【正文】 5.(2022山西 ,21,7分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,且 AB為☉ O的直徑 .OD⊥ AB,與 AC交于點 E,與過 點 C的☉ O的切線交于點 D. (1)若 AC=4,BC=2,求 OE的長 。,∴∠ 2+∠ CDE=90176。,∴∠ A+∠ 3=90176。2(90176。通過勾股定理建立方程 。 176。,∴∠ BAC=50176。5 0176。 C.∵∠ ACB與 ∠ ACD的大小關(guān)系不確定 ,∴ ? 與 ? 不一定相等 ,故本選項錯誤 。,故選 D. 5.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內(nèi)部的一個動點 ,且滿足 ∠ PAB=∠ CP長的最小值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 328 1 313 1 2 1 313答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。 AD︵ BD︵答案 C ∵ CD是☉ O的直徑 ,且 CD⊥ AB,∴ AE=BE, ?=?, ∵ CD是☉ O的直徑 ,∴∠ DBC=90176。, ∴∠ ABC=90176。. ∵ ? =?, ∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。, ∴ AB是☉ O的直徑 . ∵∠ ACB的平分線交☉ O于 D, ∴∠ ACD=∠ BCD=45176。,∴∠ BOC=80176。,則 ∠ EAC= 176。, ∴∠ ACE=? ∠ DCB=51176?！?AEC∠ ACE=180176。. 12答案 27 解后反思 本題綜合考查菱形的性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì) ,掌握這兩個性質(zhì)是 解決問題的關(guān)鍵 . 12.(2022貴州貴陽 ,13,4分 )如圖 ,正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于☉ O,☉ O的半徑為 6,則這個正六邊形 的邊心距 OM的長為 . ? 答案 3? 3解析 連接 OB、 OC,可得 OB=OC,∠ BOC=? =60176。=3? . ? 3606 ?313.(2022湖南婁底 ,17,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,AB為直徑 ,CD為弦 ,已知 ∠ ACD=40176。40176。,由勾股定理可求得 AC的 長 ,易證得 OD是△ ABC的中位線 ,則可求得 OD的長 . 審題技巧 在圓的求值證明中 ,常通過直徑所對的圓周角構(gòu)造直角三角形 ,利用勾股定理來解 決問題 . 15.(2022湖南湘西 ,6,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB于點 E,OC=5 cm,CD=6 cm,則 OE= cm. ? 答案 4 解析 ∵ CD⊥ AB,CD=6 cm, ∴ CE=? CD=3 cm, 在 Rt△ OCE中 ,OE=? =? =4 cm. 1222OC CE? 2253?16.(2022湖南益陽 ,13,5分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,AB是直徑 ,過 C點的切線與 AB的延長 線交于 P點 ,若 ∠ P=40176。. ∵ OC=OB, ∴∠ OCB=∠ OBC=65176。 17.(2022江西 ,12,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AO=2,BC=2? ,則 ∠ BAC的度數(shù)為 . ? 3答案 60176。. 3 22OB BD?1212評析 本題考查垂徑定理和圓周角與圓心角之間的關(guān)系 ,屬容易題 . 18.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點 ,M、 N是☉ O上的兩個 動點 ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176。MN=? 2? 4=4? . 2 212 122 219.(2022甘肅定西 ,16,4分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 AC=2? ,點 B是圓上一點 ,且 ∠ ABC=45176。,C是 ? 上一點 ,則 ∠ ACB= 176。,∴∠ ACB=119176。,利用圓周角定理 得出 ∠ DFA=30176。. 12 1212解題關(guān)鍵 此題考查了垂徑定理、三角函數(shù)以及圓周角定理 ,解題關(guān)鍵是利用垂徑定理和三 角函數(shù)得出 ∠ CDO=30176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。, ∴∠ ODH=20176。, ∴∠ DOC=∠ DOH∠ NOH=40176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1,∵ AB=? , ∴∠ CAB=30176。280176。+x)=40176。x),解得 x=20176。 50176。 140176。 130176。,CD=3,△ ABE的面積為△ ABC的面積的 4倍 ,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)① β=α+90176。. ② 因為 ∠ ECG=90176。α. (2)因為 γ=135176。. 所以△ ECB為等腰直角三角形 , 又因為 CD=3,所以 BC=6, 所以 CE=BE=3? , 因為△ ABE的面積為△ ABC的面積的 4倍 , 所以 AE∶ AC=4∶ 1, 所以 AE=4? , 在 Rt△ ABE中 ,AB=? =5? , 連接 BG,因為 AG是直徑 ,所以 ∠ ABG=90176。CG=? 22=2. 1222CB BG?12 1225.(2022江蘇蘇州 ,26,10分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,D、 E為☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點 ,連接 BD并 延長至點 C,使得 CD=BD,連接 AC交☉ O于點 F,連接 AE、 DE、 DF. (1)證明 :∠ E=∠ C。ED的值 . ? 23AB︵解析 (1)證明 :連接 AD. ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。, 又 ∵∠ E=∠ C=55176。ED=AE2=18. 23AB︵2AB︵AEEG DEAE思路分析 (1)直接利用圓周角定理得出 AD⊥ BC,勁兒利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出 AB= AC,即可得出 ∠ E=∠ C。,∠ D=60176。 (2)求 ? 的值 . ? ACEBECSS解析 (1)證明 :∵ Rt△ ACB中 ,∠ ACB=90176。,∠ D=60176。,∠ AMF=∠ BMG, ∴ △ AFM∽ △ BGM, ∴ ? =? =? , ∴ ? =? =? =? . ? AMMB AEEB 3AFBG AMMB 3ACEBECSS 1212C E A FC E B G??AFBG 3思路分析 (1)由 Rt△ ACB中 ∠ ABC=45176。,解直角△ ABE得到 AE=? BE,那么 ? =? =? .作 AF⊥ CE于 F, BG⊥ CE于 △ AFM∽ △ BGM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 ? =? =? ,進而求 出 ? =? =? =? . AMMB AEEB3 AMMB AEEB3AFBG AMMB 3ACEBECSS 1212C E A FC E B G??AFBG 3解題關(guān)鍵 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,圓周角定理 ,銳角三角函數(shù)定義 ,通過作輔助 線得出 ? =? =? 是解題的關(guān)鍵 . AFBG AMMB 327.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,24,9分 )如圖 ,已知 AD是△ ABC的外角 ∠ EAC的平分線 ,交 BC的延長 線于點 D,延長 DA交△ ABC的外接圓于點 F,連接 FB,FC. (1)求證 :∠ FBC=∠ FCB。, ∴∠ FBC=∠ CAD,? (1分 ) ∵ AD是△ ABC的外角 ∠ EAC的平分線 , ∴∠ EAD=∠ CAD, 又 ∵∠ EAD=∠ FAB, ∴∠ FAB=∠ CAD.? (2分 ) 又 ∵∠ FAB=∠ FCB,∴∠ FBC=∠ FCB.? (3分 ) (2)由 (1)知 ∠ FBC=∠ FCB,∠ FCB=∠ FAB, ∴∠ FAB=∠ FBC,? (4分 ) 又 ∵∠ BFA=∠ BFD,∴ △ AFB∽ △ BFD.? (5分 ) 于是有 ∠ FBA=∠ FDB,? =? , 即 BF2=FA ,∴ CD=2? .? (9分 ) AFBF 22333328.(2022江蘇南京 ,26,8分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,BC的延長線與 AD的延長線 交于點 E,且 DC=DE. (1)求證 ∠ A=∠ AEB。. ∴ △ ABE是等邊三角形 .? (8分 ) 29.(2022貴州遵義 ,26,12分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑作☉ O,交 BC于點 D,交 CA的延 長線于點 E,連接 AD、 DE. (1)求證 :D是 BC的中點 。,∠ C=∠ C, ∴ △ ADC∽ △ BEC,? (10分 ) ∴ ? =? , ∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) CDCE CACBCD CBCA? 3610?9 1 05∴ AE=CEAC=? .? (12分 ) 此題第 (3)問的解法較多 ,請參照給分 . 4 1 05評析 本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì) ,等腰三角形的性質(zhì) ,勾股定理 ,相似三角形的性質(zhì)與判定 .屬 中檔題 . 30.(2022湖北武漢 ,22,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,P是 ? 上兩點 ,AB=13,AC=5. (1)如圖① ,若點 P是 ? 的中點 ,求 PA的長 。,∴ PA =? =3? . ? 22AB AC?1222PD BD? 1322AB PB? 1331.(2022遼寧沈陽 ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點 D,交 AC 于點 E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。 (2)如圖② ,若 ∠ CAB=60176。.∴∠ DOB=2∠ DAB=60176。,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出結(jié)果 . 2.(2022湖南邵陽 ,8,3分 )如圖 ,△ ABC的邊 AC與☉ O相交于 C、 D兩點 ,且經(jīng)過圓心 O,邊 AB與☉ O 相切。.∵ BC⊥ PC,∴∠ PCB=90176。. 在 Rt△ CAB中 ,BC=10,AB=6, ∴ AC=? =? =8. ∵ AD平分 ∠ CAB,∴ ?= ? .∴ CD=BD. 在 Rt△ BDC中 ,BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴ BD2=CD2=50.∴ BD=CD=5? . (2)如圖 ,連接 OB,OD. ? ∵ AD平分 ∠ CAB,且 ∠ CAB=60176。. 又 ∵ OD∥ BC,∴∠ AEO=∠ ACB=90176。. ∵ AB=13,∴ PA =? AB=? . ? (2)如圖 ,連接 PB, OP交 BC于 D點 . ∵ P是 ? 的中點 ,∴ OP⊥ BC于 D,BD=CD. ∵ OA=OB,∴ OD=? AC=? . ∵ OP=? AB=? , ∴ PD=OPOD=? ? =4. AB︵22 1 3 22BC︵12 5212 132132 52∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。 (3)在 (2)的條件下 ,求弦 AE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 , ∴ AD⊥ BC.? (2分 ) 又 ∵ AB=AC, ∴ D是 BC的中點 .? (4分 ) (2)∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C, 又 ∵∠ B=∠ E,∴∠ C=∠ E,∴ DC=DE, ∴ BD=DE=3,? (5分 ) 又 ∵ BDAD=2,∴ AD=1.? (6分 ) 在 Rt△ ABD中 ,BD=3,AD=1, ∴ AB=? =? =? ,? (7分 ) 則☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) (3)解法一 :在△ CAB和△ CDE中 , ∠ B=∠ E,∠ C=∠ C(公共角 ), ∴ △ CAB∽ △ CDE,? (9分 ) 22BD AD? 2231? 10102∴ ? =? ,? (10分 ) ∵ CA=AB=? ,∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? ? ? =? .? (12分 ) CBCECACD10 CB CDCA? 6310?9 1 059510 10 4 1 05解法二 :連接 BE, ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ BEC=90176。. 又 ∠ DCE+∠ BCD=180176。,? (7分 ) ∴ tan∠ FBA=? =? =? , ∴∠ FBA=30176。FD=12,若 AB是△ ABC外接圓的直徑 ,FA =2,求 CD的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 AFBC內(nèi)接于圓 , ∴∠ FBC+∠ FAC=180176。,根據(jù)圓周角定理得出 ∠ AEC =∠ ABC,∠ BEC=∠ BAC,等量代換得出 ∠ AEC=∠ BEC,即 EC平分 ∠ AEB. (2)設(shè) AB與 CE交于點 ? =? .易知 ∠ BAD=30176。, ∵ 以 AB為直徑的圓經(jīng)過點 E, ∴∠ AEB=90176。, ∴∠ BAC=∠ ABC=45176。,∠ ABC=45176?！?E,進而得出 ∠ BDF=∠ C+∠ CFD,即可得出答案 。. (3)連接 OE. ∵∠ CFD=∠ E=∠ C, ∴ FD=CD=BD=4. 在 R