平面幾何的26個(gè)定理(編輯修改稿)
2025-07-16 22:03 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴ ∠N=∠M=∠P=60176。； 即△MNP是等邊三角形。 18．帕斯卡（Pascal）定理：如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，邊BC、EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，邊CD、FA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K。則H、G、K三點(diǎn)共線。證明：延長(zhǎng)AB、CD、EF，分別交直線CD、EF、AB于M、N、L三點(diǎn)，構(gòu)成△LMN。直線BC截LM、MN、NL于B、C、H三點(diǎn)，則…①直線DE截LM、MN、NL于G、D、E三點(diǎn)，則|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1…②直線AF截LM、MN、NL于A、K、F三點(diǎn)，則…③連BE，則LALB=LFLE，∴…④。同理…⑤，…⑥。將①②③④⑤⑥相乘，得。∵點(diǎn)H、G、K在△LMN的邊LN、LM、MN的延長(zhǎng)線上，∴H、G、K三點(diǎn)共線。19．蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行?！∽ⅲ涸谄矫嫔先谓o兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸。 另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。 （1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； ?。?）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； （3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線； 20．莫利定理（Morley39。s theorem），也稱為莫雷角三分線定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。 證法一： 在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。 不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR= ?。╯in3γ*sinβ）/sin(60176。γ)=[sinβ*sinγ(34sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγsinγ)]= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60176。+γ）. 同理,AQ=4sinβsinγsin(60176。+β) 在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60176。+β)2sin(60176。+γ)*sin（60176。+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 這是一個(gè)關(guān)于α，β，γ的對(duì)稱式，同理可得PQ^2 ，PR^2 有相同的對(duì)稱性，故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。 證法二： ∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ）， AF：AB=sinβ：sin（α+β） ， AB：AC=sin3γ：sin3β， ∴AE:AF=（ACsin（α+γ）/sinγ）：（ABsin（α+β）/sinβ）， 而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60176。+γ)sin(60176。γ) ）：（sinβ sin(60176。+β) sin(60176。β) ）， ∴AE：AF=sin(60176。+γ)：sin(60176。+β)， ∴在△AEF中，∠AEF=60176。+γ， 同理∠CED=60176。+α， ∴∠DEF=60176。， ∴△DEF為正三角形。21．斯坦納—萊默斯定理：如圖，已知△ABC中，兩內(nèi)角的平分線BD=CE。求證：AB=AC。 證法① 作∠BDF=∠BCE；并使DF=BC ∵BD=EC， ∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF. 設(shè)∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，∠FBC=∠BEC+α=180176。2αβ+α=180176。(α+β)。 ∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+1802βα=180176。(α+β)。 ∴∠FBC=∠CDF， ∵2α+2β180176。, ∴α+β90176。， ∴∠FBC=∠CDF90176。 ∴過(guò)C點(diǎn)作FB的垂線和過(guò)F點(diǎn)作CD的垂線必都在FB和CD的
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