【文章內(nèi)容簡介】 實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行運(yùn)算處理，于是 Monte Carlo [17]方法應(yīng)用日漸廣泛。蒙特卡洛方法能夠比較逼真地描述復(fù)雜事物的特點(diǎn)，如物理化學(xué)等方面的實(shí)驗(yàn)過程等。隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)模擬方法對于那些只能進(jìn)行定性而很難進(jìn)行定量研究的問題有很大幫助。 理論模型對磁性晶格系統(tǒng)進(jìn)行模擬研究時，通常用到的模型有 Ising 模型，XY 模型和海森堡模型[18]。Ising 模型是最早由 Ising 提出的最簡單的鐵磁唯象模型，通常用來研究系統(tǒng)中自旋只有兩種可能狀態(tài)的問題。Ising模型中，晶格的每個格點(diǎn)i上有一個自旋Si，它只可以取向上（Si=+1）或（Si=－1）兩種狀態(tài)。系統(tǒng)的哈密頓量可表示為 (1) 式（1）中Si為原子自旋；∑表示對兩個格點(diǎn)求和；Jij為Si和Sj之間的相互作用（交換積分），當(dāng)只考慮最近鄰的格點(diǎn)的相互作用時，式中的Jij變?yōu)槌Ａ縅。如果有外部縱向磁場h存在，系統(tǒng)的哈密頓量為 (2) 當(dāng)有橫向磁場作用時，通常采用經(jīng)典的橫向Ising模型，即自旋取向不再只有兩個方向，而是可以遍布平面內(nèi)各個方向，如果模型只考慮最近鄰格點(diǎn)的相互作用，忽略其他格點(diǎn)的作用，系統(tǒng)的哈密頓量為 (3) 式（3）中Ω為橫向磁場，Siz ，Six 分別為自旋Si在z和x方向的分量。海森堡模型是最早由 Heisenberg 提出用以描述鐵磁性的一種理論模型[15]。此模型近似晶體為格點(diǎn)分布，每個格點(diǎn)上有一個自旋磁矩，外磁場中各向同性Heisenberg 模型的哈密頓量寫為 （4）上式中Si 代表一個三維自旋矢量，J 是最近鄰自旋對之間的交換相互作用常數(shù)，H 為外磁場。如果把自旋限制在二維平面上，Si 只取兩個分量，Heisenberg 模型就簡化為 XY 模型或 planerotor 模型；如果Si 只取一個分量時，Heisenberg 模型就簡化為上述的 Ising 模型；如果把此模型做一推廣，使得Si 有n 個分量，則 Heisenberg 模型就成為所謂的 n 矢量模型，當(dāng)n→∞時，成為球模型。 計(jì)算方法蒙特卡洛方法，又名隨機(jī)模擬法（stochastic simulation）或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法,就是計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)方法，在數(shù)學(xué)，物理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，依據(jù)大數(shù)定律（樣本均值替代總體均值），利用電子計(jì)算機(jī)數(shù)字模擬技術(shù)，解決一些很難直接用數(shù)學(xué)運(yùn)算求解或用其他方法不能解決的復(fù)雜問題的一種近似計(jì)算法。它的基本思想是：把被研究的系統(tǒng)抽象成一個理論模型，把所求問題的解設(shè)為這個模型的參數(shù)（概率或期望）。用隨機(jī)數(shù)列建立這個統(tǒng)計(jì)模型的一個樣本，從而可以得出這個參數(shù)的統(tǒng)計(jì)估值。在蒙特卡洛方法中，有簡單抽樣和重要性抽樣兩種抽樣方法，重要性抽樣中常用的算法包括 Metroplis 算法，SwendenWang 算法，Wolff 算法，Histogram 算法以及 WangLandau 算法等等[19]。在模擬的過程中，根據(jù)運(yùn)算的不同需要，可以用一種算法，也可以將幾種算法結(jié)合起來使用，即復(fù)合算法。計(jì)算物理中，蒙特卡洛方法首先將系統(tǒng)用一個哈密頓量來描述，并選擇一個對問題合適的系統(tǒng)，然后用同這個系統(tǒng)相聯(lián)系的分布函數(shù)和配分函數(shù)，就可以計(jì)算所有的可觀察量了。蒙特卡洛方法的基本思想是，對主要的貢獻(xiàn)抽樣以得到可觀察量的估值。本文采用 Metroplis 算法的蒙特卡洛方法，計(jì)算具體步驟為:(1) 建立一個物理模型，給出其哈密頓量。并將所要求的量設(shè)成哈密頓量的自變量。 (2) 根據(jù)所分析的 Ising 模型維數(shù)建立相應(yīng)維數(shù)的數(shù)組來存儲每個格點(diǎn)的自旋取向，如S十為自旋朝上，S一為自旋朝下。 (3) 對構(gòu)造好的數(shù)組進(jìn)行初始化，設(shè)S = So。(4) 把相應(yīng)的條件如溫度、外磁場等等考慮進(jìn)去，使之產(chǎn)生一個新位形。 (5) 以新的位形為自變量，計(jì)算能量差，如果﹤0，接受新位形，返回到（4）。(6) 產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)，并求出exp（）,比較exp（）與P的大小。如果exp（）＞P，接受新位形，然后返回到（4）。否則將舊位形作為新位形，返回到（4）。至此，完成一個蒙特卡洛步。(7) 經(jīng)歷多次蒙特卡洛步后，對所有蒙特卡洛步的運(yùn)算所得結(jié)果中的各個量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。就可得到系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度M（如式（5））、能量E（如式（6））和比熱CM（如式（7））。 (5) (6) (7)3 蜂窩狀阻挫晶格的磁基態(tài)和比熱 基態(tài)本課題采用的六角蜂窩狀人工阻挫磁晶格的示意圖如圖5所示。晶格中每個頂點(diǎn)由三個最近鄰自旋組成，從能量的高低上劃分有兩類可能的位型，即“一進(jìn)兩出或兩進(jìn)一出”和“三進(jìn)或三出”，其中“一進(jìn)兩出或兩進(jìn)一出”磁位型由于能量較低，容易形成，而“三進(jìn)或三出”磁位型能量較高，較難形成。圖5中兩個圓圈分別給出了兩種能量較低的頂點(diǎn)磁自旋位型，即Type I 中一個自旋指向頂點(diǎn),兩個自旋背向頂點(diǎn)，也就是所謂的“一進(jìn)，兩出”，Type II中兩個自旋指向頂點(diǎn)，一個自旋背向頂點(diǎn)，也就是所謂的“兩進(jìn)，一出”。Type ITypeII IIIIIIIIIIIIIIII圖5 ,每個頂點(diǎn)由三個自旋構(gòu)成.如果把晶格中自旋利用啞鈴替代的話，啞鈴的兩個球分別代表一對相反的磁荷q= +1和q= 1 (如圖 6(a) 中紅色和藍(lán)色球所示)，則圖5中TypeI的頂點(diǎn)處總磁荷為1， Type II的頂點(diǎn)處總磁荷為+1 (如圖6左邊圖所示)。這樣，六角蜂窩狀晶格的自旋磁結(jié)構(gòu)圖就可變成磁荷圖，如圖6（b）右圖所示。圖6 左邊是兩種六角蜂窩狀晶格的兩種頂點(diǎn)自旋位型用啞鈴替代后的示意圖，其中啞鈴的兩個球（籃球和紅球）代表一對相反的磁荷（1和+1）。右邊是六角蜂窩狀晶格的磁荷示意圖. 計(jì)算模型和方法根據(jù)實(shí)驗(yàn)，納米島是單疇?wèi)B(tài)而且磁矩很大，因此每個島可以被看成一個大自旋。如果考慮自旋之間的偶極相互作用和交換相互作用，則體系的哈密頓量可寫為 （8）式中，Si 為原子自旋，第一項(xiàng)為交換相互作用，J 為 Si 和 Sj 之間的交換相互作用參數(shù)（交換積分），∑表示對最近鄰自旋對求和；第二項(xiàng)是偶極相互作用， 為偶極相互作用參數(shù)，其中a為最近鄰自旋之間的橫向距離， m0 為真空磁導(dǎo)率， m 為自旋磁矩，∑表示對所有自旋對求和。利用基于 Metropolis 算法的蒙特卡洛方法，我們研究了六角蜂窩狀人工阻挫晶格的基態(tài)磁位形。系統(tǒng)到達(dá)熱平衡的弛豫時間由蒙特卡洛步給出。根據(jù) Metropolis 算法，在每個蒙特卡洛步中，每個自旋的方向都以 min[1, exp()] 的概率隨機(jī)發(fā)生變化，其中為系統(tǒng)能量的變化，kB 為玻爾茲曼常數(shù)。模擬過程中，在一個給定的溫度下，系統(tǒng)經(jīng)過1000個蒙特卡洛步的弛豫后達(dá)到熱平衡狀態(tài)。為了避免亞穩(wěn)狀態(tài)發(fā)生和減小統(tǒng)計(jì)誤