【文章內(nèi)容簡介】 (22)最小化的取值。由于上式中的未知，我們可以用取代(22)式的，這是因為對，估計值都偏大，于是有其中表示第次對值樣本進行抽樣后，采用(21)式重新計算得到的估計值。從而最優(yōu)為從而可以得到最優(yōu)估計由于，因此我們可以考慮采用格點法，即在區(qū)間上等距離地抽取有限個值，然后利用(21)式計算最小化均方誤差[19]。 經(jīng)驗貝葉斯估計在對微陣列數(shù)據(jù)進行研究時，Efron, B. and Tibshirani, R. (2002)[20]提出可采用經(jīng)驗貝葉斯方法來估計FDR. 令表示不同條件下基因表達無差別的概率，則表示基因表達存在差別的概率。我們采用來表示零假設(shè)和備擇假設(shè)檢驗下檢驗統(tǒng)計量的密度函數(shù)，對應(yīng)的分布函數(shù)分別為. 則檢驗統(tǒng)計量的密度函數(shù)可以表示為計算后驗概率，有如果是已知的，或者已經(jīng)被估計出來，記為，則由得到不等式從而得到的一個估計式上式也可以改寫為其中和為對應(yīng)的經(jīng)驗分布函數(shù)。 本章小結(jié)在第一節(jié)中，我們介紹了多重假設(shè)檢驗中錯誤測度的定義，給出了錯誤發(fā)現(xiàn)率的概念；第二節(jié)介紹了P值的定義和性質(zhì)；第三節(jié)和第四節(jié)分別介紹了檢驗統(tǒng)計量在獨立情形和相依情形下FDR控制的檢驗方法，第五節(jié)介紹了兩種真實零假設(shè)或比值的估計方法，為后面參數(shù)混合模型的估計方法奠定了基礎(chǔ)。第3章 參數(shù)混合模型和非參數(shù)混合模型的估計 引言在實際多重假設(shè)檢驗的研究中，我們往往使用隨機的檢驗。當時，統(tǒng)計量的密度函數(shù)記為, 當時，統(tǒng)計量的密度函數(shù)與某個未知的參數(shù)有關(guān)，記為. 這里的. 如果固定，統(tǒng)計量的密度函數(shù)就可以表示為 (31)與之相對應(yīng)的值密度函數(shù)就可以表示為 (32)其中上式中的和分別表示值在零假設(shè)和備擇假設(shè)下的密度函數(shù)。顯然模型(31)和(32)是關(guān)于的參數(shù)混合模型。在模型(31)中，參數(shù)與均是可辨別的，其中表示冗余參數(shù)。同理，在模型(32)里面，參數(shù)和也是可辨別的。下面分別研究在正態(tài)混合分布模型和Beta混合分布模型下的估計方法。 正態(tài)分布混合模型為了方便研究，本節(jié)我們對模型(31)中的密度函數(shù)加以條件限制。假設(shè)統(tǒng)計量在零假設(shè)下服從標準正態(tài)分布，即, 那么為標準正態(tài)分布密度函數(shù)，我們把它記為。 在備擇假設(shè)下，統(tǒng)計量, 也就是說，是期望為，方差為1的正態(tài)分布密度函數(shù)，記為。從而隨機變量的其密度函數(shù)可以表示為 (33)在這個模型中，參數(shù)是可辨別的，其中是我們要研究的參數(shù)，為冗余參數(shù)。對于任何一個樣本，如果樣本容量足夠，就可以由樣本的前兩階矩得到方程組解這個方程組，得 (34)即為參數(shù)的矩估計。 我們利用基于值的最小二乘估計來研究參數(shù)的估計方法，這里我們只考慮右側(cè)檢驗。令表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，則有，即。于是有,其中表示正態(tài)分布的上側(cè)分位點，為檢驗水平，有。記，則有 上式可以寫成 (35)我們?nèi)。瑒t上式變?yōu)樵倭? (36)若已知，對點列作最小二乘估計，可以得到參數(shù)的估計值，即由得到參數(shù)的估計值 (37) 而實際上是未知的，而可以采用矩估計的方法得到它的初始估計值。那么這個算法的步驟如下：算法一：第一步：采用矩估計方法，由(34)式得到參數(shù)和的估計，即參數(shù)和的初值，記為和；第二步：令,帶入到(36)式中，計算點列；第三步：對點列作最小二乘估計，由(37)式得到新的估計值；第四步：利用的最小化方法，求得；第五步：令，重復(fù)計算第二步至第四步，直到估計值收斂為止。我們再來利用統(tǒng)計量的擬合方法來研究參數(shù)的估計值。定義并記, 其中為給定的檢驗水平，經(jīng)過計算得 從而 (38) (39) 那么，由(38)和(39)式可以得到 (310)其中。從而 (310)式可化為與前文類似，令，則有記 (311)于是，由可以得到的最小二乘估計值同式(37) 。從而這個算法的具體步驟如下：算法二：第一步：由(34)式得到參數(shù)和的初值和；第二步：令,代入到(311) 式中，計算點列；第三步：對點列作最小二乘估計，由(37) 式得到的新估計值；第四步：利用的最小化求得；第五步：令，重復(fù)計算第二步到第四步到估計值收斂為止。 Beta分布混合模型這一節(jié)我們來研究關(guān)于值的模型(32). 由第二章值的性質(zhì)，我們可以考慮采用Beta分布來擬合模型，那么關(guān)于值的模型(32)轉(zhuǎn)化為 (312) 其中是參數(shù)為的Beta分布的密度函數(shù)，其具體表示如下： 特別情況下，當時，模型(312)就轉(zhuǎn)化為 (313) 其中。再來看模型(312)，我們令表示為Beta分布的分布函數(shù)，則有與前面所描述的正態(tài)混合模型類似，同樣可以采用最小二乘估計。設(shè)為檢驗水平，記,則有令，代入上式中，經(jīng)過計算得到記則若參數(shù)已知，利用點的最小二乘估計方法，可以求得的估計值同式(37)。和上節(jié)相同，我們?nèi)匀徊捎镁毓烙嫹椒ㄇ蟮脜?shù)的初值。由樣本的前三階矩可以得到下列方程組 (314) 解這個方程組，得到的初始矩估計，記為。我們來研究參數(shù)的極大似然估計方法。由模型(312)，其對數(shù)似然函數(shù)為，上式中的. 關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)為 這里表示Digmma函數(shù)，即，為Gamma函數(shù)。從而有 其中同理，有令，則有方程組 (315)若已知，則可以由方程組(315)求的參數(shù)的估計值。與上文相同，我們利用基于值的最小二乘擬合來研究參數(shù)的估計方法。定義并記。與上文一致，記, 且。經(jīng)過計算可得從而有 且有,則有 即 (316) 令，記 (317) 容易知道，若參數(shù)已知，當，(316)式的左邊可以由來估計，而右邊中括號的部分可由來估計。于是我們可以通過最小二乘估計，得到的最小二乘估計式同式(37)。，我們可以得到模型(312)的的算法如下：第一步：采用矩估計方法，由方程組(314)得到參數(shù)的估計，即參數(shù)的初值，記為；第二步：令，代入到(317)式中計算點列，；第三步：對于點列，由(37)式得到的最小二乘估計值；第四步：由，解方程組(315)，得到參數(shù)的新估計值，記為；第五步：令，重復(fù)計算第二步到第四步直至估計值收斂為止。考慮到后驗概率，我們有如下EM算法：第一步：采用矩估計方法，由方程組(314)得到參數(shù)的估計，即參數(shù)的初值，記為；第二步（E步）：計算 (318) 且有第三步（M步）：解方程組(315) ,得到的新估計值，從而由(318) 式得到的新估計值第四步：重復(fù)第一步到第三步致參數(shù)值收斂。 非參數(shù)混合模型的估計在第二節(jié)和第三節(jié)中，我們介紹了參數(shù)混合模型，并分別研究了兩種混合模型下的估計方法。設(shè)統(tǒng)計量在零假設(shè)和備擇假設(shè)下下的密度函數(shù)分別為為和. 本節(jié)將這個模型推廣到非參數(shù)的情形 (319) 或等價考慮其值密度函數(shù) (320) 其中和分別表示值在零假設(shè)和備擇假設(shè)下的密度函數(shù)?？梢宰C明在這個沒有條件限制的混合模型中，參數(shù)或是不可辨別的。事實上，如果存在，滿足對任意的，有上式可化為當時，若，取由上式可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)與參數(shù)顯然是不同的，所以說模型(319)中的參數(shù)是無法識別的。同理可證模型(320)中的參數(shù)也是不可辨別的。由此可以看出，在研究模型(319)時，為了使參數(shù)是可辨別的，需要加以某些限制條件。本節(jié)就對統(tǒng)計量的觀測值和值的分布情況加以限制進行研究。 最小二乘估計在研究非參數(shù)混合模型時，我們?nèi)匀豢紤]隨機的檢驗。與Beta分布混合模型(312)作對比，我們不難發(fā)現(xiàn)，模型(320)為模型(312)的非參數(shù)推廣形式。因此，我們可以將Beta分布混合模型(312)的方法推廣到非參數(shù)模型(320)上來。類似于第二節(jié)那樣，定義并記。令表示服從01分布的隨機變量，表示零假設(shè)成立，表示零假設(shè)不成立。記。經(jīng)過計算得 從而有 并且知道。于是有 即有 (321)令，記 (322) 若函數(shù)是已知的，當時，式(321)的左邊可以由來估計，而右邊中括號里面的部分可以由來估計。于是對點列作最小