【文章內(nèi)容簡介】 下的速度為，簡記為,如圖22所示。圖22 并聯(lián)機床運動速度分析 Velocity of the PMT由桿長公式[63]可得 (21)其中將式(21)的兩邊分別對時間求導(dǎo)，得到驅(qū)動桿速度與廣義速度的關(guān)系 (22)其中為廣義速度變換矩陣 利用矢量法[64]可得驅(qū)動桿速度與笛卡爾坐標系下速度的關(guān)系 (23)其中 ，表示笛卡爾坐標系下的速度變換矩陣。 綜合式(22)和式(23)，得到 即有 (24)其中 由于速度變換矩陣的前三列表示的是線速度，比較笛卡爾速度變換矩陣和廣義速度變換矩陣，可知兩者的前三列都一樣，表明笛卡爾坐標系下的線速度與廣義線速度具有相同的物理意義，即， (25)速度變換矩陣的后三列表示的是角速度。和后三列的不同說明同一角速度，在笛卡爾坐標系下描述的參數(shù)與在廣義坐標系下描述的參數(shù)意義不同，并非一一對應(yīng)，它們之間存在著一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系。將廣義角速度向笛卡爾坐標系中投影，可以得到它們的變換關(guān)系 (26)由式(25)和式(26)便可得到并聯(lián)機床同一運動在兩個坐標系下的關(guān)系 (27)其中 由式(27)可得： (28)這樣可以看到，只要給出一定的，就可以得到與之相對應(yīng)的，和。 笛卡爾坐標系下加速度與廣義加速度的關(guān)系式(25)表明機床在笛卡爾坐標系下的線速度與廣義線速度具有相同的物理意義，所以，將它們各自對時間求導(dǎo)得到的移動加速度也具有相同的物理意義，即， (29)廣義坐標下的角加速度和笛卡爾坐標系下的角加速度可以由式(26)對時間求導(dǎo)得到，它們之間的關(guān)系式如式(210)所示。 (210)反過來，如果給出的是笛卡爾坐標系下的角加速度，則可以求出相對應(yīng)的廣義加速度，和，如式(211)所示。 (211) 本章小結(jié)本章介紹了6PUSUPS新型并聯(lián)機床，從速度和角速度兩方面出發(fā)，討論了機床同一運動在笛卡爾坐標系下和廣義坐標系下之間的變換關(guān)系，為并聯(lián)機床的動力學(xué)建模打下了基礎(chǔ)。第3章 并聯(lián)機床動力學(xué)建模第3章 并聯(lián)機床動力學(xué)建模 概述并聯(lián)機床的動力學(xué)建模問題在并聯(lián)機床性能分析和實際運動控制中占有非常重要的地位，并聯(lián)機床的動力學(xué)模型描述了并聯(lián)機床的運動和各個關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，是求解并聯(lián)機床正動力學(xué)問題和逆動力學(xué)問題的基礎(chǔ)，并聯(lián)機床正動力學(xué)問題是在已知機構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)驅(qū)動力的情況下求解并聯(lián)機床的運動，而逆動力學(xué)問題是在已知并聯(lián)機床末端執(zhí)行器運動的情況下求解各個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力。正動力學(xué)問題的求解是對并聯(lián)機床的系統(tǒng)仿真實驗有重要的意義，而逆動力學(xué)問題的求解則是并聯(lián)機床整機動態(tài)設(shè)計、伺服電機選配動力學(xué)參數(shù)辨識和控制器設(shè)計的理論基礎(chǔ)。動力學(xué)模型的建立是并聯(lián)機構(gòu)研究的一個重要方面，是并聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)模擬、動態(tài)分析、動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計及控制的基礎(chǔ)。 基于不同的力學(xué)原理，可以采用不同的方法建立動力學(xué)模型，例如NewtonEuler法、Lagrange法、虛功原理法和Kane法等，用到較多的是NewtonEuler法和Lagrange法。NewtonEuler法是一種基于牛頓運動定律，通過引入慣性力的概念，導(dǎo)出非自由質(zhì)系剛體動力學(xué)模型的方法。用NewtonEuler法建立動力學(xué)模型，很容易求解各構(gòu)件的支反力，但求解的構(gòu)件多，計算復(fù)雜，效率低；Lagrange法建立在系統(tǒng)的動能和勢能的基礎(chǔ)上，得到的動力學(xué)方程形式比較簡單整齊，并且建模過程中不需要分析機構(gòu)約束內(nèi)力，在并聯(lián)機床剛體動力學(xué)建模領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用[65]。本章利用Lagrange法對6PUSUPS六自由度并聯(lián)機床進行動力學(xué)分析。 動力學(xué)建模 Lagrange法建模使用Lagrange法建立6PUSUPS并聯(lián)機床的動力學(xué)模型。非保守系統(tǒng)的Lagrange方程可以寫成 (31)式中 表示Lagrange函數(shù)，為系統(tǒng)動能，為系統(tǒng)勢能——廣義坐標，在這里——廣義坐標的一階導(dǎo)數(shù)，即——對應(yīng)于廣義坐標的廣義力劃分整個機床系統(tǒng)為三個獨立計算的部分：動平臺、驅(qū)動分支和中間約束分支，其中驅(qū)動分支細分為滑塊和連桿；中間約束分支則細分成轉(zhuǎn)動桿和移動桿，分別求解各部分的動能、勢能和廣義力，建立整個機床的動力學(xué)方程。 動平臺的動力學(xué)計算 動平臺的動能計算 動平臺可近似看成是一個對稱的旋轉(zhuǎn)體。在動平臺質(zhì)心處建立質(zhì)心坐標系，并令動平臺的質(zhì)心與動坐標系的原點重合，的、軸與動坐標系的、軸分別平行，即與重合。動平臺質(zhì)心的移動速度和轉(zhuǎn)動速度分別為和其中 ，所以動平臺的動能表達式為(32)其中 ，為動平臺的質(zhì)量為動平臺相對于的慣量矩陣在第2章已經(jīng)推導(dǎo)出同一速度在笛卡爾坐標系下與廣義坐標系下的變換關(guān)系，即其中 將上述關(guān)系式代入式(33)可得到動平臺的動能表達式(33)其中 下面來求解。矩陣由、構(gòu)成，由于和已知，只需求出即可。根據(jù)求解慣量的公式， 慣性矩 ，且 慣性積由于機床動平臺質(zhì)心的速度是相對于定坐標系給出的，動平臺上任一點到原點的距離，也是相對于表示的，所以要求解的慣量矩陣也應(yīng)該是相對于在的原點處建立的姿態(tài)始終與定坐標系相同的坐標系來說的。在質(zhì)心處建立坐標系，在動平臺運動過程中姿態(tài)保持不變，始終與定坐標系相同。于是，所求解的即為每一瞬時動平臺相對于坐標系的慣量矩陣，具體求解步驟如下。首先，求解動平臺主慣性矩。由于是相對于而言的，可通過ADAMS軟件測得動平臺的主慣性矩為 (單位：kgmm2)第二步，進行轉(zhuǎn)軸變換。根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得所要求的慣量矩陣為： (34)由于與重合，姿態(tài)不變，始終與相同，所以，矩陣就是到的歐拉變換矩陣，即 這樣就可以得到動平臺的動能。把式(34)代入非保守系統(tǒng)的Lagrange方程左邊，有(35) (36)由上面兩式即得到與動平臺動能相關(guān)的廣義力 (37)同理，可得與動平臺動能相關(guān)的其他五個廣義坐標的廣義力 (38)綜合以上，即得到與動平臺動能相關(guān)的廣義力 (39) 動平臺的勢能計算 規(guī)定的xy平面為零勢能面；重力加速度的方向為豎直向下，即的z軸正方向。則動平臺的勢能可寫成： (310)其中為動平臺的勢能，為動平臺的質(zhì)量，為動平臺的質(zhì)心在z方向上的坐標。式(310)中，參數(shù)和都是常數(shù)，其中動平臺的材料為鋁， kg；是變量，因為動平臺質(zhì)心與動坐標系原點重合，所以有，將其代入式(310)得到 (311)將式(311)代入非保守系統(tǒng)的Lagrange方程則得到(312) ， (313)由式(312)和式(313)可得與勢能函數(shù)相關(guān)的廣義力，(314)綜合以上，得到與動平臺勢能相關(guān)的廣義力 (315) 動平臺動力學(xué)分析綜合 將式(39)和式(315)綜合起來即得到動平臺上的廣義力 (316) 驅(qū)動分支的動力學(xué)計算 滑塊的動力學(xué)計算(1)滑塊的動能計算 滑塊僅僅沿著定坐標系的z軸方向做平移，所以可以推出六個滑塊的移動速度為其動能為 (317)其中 ，為滑塊的質(zhì)量。將六個滑塊的速度用廣義速度來表示。(318)其中所以有 (319)其中所以滑塊的動能可以表示為(320)其中，可以看出。將上式代入到非保守系統(tǒng)的Lagrange方程有 (321)由上面兩式即得到與滑塊動能相關(guān)的廣義力同理，可得與滑塊相關(guān)的其他五個廣義坐標的廣義力 (322)綜合以上，即得到與滑塊動能相關(guān)的廣義力 (323)(2)滑塊的勢能計算 根據(jù)勢能公式，可得到滑塊的勢能表達式為 (324)式(324)中，是滑塊質(zhì)心在定坐標系下z方向的坐標。可推出勢能函數(shù)只與參數(shù)相關(guān)。(325) (326)由式(325)和式(326)可得與勢能函數(shù)相關(guān)的廣義力(327)由此得到六個滑塊與勢能函數(shù)相關(guān)的廣義力進而可推得 (328)(3)滑塊動力學(xué)分析綜合 通過對滑塊動能和勢能的求解，得到了滑塊上的廣義力 (329) 連桿的動力學(xué)計算(1)連桿的動能計算 連桿的動能可以表達為 (330)下面求解連桿速度 圖31 機床運動速度分析 Velocity analysis of the PMT如圖31所示，在定坐標系中，為動平臺中心點的線速度；為動平臺的角速度；為球鉸相對于的矢徑；為球鉸的速度；為連桿的單位方向矢量，其中i=1,2,3,4,5,6球鉸點的速度可以表示為 (331)其中也可以表示為 (332)其中可以近似認為，則并且用叉乘公式(332)可得： (333)將(332)代入上式，得 (334)其中，表示矢量的反對稱算子矩陣，若，則則連桿質(zhì)心處的線速度為(335)下面求每根連桿是繞著虎克鉸中心點轉(zhuǎn)動，但在每一瞬時，它的轉(zhuǎn)軸方向都不相同。在虎克鉸中心建立坐標系,它以虎克鉸中心為原點，姿態(tài)和定坐標系相同，的姿態(tài)在連桿的運動過程中保持不變，始終與定坐標系相同?？芍B桿的慣量矩陣應(yīng)該是相對于而言的，即慣量矩陣。因為在連桿的運動過程中其姿態(tài)保持不變，而連桿卻在做空間運動，所以每一瞬時，連桿的質(zhì)量相對于分布不同，在每一瞬時也不同。我們通過坐標變換來求解。如圖32所示，求解慣量矩陣分下列幾步：圖32 各個坐標系的示意圖 The diagram of each coordinate system 首先，設(shè)LC為連桿的質(zhì)心，連桿的主慣性矩可通過ADAMS軟件測得為： (單位：kgmm2)第二步，利用平移定理，將質(zhì)心LC處的主慣性矩轉(zhuǎn)化到虎克鉸中心Ci的坐標系中 (336)其中相當于把連桿的質(zhì)量集中到質(zhì)心處，對坐標系的慣量矩陣。 連桿質(zhì)心到坐標系的原點的距離在定坐標系A(chǔ)下為 (337)其中連桿質(zhì)心坐標可表示為 (338)由于坐標系相對于的空間方位僅在的z軸方向上有距離的變化所以有，代入慣量矩陣，有所以有 (339)第三步，利用轉(zhuǎn)軸公式，將變換到，即 (340)下面求解假設(shè)相對于具有如下形式其中，它是軸沿桿長方向的單位矢量。兩個坐標系之間的姿態(tài)可以用XYZ歐拉角表示成令，比較它們的第三列，即可確定出和，只需任意給定(計算中取)便可得到矩陣.可看到，令所以得到所以有 (341)所以有(342)令矩陣是僅與相關(guān)的對稱矩陣，于是得到 (343)把式(343)代入非保守系統(tǒng)的Lagrange方程，有 (344) (345)由式(344)、式(345)得到與連桿速度相關(guān)的廣義力 (346)同理，可得與連桿速度相關(guān)的其他五個廣義坐標的廣義力 (347)這樣即得到與六根連桿速度相關(guān)的廣義力 (348)(2)連桿的勢能計算 連桿的勢能可以表示為 (349)其中為連桿質(zhì)心在下的z方向坐標，可知僅與相關(guān)，即也僅與相關(guān)。將勢能函數(shù)代入到非保守系統(tǒng)的Lagrange方程可推得 (350)(351)由式(350)和式(351)可得與勢能函數(shù)相關(guān)的廣義力 (352)由此得到六根連桿與勢能函數(shù)相關(guān)的廣義力(353)(3)連桿的動力學(xué)分析綜合 通過對連桿動能和勢能的求解，得到了連桿上的廣義力 (354) 驅(qū)動分支動力學(xué)分析綜合 驅(qū)動分支由滑塊和連桿構(gòu)成，所以綜合式(329)和式(354)可得到驅(qū)動分支上的廣義力 (355) 中間約束分支的動力學(xué)計算 中間約束分支的動力學(xué)基礎(chǔ) 用DH法建立中間約束分支(UPS)的連桿坐標系如圖33所示，基坐標系與定坐標系平行，坐標系分別對應(yīng)各個運動副構(gòu)件，其中虎克鉸可看作為兩個轉(zhuǎn)動副，球鉸可看作為三個轉(zhuǎn)動副?；鴺讼迪鄬τ跈C器人的定系的位移為，ZYX歐拉角為，動系相對于中間分支坐標系的位移為，ZYX歐拉角為。圖33 中間分支坐標系示意圖 The coordinate system of midlimb根據(jù)DH法建立坐標系后可得到連桿變換矩陣的一般表達式 (356)中間約束分支相應(yīng)的DH參數(shù)如表31所示，其中變量為。表31 6PUSUPS中間分支的DH參數(shù)Table 3