【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =? =6 cm. ∴ 當(dāng) AB=6 cm時(shí) ,BC與☉ A相切 . sin 3 0AD?3.(2022山東青島 ,12,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BD,CD分別是過(guò)☉ O上點(diǎn) B,C的切線 ,且 ∠ BDC =110176。.連接 AC,則 ∠ A的度數(shù)是 176。. ? 答案 35 解析 連接 BC,易知 DB=DC,所以 ∠ DBC=? (180176?！?BDC)=35176。,所以 ∠ A=∠ DBC=35176。. 124.(2022甘肅蘭州 ,27,10分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,BC是☉ O的直徑 ,弦 AF交 BC于點(diǎn) E,延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) D,連接 OA,AD,使得 ∠ FAC=∠ AOD,∠ D=∠ BAF. (1)求證 :AD是☉ O的切線 。 (2)若☉ O的半徑為 5,CE=2,求 EF的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :∵ BC是☉ O的直徑 , ∴∠ BAC=90176。.? (1分 ) ∴∠ BAF+∠ FAC=90176。.? (2分 ) ∵∠ FAC=∠ AOD,∠ D=∠ BAF, ∴∠ D+∠ AOD=90176。.? (4分 ) ∴ OA⊥ AD. ∵ OA為☉ O的半徑 , ∴ AD是☉ O的切線 .? (5分 ) (2)如圖 ,連接 BF. ? BE=BCCE=2OCCE=102=8. ∵∠ ACE=∠ OCA,∠ FAC=∠ AOC, ∴ △ OAC∽ △ AEC.? (6分 ) ∴ ? =? =? ,即 ? =? =? ,∴ AE=? .? (7分 ) ∵∠ AEC=∠ BEF,∠ ACB=∠ BFE, ∴ △ AEC∽ △ BEF.? (9分 ) ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ EF=? .? (10分 ) ACCE OCAC AOAE 2AC 5AC 5AE 10AEBE CEEF 108 2EF 8 1 05方法規(guī)律 在有關(guān)圓的問(wèn)題中 ,有直徑通常作直徑所對(duì)的圓周角 ,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題 。有 關(guān)切線的證明 ,遵循“有切點(diǎn) ,連半徑 ,證垂直 。無(wú)切點(diǎn) ,作垂直 ,證半徑”的原則 .關(guān)于圓的一些定 理或推論形成的基本圖形應(yīng)熟記于心 ,并能在組合圖形中識(shí)別、分解出來(lái) . 5.(2022山西 ,21,7分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,且 AB為☉ O的直徑 .OD⊥ AB,與 AC交于點(diǎn) E,與過(guò) 點(diǎn) C的☉ O的切線交于點(diǎn) D. (1)若 AC=4,BC=2,求 OE的長(zhǎng) 。 (2)試判斷 ∠ A與 ∠ CDE的數(shù)量關(guān)系 ,并說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. 在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 AB=? =? =2? , ∴ AO=? AB=? 2? =? .? (1分 ) ∵ OD⊥ AB,∴∠ AOE=∠ ACB=90176。, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ AOE∽ △ ACB,? (2分 ) ∴ ? =? ,∴ OE=? =? =? .? (3分 ) (2)∠ CDE=2∠ A.? (4分 ) 理由如下 : 證法一 :連接 OC.∵ OA=OC,∴∠ 1=∠ A. ∵ CD是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD, ∴∠ OCD=90176。,∴∠ 2+∠ CDE=90176。.? (5分 ) ∵ OD⊥ AB,∴∠ 2+∠ 3=90176。,∴∠ 3=∠ CDE.? (6分 ) ∵∠ 3=∠ A+∠ 1=2∠ A,∴∠ CDE=2∠ A.? (7分 ) 22AC BC? 2242? 512 125 5OECBAOAC CB AOAC? 254 52? 證法二 :連接 OC.∵ CD是☉ O的切線 , ∴ OC⊥ CD,∴∠ 1+∠ 2=90176。. ∵ OD⊥ AB,∴∠ AOE=90176。,∴∠ A+∠ 3=90176。.? (5分 ) ∵ OA=OC,∴∠ 1=∠ A,∴∠ 2=∠ 3.? (6分 ) 又 ∵∠ 3=∠ 4,∴∠ 2=∠ 4=∠ 3=90176?！?A, ∴∠ CDE=180176。(∠ 2+∠ 4)=180176。2(90176?！?A)=180176。290176。+2∠ A=2∠ A.? (7分 ) ? 解后反思 求線段長(zhǎng)度的方法 ,除了簡(jiǎn)單的直接加減之外 ,還可以把線段長(zhǎng)度放在方程中求解 , 建立方程的常見(jiàn)方法 :通過(guò)相似得到比例建立方程 。通過(guò)勾股定理建立方程 。通過(guò)三角函數(shù)建 立邊與邊之間的關(guān)系 ,等等 .在這幾種方法的選擇上 ,要具體問(wèn)題具體分析 ,選擇一種最簡(jiǎn)單的 方法 . C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點(diǎn) D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。,∴∠ BCA=∠ ABC=65176。,∴∠ BAC=50176。,∵ CD∥ AB,∴∠ BAC= ∠ ACD=50176。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。,所以 ∠ DBC=∠ ABC∠ ABD=65176。5 0176。=15176。,故選 A. 2.(2022湖北宜昌 ,11,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,AC平分 ∠ BAD,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =AD =CD C.?=? D.∠ BCA=∠ DCA AB︵ AD︵答案 B 根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系 :在同圓或等圓中 ,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦 中有一組量相等 ,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 ,可知 : A.∵∠ ACB與 ∠ ACD的大小關(guān)系不確定 ,∴ AB與 AD不一定相等 ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 。 B.∵ AC平分 ∠ BAD,∴∠ BAC=∠ DAC,∴ BC=CD,故本選項(xiàng)正確 。 C.∵∠ ACB與 ∠ ACD的大小關(guān)系不確定 ,∴ ? 與 ? 不一定相等 ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 。 D.∠ BCA與 ∠ DCA的大小關(guān)系不確定 ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 .故選 B. AB︵ AD︵3.(2022江蘇南京 ,6,2分 )過(guò)三點(diǎn) A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圓的圓心坐標(biāo)為 ? ( ) A.? B.(4,3) C.? D.(5,3) 174,6??????175,6??????答案 A 過(guò) C作 CE⊥ AB于 E,設(shè)所求圓的圓心為 D,半徑為 r,連接 AD. ∵ A(2,2),B(6,2), ∴ 圓心 D在直線 x=4上 ,∴ D的橫坐標(biāo)為 4. ∵ C(4,5),∴ CE=3.∵ CD=r,∴ DE=3r. 在 Rt△ DAE中 ,AE2+DE2=AD2, 即 22+(3r)2=r2,∴ r=? , ∴ D的縱坐標(biāo)為 5? =? , 136136 176∴ D? .故選 A. 174,6??????思路分析 本題求過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo) ,先根據(jù)圓的對(duì)稱性確定圓心的橫坐標(biāo) ,再根據(jù)勾股 定理求出半徑 ,進(jìn)而求出圓心的坐標(biāo) . 4.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點(diǎn) .下列四個(gè)角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。, 易知 ∠ ACD=∠ B,∴∠ BAD+∠ ACD=90176。,故選 D. 5.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且滿足 ∠ PAB=∠ CP長(zhǎng)的最小值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 328 1 313 1 2 1 313答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。,∴∠ P=90176。.設(shè) AB的中 點(diǎn)為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當(dāng)點(diǎn) O,P,C三點(diǎn)共線時(shí) ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長(zhǎng)的最小值為 53=2,故選 B. 122234?126.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,CD是☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD于 E,連接 BC, 正確的是 ? ( ) ? =BE B.?=? =DE D.∠ DBC=90176。 AD︵ BD︵答案 C ∵ CD是☉ O的直徑 ,且 CD⊥ AB,∴ AE=BE, ?=?, ∵ CD是☉ O的直徑 ,∴∠ DBC=90176。,但不能得出 OE= C. AD︵ BD︵評(píng)析 本題考查了垂徑定理 ,屬容易題 . 7.(2022上海 ,6,4分 )如圖 ,已知在☉ O中 ,AB是弦 ,半徑 OC⊥ AB,垂足為點(diǎn) D,要使四邊形 OACB為 菱形 ,還需添加一個(gè)條件 ,這個(gè)條件可以是 ? ( ) ? =BD =CD C.∠ CAD=∠ CBD D.∠ OCA=∠ OCB 答案 B 根據(jù)垂徑定理知 OD垂直平分 AB,所以添加 OD=CD,即可判定四邊形 OACB是菱形 , 故選 B. 8.(2022北京 ,14,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,C,D為☉ O上的點(diǎn) ,? =?. 若 ∠ CAB=40176。,則 ∠ CAD = 176。. ? AD︵ CD︵答案 25 解析 連接 BC,BD,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∴∠ ABC=90176?！?CAB=90176。40176。=50176。. ∵ ? =?, ∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。, ∴∠ CAD=∠ CBD=25176。. ? AD︵ CD︵129.(2022湖北十堰 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,∠ ACB=90176。,∠ ACB的平分線交☉ O于 AC =6,BD=5? ,則 BC的長(zhǎng)為 . ? 2答案 8 解析 連接 AD, ? ∵∠ ACB=90176。, ∴ AB是☉ O的直徑 . ∵∠ ACB的平分線交☉ O于 D, ∴∠ ACD=∠ BCD=45176。, ∴ AD=BD=5? . ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴ △ ABD是等腰直角三角形 , ∴ AB=? =? =10. 222AD BD? 22(5 2) (5 2)?思路分析 連接 AD,根據(jù) CD是 ∠ ACB的平分線可知 ∠ ACD=∠ BCD=45176。,故可得出 AD=BD,再 由 AB是☉ O的直徑可知△ ABD是等腰直角三角形 ,利用勾股定理求出 AB的長(zhǎng) ,在 Rt△ ABC中 ,利 用勾股定理可得出 BC的長(zhǎng) . ∵ AC=6, ∴ BC=? =? =8. 故答案為 8. 22AB AC? 2210 6?解題關(guān)鍵 本題考查的是圓周角定理 ,熟知直徑所對(duì)的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵 . 10.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,17,3分 )如圖 ,點(diǎn) A、 B、 C為☉ O上的三個(gè)點(diǎn) ,∠ BOC=2∠ AOB,∠ BAC=40176。, 則 ∠ ACB= 度 . ? 答案 20 解析 ∵∠ BAC=40176。,∴∠ BOC=80176。.∵∠ BOC=2∠ AOB,∴∠ AOB=? ∠ BOC=40176。,∴∠ ACB=? ∠ AOB=20176。. 12 1211.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,四邊形 ABCD是菱形 ,☉ O經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、 C、 D,與 BC相交于點(diǎn) E,連 接 AC、 ∠ D=78176。,則 ∠ EAC= 176。. ? 解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AD∥ BC,CA平分 ∠ DCB. ∵∠ D=78176。,∴∠ DCB=180176?！?D=102176。, ∴∠ ACE=? ∠ DCB=51176。. ∵ A、 E、 C、 D四點(diǎn)共圓 , ∴∠ D+∠ AEC=180176。, ∴∠ AEC=102176。. 在△ AEC中 ,∠ EAC=180176?！?AEC∠ ACE=180176。102176。51176。=27176。. 12答案 27 解后反思 本題綜合考查菱形的性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì) ,掌握這兩個(gè)性質(zhì)是 解決問(wèn)題的關(guān)鍵 . 12.(2022貴州貴陽(yáng) ,13,4分 )如圖 ,正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于☉ O,☉ O的半徑為 6,則這個(gè)正六邊形 的邊心距 OM的長(zhǎng)為 . ? 答案 3? 3解析 連接 OB、 OC,可得 OB=OC,∠ BOC=? =60176。, 所以△ BOC為等邊三角形 ,所以 ∠ BOM=30176。, 所以 OM=OBcos 30176。=3? . ? 3606 ?313.(2022湖南婁底 ,17,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,AB為直徑 ,CD為弦 ,已知 ∠ ACD=40176。,則 ∠ BAD= 度 . ? 答案 50 解析 由圓周角定理知 ∠