【正文】 )若 cos∠ ABE=? ,在 AB的延長線上取一點 M,使 BM=4,☉ O的半徑為 :直線 CM是☉ O的 切線 . ? BC︵ CE︵45證明 (1)延長 CD交☉ O于 G,如圖 , ∵ CD⊥ AB, ∴ ?=?, ∵ ?=?, ∴ ?=?, ∴∠ CBE=∠ GCB, ∴ CF=BF. ? (2)連接 OC,交 BE于點 H,如圖 , ∵ ?=?, BC︵ BG︵BC︵ CE︵CE︵ BG︵BC︵ CE︵∴ OC⊥ BE, 在 Rt△ OBH中 ,cos∠ OBH=? =? , ∴ BH=? 6=? , ∴ OH=? =? , ∵ ? =? =? ,? =? =? , ∴ ? =? , 又 ∠ HOB=∠ COM, ∴ △ OHB∽ △ OCM, ∴∠ OCM=∠ OHB=90176。, ∴∠ OAD=90176。, 即 OB⊥ BE,且 BE過半徑的外端點 , ∴ BE是☉ O的切線 .? (4分 ) (2)連接 CD,設 OB與 CD交于 H,圓的半徑為 r, 由 (1)的證明過程知 ∠ 2=∠ 4, ∴ OB∥ AC, ∵ O是 AD的中點 , ∴ OH=? AC=? ,且 OH⊥ CD,? (5分 ) ∴ OD2=OH2+HD2, ∴ r2=? +HD2=? +BD2BH2=? +(? )2? , ∴ r=3,∴ 直徑 AD=6,? (6分 ) ∴ AB=? =? , ∵ ☉ O是四邊形 ADBC的外接圓 ,∴∠ ACB+∠ ADB=180176。 (3)在線段 BD的延長線上找一點 E,使得直線 AE恰好為☉ M的切線 ,求此時點 E的坐標 . ? 6 2解析 (1)因為 ∠ AOB為直角 , 所以 AB是☉ M的直徑 . 又因為點 A的坐標為 (? ,0),點 B的坐標為 (0,? ), 所以 OA=? ,OB=? ,在 Rt△ AOB中 ,AB=? =2? ,所以☉ M的半徑為 ? . (2)證明 :因為 ∠ COD=∠ CBO,而 ∠ COD=∠ ABD, 所以 ∠ ABD=∠ CBO,故 BD平分 ∠ ABO. (3)如圖 ,因為 AB為☉ M的直徑 ,所以過點 A作直線 l⊥ AB,直線 l與 BD的延長線的交點即是所求的 點 E,此時直線 AE必為☉ M的切線 . ? 在 Rt△ AOB中 ,OB=? ,AB=2? , 6 26 2 62? 2 22 2所以 ∠ OAB=30176。,則 ∠ BOC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 答案 B ∵ OA=OB,∠ BAO=25176。.故選 B. 思路分析 先根據(jù) OA=OB,∠ BAO=25176。,則 ∠ DBC=? ( ) ? 176。 答案 A ∵∠ BFC=20176。, ∴∠ DBC=∠ ABC∠ ABD=70176。 176。,則 ∠ AOC=2x176。 176。,則 ∠ ABC等于 ? ( ) ? 176。 答案 D 如圖 ,在優(yōu)弧 AC上任取一點 D,連接 AD、 CD. ∵∠ AOC=100176。50176。,因為 ∠ CAB=60176。=4? ? =2? . ADAB cos 30AD?6323 3123考點二 與圓有關的位置關系 1.(2022上海 ,17,4分 )如圖 ,已知 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ AB=? =6 cm. ∴ 當 AB=6 cm時 ,BC與☉ A相切 . sin 3 0AD?3.(2022山東青島 ,12,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BD,CD分別是過☉ O上點 B,C的切線 ,且 ∠ BDC =110176。,所以 ∠ A=∠ DBC=35176。.? (2分 ) ∵∠ FAC=∠ AOD,∠ D=∠ BAF, ∴∠ D+∠ AOD=90176。 (2)試判斷 ∠ A與 ∠ CDE的數(shù)量關系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。.? (5分 ) ∵ OD⊥ AB,∴∠ 2+∠ 3=90176。.? (5分 ) ∵ OA=OC,∴∠ 1=∠ A,∴∠ 2=∠ 3.? (6分 ) 又 ∵∠ 3=∠ 4,∴∠ 2=∠ 4=∠ 3=90176。∠ A)=180176。通過三角函數(shù)建 立邊與邊之間的關系 ,等等 .在這幾種方法的選擇上 ,要具體問題具體分析 ,選擇一種最簡單的 方法 . C組 教師專用題組 考點一 圓的有關概念與性質 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。 176。,∵ CD∥ AB,∴∠ BAC= ∠ ACD=50176。=15176。 D.∠ BCA與 ∠ DCA的大小關系不確定 ,故本選項錯誤 .故選 B. AB︵ AD︵3.(2022江蘇南京 ,6,2分 )過三點 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圓的圓心坐標為 ? ( ) A.? B.(4,3) C.? D.(5,3) 174,6??????175,6??????答案 A 過 C作 CE⊥ AB于 E,設所求圓的圓心為 D,半徑為 r,連接 AD. ∵ A(2,2),B(6,2), ∴ 圓心 D在直線 x=4上 ,∴ D的橫坐標為 4. ∵ C(4,5),∴ CE=3.∵ CD=r,∴ DE=3r. 在 Rt△ DAE中 ,AE2+DE2=AD2, 即 22+(3r)2=r2,∴ r=? , ∴ D的縱坐標為 5? =? , 136136 176∴ D? .故選 A. 174,6??????思路分析 本題求過三點的圓的圓心坐標 ,先根據(jù)圓的對稱性確定圓心的橫坐標 ,再根據(jù)勾股 定理求出半徑 ,進而求出圓心的坐標 . 4.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側的兩點 .下列四個角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。,但不能得出 OE= C. AD︵ BD︵評析 本題考查了垂徑定理 ,屬容易題 . 7.(2022上海 ,6,4分 )如圖 ,已知在☉ O中 ,AB是弦 ,半徑 OC⊥ AB,垂足為點 D,要使四邊形 OACB為 菱形 ,還需添加一個條件 ,這個條件可以是 ? ( ) ? =BD =CD C.∠ CAD=∠ CBD D.∠ OCA=∠ OCB 答案 B 根據(jù)垂徑定理知 OD垂直平分 AB,所以添加 OD=CD,即可判定四邊形 OACB是菱形 , 故選 B. 8.(2022北京 ,14,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,C,D為☉ O上的點 ,? =?. 若 ∠ CAB=40176?！?CAB=90176。, ∴∠ CAD=∠ CBD=25176。, ∴ AD=BD=5? . ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴ △ ABD是等腰直角三角形 , ∴ AB=? =? =10. 222AD BD? 22(5 2) (5 2)?思路分析 連接 AD,根據(jù) CD是 ∠ ACB的平分線可知 ∠ ACD=∠ BCD=45176。.∵∠ BOC=2∠ AOB,∴∠ AOB=? ∠ BOC=40176。. ? 解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AD∥ BC,CA平分 ∠ DCB. ∵∠ D=78176。. ∵ A、 E、 C、 D四點共圓 , ∴∠ D+∠ AEC=180176。102176。, 所以△ BOC為等邊三角形 ,所以 ∠ BOM=30176。,則 ∠ BAD= 度 . ? 答案 50 解析 由圓周角定理知 ∠ B=∠ ACD=40176。=50176。,則 ∠ D的度數(shù)為 . ? 解析 如圖 ,連接 ,∠ OCP=90176。. ∵ 四邊形 ABCD是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ D+∠ ABC=180176。 解析 連接 OB、 OC,作 OD⊥ BC于點 D, ? 由垂徑定理可得 ,BD=CD=? ,∴ OD=? =1, ∵ sin∠ OBD=? ,∴∠ OBD=30176。,則四邊形 MANB面積的最大值是 . ? 答案 4? 2解析 連接 OA, MANB面積的最大值取決于三角形 ABM和三角形 ABN的面積的最大 值 .當點 M,N分別位于優(yōu)弧 AB和劣弧 AB的中點時 ,四邊形 MANB面積取最大值 .連接 MN,此時 MN 為☉ O的直徑 ,故 MN=4, ∵∠ AMB=45176。,則☉ O的半 徑 R= . ? 3答案 ? 6解析 ∵∠ ABC=45176。. ? AB︵答案 119 解析 如圖 ,在扇形 AOB所在圓優(yōu)弧 AB上取一點 D,連接 DA,DB.∵∠ AOB=122176。. ? 21.(2022浙江杭州 ,14,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點 C是半徑 OA的中點 ,過點 C作 DE⊥ AB,交☉ O于 D,E兩點 ,過點 D作直徑 DF,連接 AF,則 ∠ DFA= . ? 答案 30176。. 解析 ∵ 點 C是半徑 OA的中點 , ∴ OC=? OA=? OD, 又 ∵ DE⊥ AB, ∴∠ CDO=30176。. 22.(2022福建 ,24,12分 )已知四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,AC是☉ O的直徑 ,DE⊥ AB,垂足 為 E. (1)延長 DE交☉ O于點 F,延長 DC,FB交于點 P,如圖 :PC=PB。. ∴∠ DEA=∠ ABC,∴ BC∥ DF, ∴∠ F=∠ PBC. ∵ 四邊形 BCDF是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ F+∠ DCB=180176。, ∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE, ∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。. 設 DE交 AC于 N. ∵ BC∥ DE,∴∠ ONH=∠ ACB=60176。, 3 ABBC312∴∠ CBD=∠ OAD=20176。,AC=2, ∴∠ ADB=∠ ACB=60176。=20176。x. 又 ∵∠ AOD=2∠ ABD, ∴ 180176。,即 ∠ BDE=20176。 60176。 150176。 120176。② γ=180176。,CD⊥ DE, 所以 ∠ BCG=∠ CED, 所以 ∠ BEC=2α, 所以 γ=∠ EAG+∠ EBA=∠ BAG+∠ EAB+∠ EBA=∠ BAG+(180176。,所以 α=45176。, 在 Rt△ ABG中 ,∠ BAG=α=45176。 (2)若 ∠ E=55176。, 即 AD⊥ BC, ∵ CD=BD, ∴ AD垂直平分 BC, ∴ AB=AC,∴∠ B=∠ C. 又 ∵∠ B=∠ E, ∴∠ E=∠ C. (2)∵ 四邊形 AEDF是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ E=180176。, ∴∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110176。 (2)利用圓內(nèi)接四邊形的性質得出 ∠ AFD=180176。,∠ ACB=9 0176。,∠ ABC=45176。, ∴∠ BAD=30176。,得出 ∠ BAC=∠ ABC=45176。 (2)已知 FA FD=12,∴ BF=2? .? (6分 ) BFFD FABF3而 FA =2,∴ FD=6,AD=4, ∵ AB為圓的直徑 ,∴∠ BFA=∠ BCA=90176。 (2)連接 OE,交 CD于點 F,OE⊥ :△ ABE是等邊三角形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ A+∠ BCD=180176。 (2)若 DE=3,BDAD=2,求☉ O的半徑 。 (2)如圖② ,若點 P是 ? 的中點 ,求 PA的長 . ? ? 圖① 圖② AB︵AB︵BC︵解析 (1)如圖 ,連接 PB,BC. ∵ AB是☉ O的直徑 ,P是 ? 的中點 , ∴ PA =PB,∠ APB=90176。 (2)若 AB=10,cos∠ ABC=? ,求 tan∠ DBC的值 . ? 35解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。,求 BD的長 . ? 解析 (1)由 BC為☉ O的直徑 ,得 ∠ CAB=∠ BDC=90176。. 22BC AB? 2210 6?CD︵ BD︵212又 ∵ 在☉ O中 ,OB=OD,∴ △ OBD是等邊三角形 . ∵ ☉ O的直徑為 10,∴ OB=5,∴ BD=5. 考點二 與圓有關的位置關系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點 D,過點 B作 PD的垂線交 PD的延長線于點 ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點 D,∴∠ PDO=9