【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 下的速度為，簡(jiǎn)記為,如圖22所示。圖22 并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度分析 Velocity of the PMT由桿長(zhǎng)公式[63]可得 (21)其中將式(21)的兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到驅(qū)動(dòng)桿速度與廣義速度的關(guān)系 (22)其中為廣義速度變換矩陣 利用矢量法[64]可得驅(qū)動(dòng)桿速度與笛卡爾坐標(biāo)系下速度的關(guān)系 (23)其中 ，表示笛卡爾坐標(biāo)系下的速度變換矩陣。 綜合式(22)和式(23)，得到 即有 (24)其中 由于速度變換矩陣的前三列表示的是線速度，比較笛卡爾速度變換矩陣和廣義速度變換矩陣，可知兩者的前三列都一樣，表明笛卡爾坐標(biāo)系下的線速度與廣義線速度具有相同的物理意義，即， (25)速度變換矩陣的后三列表示的是角速度。和后三列的不同說明同一角速度，在笛卡爾坐標(biāo)系下描述的參數(shù)與在廣義坐標(biāo)系下描述的參數(shù)意義不同，并非一一對(duì)應(yīng)，它們之間存在著一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系。將廣義角速度向笛卡爾坐標(biāo)系中投影，可以得到它們的變換關(guān)系 (26)由式(25)和式(26)便可得到并聯(lián)機(jī)床同一運(yùn)動(dòng)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的關(guān)系 (27)其中 由式(27)可得： (28)這樣可以看到，只要給出一定的，就可以得到與之相對(duì)應(yīng)的，和。 笛卡爾坐標(biāo)系下加速度與廣義加速度的關(guān)系式(25)表明機(jī)床在笛卡爾坐標(biāo)系下的線速度與廣義線速度具有相同的物理意義，所以，將它們各自對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到的移動(dòng)加速度也具有相同的物理意義，即， (29)廣義坐標(biāo)下的角加速度和笛卡爾坐標(biāo)系下的角加速度可以由式(26)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到，它們之間的關(guān)系式如式(210)所示。 (210)反過來，如果給出的是笛卡爾坐標(biāo)系下的角加速度，則可以求出相對(duì)應(yīng)的廣義加速度，和，如式(211)所示。 (211) 本章小結(jié)本章介紹了6PUSUPS新型并聯(lián)機(jī)床，從速度和角速度兩方面出發(fā)，討論了機(jī)床同一運(yùn)動(dòng)在笛卡爾坐標(biāo)系下和廣義坐標(biāo)系下之間的變換關(guān)系，為并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)建模打下了基礎(chǔ)。第3章 并聯(lián)機(jī)床動(dòng)力學(xué)建模第3章 并聯(lián)機(jī)床動(dòng)力學(xué)建模 概述并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)建模問題在并聯(lián)機(jī)床性能分析和實(shí)際運(yùn)動(dòng)控制中占有非常重要的地位，并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)模型描述了并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)和各個(gè)關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，是求解并聯(lián)機(jī)床正動(dòng)力學(xué)問題和逆動(dòng)力學(xué)問題的基礎(chǔ)，并聯(lián)機(jī)床正動(dòng)力學(xué)問題是在已知機(jī)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的情況下求解并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)，而逆動(dòng)力學(xué)問題是在已知并聯(lián)機(jī)床末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)的情況下求解各個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力。正動(dòng)力學(xué)問題的求解是對(duì)并聯(lián)機(jī)床的系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)有重要的意義，而逆動(dòng)力學(xué)問題的求解則是并聯(lián)機(jī)床整機(jī)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)、伺服電機(jī)選配動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)和控制器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)模型的建立是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的一個(gè)重要方面，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)模擬、動(dòng)態(tài)分析、動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)及控制的基礎(chǔ)。 基于不同的力學(xué)原理，可以采用不同的方法建立動(dòng)力學(xué)模型，例如NewtonEuler法、Lagrange法、虛功原理法和Kane法等，用到較多的是NewtonEuler法和Lagrange法。NewtonEuler法是一種基于牛頓運(yùn)動(dòng)定律，通過引入慣性力的概念，導(dǎo)出非自由質(zhì)系剛體動(dòng)力學(xué)模型的方法。用NewtonEuler法建立動(dòng)力學(xué)模型，很容易求解各構(gòu)件的支反力，但求解的構(gòu)件多，計(jì)算復(fù)雜，效率低；Lagrange法建立在系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的基礎(chǔ)上，得到的動(dòng)力學(xué)方程形式比較簡(jiǎn)單整齊，并且建模過程中不需要分析機(jī)構(gòu)約束內(nèi)力，在并聯(lián)機(jī)床剛體動(dòng)力學(xué)建模領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用[65]。本章利用Lagrange法對(duì)6PUSUPS六自由度并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。 動(dòng)力學(xué)建模 Lagrange法建模使用Lagrange法建立6PUSUPS并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)模型。非保守系統(tǒng)的Lagrange方程可以寫成 (31)式中 表示Lagrange函數(shù)，為系統(tǒng)動(dòng)能，為系統(tǒng)勢(shì)能——廣義坐標(biāo)，在這里——廣義坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)，即——對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力劃分整個(gè)機(jī)床系統(tǒng)為三個(gè)獨(dú)立計(jì)算的部分：動(dòng)平臺(tái)、驅(qū)動(dòng)分支和中間約束分支，其中驅(qū)動(dòng)分支細(xì)分為滑塊和連桿；中間約束分支則細(xì)分成轉(zhuǎn)動(dòng)桿和移動(dòng)桿，分別求解各部分的動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力，建立整個(gè)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)方程。 動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算 動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能計(jì)算 動(dòng)平臺(tái)可近似看成是一個(gè)對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)體。在動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處建立質(zhì)心坐標(biāo)系，并令動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心與動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，的、軸與動(dòng)坐標(biāo)系的、軸分別平行，即與重合。動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心的移動(dòng)速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度分別為和其中 ，所以動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能表達(dá)式為(32)其中 ，為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量為動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于的慣量矩陣在第2章已經(jīng)推導(dǎo)出同一速度在笛卡爾坐標(biāo)系下與廣義坐標(biāo)系下的變換關(guān)系，即其中 將上述關(guān)系式代入式(33)可得到動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能表達(dá)式(33)其中 下面來求解。矩陣由、構(gòu)成，由于和已知，只需求出即可。根據(jù)求解慣量的公式， 慣性矩 ，且 慣性積由于機(jī)床動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心的速度是相對(duì)于定坐標(biāo)系給出的，動(dòng)平臺(tái)上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也是相對(duì)于表示的，所以要求解的慣量矩陣也應(yīng)該是相對(duì)于在的原點(diǎn)處建立的姿態(tài)始終與定坐標(biāo)系相同的坐標(biāo)系來說的。在質(zhì)心處建立坐標(biāo)系，在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中姿態(tài)保持不變，始終與定坐標(biāo)系相同。于是，所求解的即為每一瞬時(shí)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于坐標(biāo)系的慣量矩陣，具體求解步驟如下。首先，求解動(dòng)平臺(tái)主慣性矩。由于是相對(duì)于而言的，可通過ADAMS軟件測(cè)得動(dòng)平臺(tái)的主慣性矩為 (單位：kgmm2)第二步，進(jìn)行轉(zhuǎn)軸變換。根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得所要求的慣量矩陣為： (34)由于與重合，姿態(tài)不變，始終與相同，所以，矩陣就是到的歐拉變換矩陣，即 這樣就可以得到動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能。把式(34)代入非保守系統(tǒng)的Lagrange方程左邊，有(35) (36)由上面兩式即得到與動(dòng)平臺(tái)動(dòng)能相關(guān)的廣義力 (37)同理，可得與動(dòng)平臺(tái)動(dòng)能相關(guān)的其他五個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力 (38)綜合以上，即得到與動(dòng)平臺(tái)動(dòng)能相關(guān)的廣義力 (39) 動(dòng)平臺(tái)的勢(shì)能計(jì)算 規(guī)定的xy平面為零勢(shì)能面；重力加速度的方向?yàn)樨Q直向下，即的z軸正方向。則動(dòng)平臺(tái)的勢(shì)能可寫成： (310)其中為動(dòng)平臺(tái)的勢(shì)能，為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量，為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心在z方向上的坐標(biāo)。式(310)中，參數(shù)和都是常數(shù)，其中動(dòng)平臺(tái)的材料為鋁， kg；是變量，因?yàn)閯?dòng)平臺(tái)質(zhì)心與動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，所以有，將其代入式(310)得到 (311)將式(311)代入非保守系統(tǒng)的Lagrange方程則得到(312) ， (313)由式(312)和式(313)可得與勢(shì)能函數(shù)相關(guān)的廣義力，(314)綜合以上，得到與動(dòng)平臺(tái)勢(shì)能相關(guān)的廣義力 (315) 動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)分析綜合 將式(39)和式(315)綜合起來即得到動(dòng)平臺(tái)上的廣義力 (316) 驅(qū)動(dòng)分支的動(dòng)力學(xué)計(jì)算 滑塊的動(dòng)力學(xué)計(jì)算(1)滑塊的動(dòng)能計(jì)算 滑塊僅僅沿著定坐標(biāo)系的z軸方向做平移，所以可以推出六個(gè)滑塊的移動(dòng)速度為其動(dòng)能為 (317)其中 ，為滑塊的質(zhì)量。將六個(gè)滑塊的速度用廣義速度來表示。(318)其中所以有 (319)其中所以滑塊的動(dòng)能可以表示為(320)其中，可以看出。將上式代入到非保守系統(tǒng)的Lagrange方程有 (321)由上面兩式即得到與滑塊動(dòng)能相關(guān)的廣義力同理，可得與滑塊相關(guān)的其他五個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力 (322)綜合以上，即得到與滑塊動(dòng)能相關(guān)的廣義力 (323)(2)滑塊的勢(shì)能計(jì)算 根據(jù)勢(shì)能公式，可得到滑塊的勢(shì)能表達(dá)式為 (324)式(324)中，是滑塊質(zhì)心在定坐標(biāo)系下z方向的坐標(biāo)?？赏瞥鰟?shì)能函數(shù)只與參數(shù)相關(guān)。(325) (326)由式(325)和式(326)可得與勢(shì)能函數(shù)相關(guān)的廣義力(327)由此得到六個(gè)滑塊與勢(shì)能函數(shù)相關(guān)的廣義力進(jìn)而可推得 (328)(3)滑塊動(dòng)力學(xué)分析綜合 通過對(duì)滑塊動(dòng)能和勢(shì)能的求解，得到了滑塊上的廣義力 (329) 連桿的動(dòng)力學(xué)計(jì)算(1)連桿的動(dòng)能計(jì)算 連桿的動(dòng)能可以表達(dá)為 (330)下面求解連桿速度 圖31 機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度分析 Velocity analysis of the PMT如圖31所示，在定坐標(biāo)系中，為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的線速度；為動(dòng)平臺(tái)的角速度；為球鉸相對(duì)于的矢徑；為球鉸的速度；為連桿的單位方向矢量，其中i=1,2,3,4,5,6球鉸點(diǎn)的速度可以表示為 (331)其中也可以表示為 (332)其中可以近似認(rèn)為，則并且用叉乘公式(332)可得： (333)將(332)代入上式，得 (334)其中，表示矢量的反對(duì)稱算子矩陣，若，則則連桿質(zhì)心處的線速度為(335)下面求每根連桿是繞著虎克鉸中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，但在每一瞬時(shí)，它的轉(zhuǎn)軸方向都不相同。在虎克鉸中心建立坐標(biāo)系,它以虎克鉸中心為原點(diǎn)，姿態(tài)和定坐標(biāo)系相同，的姿態(tài)在連桿的運(yùn)動(dòng)過程中保持不變，始終與定坐標(biāo)系相同?？芍B桿的慣量矩陣應(yīng)該是相對(duì)于而言的，即慣量矩陣。因?yàn)樵谶B桿的運(yùn)動(dòng)過程中其姿態(tài)保持不變，而連桿卻在做空間運(yùn)動(dòng)，所以每一瞬時(shí)，連桿的質(zhì)量相對(duì)于分布不同，在每一瞬時(shí)也不同。我們通過坐標(biāo)變換來求解。如圖32所示，求解慣量矩陣分下列幾步：圖32 各個(gè)坐標(biāo)系的示意圖 The diagram of each coordinate system 首先，設(shè)LC為連桿的質(zhì)心，連桿的主慣性矩可通過ADAMS軟件測(cè)得為： (單位：kgmm2)第二步，利用平移定理，將質(zhì)心LC處的主慣性矩轉(zhuǎn)化到虎克鉸中心Ci的坐標(biāo)系中 (336)其中相當(dāng)于把連桿的質(zhì)量集中到質(zhì)心處，對(duì)坐標(biāo)系的慣量矩陣。 連桿質(zhì)心到坐標(biāo)系的原點(diǎn)的距離在定坐標(biāo)系A(chǔ)下為 (337)其中連桿質(zhì)心坐標(biāo)可表示為 (338)由于坐標(biāo)系相對(duì)于的空間方位僅在的z軸方向上有距離的變化所以有，代入慣量矩陣，有所以有 (339)第三步，利用轉(zhuǎn)軸公式，將變換到，即 (340)下面求解假設(shè)相對(duì)于具有如下形式其中，它是軸沿桿長(zhǎng)方向的單位矢量。兩個(gè)坐標(biāo)系之間的姿態(tài)可以用XYZ歐拉角表示成令，比較它們的第三列，即可確定出和，只需任意給定(計(jì)算中取)便可得到矩陣.可看到，令所以得到所以有 (341)所以有(342)令矩陣是僅與相關(guān)的對(duì)稱矩陣，于是得到 (343)把式(343)代入非保守系統(tǒng)的Lagrange方程，有 (344) (345)由式(344)、式(345)得到與連桿速度相關(guān)的廣義力 (346)同理，可得與連桿速度相關(guān)的其他五個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力 (347)這樣即得到與六根連桿速度相關(guān)的廣義力 (348)(2)連桿的勢(shì)能計(jì)算 連桿的勢(shì)能可以表示為 (349)其中為連桿質(zhì)心在下的z方向坐標(biāo)，可知僅與相關(guān)，即也僅與相關(guān)。將勢(shì)能函數(shù)代入到非保守系統(tǒng)的Lagrange方程可推得 (350)(351)由式(350)和式(351)可得與勢(shì)能函數(shù)相關(guān)的廣義力 (352)由此得到六根連桿與勢(shì)能函數(shù)相關(guān)的廣義力(353)(3)連桿的動(dòng)力學(xué)分析綜合 通過對(duì)連桿動(dòng)能和勢(shì)能的求解，得到了連桿上的廣義力 (354) 驅(qū)動(dòng)分支動(dòng)力學(xué)分析綜合 驅(qū)動(dòng)分支由滑塊和連桿構(gòu)成，所以綜合式(329)和式(354)可得到驅(qū)動(dòng)分支上的廣義力 (355) 中間約束分支的動(dòng)力學(xué)計(jì)算 中間約束分支的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 用DH法建立中間約束分支(UPS)的連桿坐標(biāo)系如圖33所示，基坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系平行，坐標(biāo)系分別對(duì)應(yīng)各個(gè)運(yùn)動(dòng)副構(gòu)件，其中虎克鉸可看作為兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，球鉸可看作為三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副?；鴺?biāo)系相對(duì)于機(jī)器人的定系的位移為，ZYX歐拉角為，動(dòng)系相對(duì)于中間分支坐標(biāo)系的位移為，ZYX歐拉角為。圖33 中間分支坐標(biāo)系示意圖 The coordinate system of midlimb根據(jù)DH法建立坐標(biāo)系后可得到連桿變換矩陣的一般表達(dá)式 (356)中間約束分支相應(yīng)的DH參數(shù)如表31所示，其中變量為。表31 6PUSUPS中間分支的DH參數(shù)Table 3