【文章內容簡介】 代入原微分方程，有 比較對應項的系數(shù)，有 所以，原微分方程有一個特解這樣，原微分方程的通解為167。 常系數(shù)齊次線性微分方程組一階常系數(shù)齊次線性微分方程組及其矩陣表示前面討論的是由一個微分方程去求解一個未知函數(shù)。本節(jié)介紹由幾個微分方程聯(lián)立起來共同求解幾個具有同一個自變量的未知函數(shù)的問題。聯(lián)立的微分方程稱為微分方程組。在微分方程組內所含的未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程組的階數(shù)。其一般形式為從理論上說，通過變量變換，可以把高階微分方程組轉化為一階微分方程組，將一階導數(shù)解出來，則得到一階微分方程組的一般形式：為了書寫簡單起見，引入向量記號：，則上述微分方程可以寫成特別地，如果上式中的函數(shù)都是一次函數(shù)，且不包含自變量，則稱該微分方程組為常系數(shù)線性微分方程組。個未知函數(shù)的一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的標準形式如下：其中，都是的未知函數(shù)。為了書寫和求解的方便，利用線性代數(shù)的知識，引入一階常系數(shù)線性微分方程組的矩陣表示。令； ； 稱為未知函數(shù)向量，簡稱為函數(shù)向量；稱為導數(shù)向量；稱為系數(shù)矩陣。據(jù)此，一階常系數(shù)線性微分方程組可以用矩陣表示為例： 寫出下列微分方程組的矩陣表示。解：令， ， 則于是，原微分方程組的矩陣形式是即例： 求微分方程組的矩陣形式。解：令， ， 則 則原微分方程組的矩陣形式是請注意，該微分方程組的系數(shù)矩陣是一個對角矩陣。根據(jù)導數(shù)向量的定義和導數(shù)的運算性質，不難證明導數(shù)向量的下列運算性質：事實上，令則因此，該矩陣等式等價于下列線性方程組分別在這個方程的兩邊對求導數(shù)，有于是，根據(jù)導數(shù)向量的定義和矩陣乘法的定義，等式成立。高階常系數(shù)齊次線性微分方程（組）與一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的關系常系數(shù)齊次線性微分方程組所含的最高階數(shù)如果大于一，則稱它是高階常系數(shù)齊次線性微分方程組。例如，微分方程組就是一個三階常系數(shù)齊次線性微分方程組。高階常系數(shù)齊次線性微分方程組可以通過引入新的未知函數(shù)將其轉化為一階常系數(shù)齊次線性微分方程組?，F(xiàn)在以上面的例子說明轉化方法。在上述方程中，令， ， 于是， 代入方程，有這是一個一階常系數(shù)齊次線性微分方程。它的標準形式是特別的，階常系數(shù)齊次線性微分方程可以轉化為元一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。事實上，令，， ，這里令是為了記號統(tǒng)一。將這些定義式代入原方程，就得到一個元一階常系數(shù)齊次線性微分方程組：該微分方程組的系數(shù)矩陣是這是在線性代數(shù)中著重討論的一個矩陣。反之，也可以在常系數(shù)齊次線性微分方程組中消去其它未知函數(shù)及其導數(shù)（這通常要提高微分方程的階數(shù)），使常系數(shù)齊次線性微分方程組轉化為高階常系數(shù)齊次線性微分方程。事實上，從上例中的微分方程組的第二個方程中，解出的導數(shù)，有于是，再對它的第一個方程兩邊求導數(shù)，有將和的表達式代入上式并整理，有這是一個關于的階常系數(shù)齊次線性微分方程。求出的通解后，根據(jù)的表達式可以求出通解。高階常系數(shù)齊次線性微分方程組和一階常系數(shù)齊次線性微分方程組可以互相轉化給討論常系數(shù)齊次線性微分方程（組）帶來很大的好處，只需要討論一種形式的微分方程（組）的解法，就可以得到另一種形式的微分方程（組）的解法。通常是將高階常系數(shù)齊次線性微分方程（組）轉化為一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。這主要是因為一階常系數(shù)齊次線性微分方程組可以利用線性代數(shù)的知識進行討論。有關的線性代數(shù)預備知識在給出一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的求解方法之前，先簡單概述一下所需的線性代數(shù)的知識。所介紹的有關定理的證明請參考有關線性代數(shù)教科書。定義 設是階方陣。若存在常數(shù)和非零向量，使得則稱是方陣的特征根或特征值，稱非零向量是對應于的，方陣的特征向量。定理 階方陣的特征根是次代數(shù)方程的根。代數(shù)方程（）稱為階方陣的特征方程。它是一個關于的次多項式方程。在復數(shù)范圍內，計算重根，它共有個根。因此，階方陣有個特征根。定理 設是方陣的特征根，則對應于的特征向量是齊次線性方程組的解。定義 設，都是階方陣。若存在可逆方陣，使得則稱，相似。從求解一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的角度來說，最關心的是方陣能否與一個對角方陣相似。下面介紹的幾個定理描述了特征根、特征向量與方陣和對角陣相似的關系；方陣與對角陣相似的條件。定理 若方陣與對角方陣相似，則的主對角線上的元素是方陣的特征根，可逆方陣的列向量是與相應特征根對應的，的特征向量。定理 階方陣的不同特征根所對應的特征向量是線性無關的。下面的定理給出了方陣能與對角方陣相似的條件。定理 階方陣與對角方陣相似的必要充分條件是有個線性無關的特征向量。推論 若階方陣有個單特征根，則方陣一定與對角方陣相似。一階常系數(shù)線性微分方程組的求解首先解前面給出的最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。注意，最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的系數(shù)矩陣是一個對角矩陣。因此，該微分方程組中的每個方程都只含有一個未知函數(shù)。對每個方程單獨求解就可以得到整個方程組的解。注意到它的每個方程都是可分離變量方程容易求得該方程的通解是所以，原微分方程組的通解為 注意，如果有某些是復數(shù)，可以利用歐拉公式將這些解轉化為只含實數(shù)和實變量的函數(shù)。對于一般的一階常系數(shù)齊次線性微分方程組，可以通過變量代換，將其轉化為最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的形式，從而求出其解。設有一階常系數(shù)齊次線性微分方程組設它的系數(shù)矩陣能與對角方陣相似。于是，存在可逆方陣，使得令。有。將其代入原微分方程組，得到這是一個關于向量的最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。設該方程組的通解是 記則一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解是將的通解表達式代入上式，得到原方程組的通解是 其中，，是任意常數(shù)；，，是原微分方程組的特征根；是對應于的特征向量。167。 差分及差分方程時間序列假設有時間的函數(shù)，在一系列離散時刻點上，觀察到它的相應函數(shù)值，則稱這些觀察值為一個時間序列。不失一般，我們對時間序列按觀察時間的先后順序重新編號，可以將時間序列簡記為。因此，時間序列也可以看成是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)。若時間序列除了受的影響外，還受到某個隨機因素的影響，則稱該時間序列為隨機型時間序列；否則，就稱為確定型時間序列。習慣上，隨機型時間序列簡稱為時間序列；而確定型時間序列簡稱為序列、數(shù)列等。差分的概念定義 設有時間序列，稱為該時間序列的一階差分。定理 設有時間序列,，為常數(shù)，則1)2) ；3) ；4) 。注意到時間序列的一階差分仍然是時間序列，它的差分仍然是一個時間序列?？梢詫@個差分再進行差分運算，即有稱這個差分為原時間序列的二階差分，記為。類似的，可以定義時間序列的三階差分、四階差分等等：，二階以上的差分都稱為高階差分。高階差分可以用原時間序列表示。例如，