(diǎn)的三角形與△ OCD相似，在圖 3（ 3）中作出圖形，試求 OP的長。 略解（ 1）略。 （ 2）只要用三角板繞點(diǎn) P（ P在 OM上是動(dòng)點(diǎn)）按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，并保持一條邊始終與 OB相交于 D，則會(huì)發(fā)現(xiàn)另一邊與 OA或 OA的反向延長線相交，易見， OP的長需分兩種情形去求解。 當(dāng)另一邊與 OA相交時(shí)，如圖 4， ∵∠ PDE ∠CDO , 又要使以 P、 D、 E為頂點(diǎn)的三角形與△ OCD相似， 圖 4DEMPOCBA圖 5MOPHGFE DCBA∴∠COD = ∠ PED, ∴CE = CD ∵ CO ⊥ DE, ∴OE = OD. ∴∠EPD = 90186。, ∴OP = 當(dāng)另一邊與 OA的反向延長線相交時(shí)，如圖 5， ∵∠ PED ∠ CDO , 要使以 P、 D、 E為頂點(diǎn)的三角形與△ OCD相似， ∴∠ PDE = ∠ODC, 過點(diǎn) P作 PG ⊥ OB, PH ⊥ OA, 垂足分別為 G、 H。 設(shè) OP = x ， ∵∠ AOB = 90176。 , OM為 ∠ AOB的平分線， ∴ PG = PH = OH = OG = . 此時(shí)，易證△ PCH ≌ △ PDG, CH =DG = 1 , PC = PD. ∵∠ CPD = 90176。 , ∴∠ PDE = ∠ ODC = 176。 , ∴∠ OCP = ∠ PDE = 176。 , ∴∠ OPC = 176。 , ∴ OC = OP = x , ∴ CH= OC + OH = X + , ∴ 1 = x + , ∴ X = 1 , ∴ OP = 1 . 綜上所述， OP = 1 ,或 1 . 這道 題設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思精巧，可謂獨(dú)具匠心，通過對(duì)三角板的操作，探索圖形中存在的變化規(guī)律，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的過程，有效地考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，同時(shí)，也使學(xué)生在探索和解決問題的過程中感受到數(shù)學(xué)的美妙，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)的魅力。幾何操作型壓軸題備受青睞，如 04年江西省及大連市中考?jí)狠S題。 （ 04年江西省中考?jí)狠S題）如圖 24，在矩形 ABCD中，AB=3， AD=2，點(diǎn) E、 F分別在 AB、 CD上， AE=DF=2?，F(xiàn)把一塊直徑為 2的量角器（圓心為 O）放置在圖形上，使其 0176。 線 MN與 EF重合；若將量角器 0176。 線上的端點(diǎn) N固定在點(diǎn) F上，在把量角器繞點(diǎn) F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) ∠ α（ 0176。 α90176。 ），此時(shí)量角器的半圓弧與 EF相交于點(diǎn) P，設(shè)點(diǎn) P處量角器的讀數(shù)為 n176。 (1)用含 n176。 的代數(shù)式表示 ∠ α 的大小 (2)當(dāng) n176。 等于多少時(shí)，線段 PC與 MˊF 平行？ （ 3）在量角器的旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn) Mˊ 作 GH⊥MˊF ， 交 AE于點(diǎn) G，交 AD于點(diǎn) H。設(shè) GE =x， Δ AGH的面積為 S，試 求出 S關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出自變量 x的取值范圍。 （ 04年大連市中考?jí)狠S題） 如圖， ⊙ O1 和 ⊙ O2內(nèi)切于點(diǎn) P， C是 ⊙ O1上任一點(diǎn)（與點(diǎn) P不重合）。實(shí)驗(yàn)操作：將直 角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) C
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