【正文】 t△ ABD中 ,cos B=? ,BD=4,∴ AB=6. ∵ E是 ? 的中點(diǎn) ,AB是☉ O的直徑 , ∴∠ AOE=90176?！?AFD, 又 ∠ CFD=180176。,求 ∠ BDF的度數(shù) 。, 所以 BG=AB, 所以 AG=? =10, 所以☉ O的半徑為 5. 2222AE BE? 222BG AB?24.(2022湖南株洲 ,25,10分 )如圖 ,AB為☉ O的一條弦 ,點(diǎn) C為劣弧 AB的中點(diǎn) ,E為優(yōu)弧 AB上一點(diǎn) , 點(diǎn) F在 AE的延長(zhǎng)線上 ,且 BE=EF,線段 CE交弦 AB于點(diǎn) D. (1)求證 :CE∥ BF。,β=135176?！?BEC)=α+(180176。α. 證明 :連接 CG,因?yàn)?AG是直徑 ,所以 ∠ ACG=90176。 猜想 :β關(guān)于 α的函數(shù)表達(dá)式 ,γ關(guān)于 α的函數(shù)表達(dá)式 ,并給出證明 。 γ 150176。 β 120176。. PCPB CDBF3解后反思 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平 行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí) ,考查運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與 幾何直觀 ,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想 . 23.(2022浙江杭州 ,23,12分 )如圖 ,已知△ ABC內(nèi)接于☉ O,點(diǎn) C在劣弧 AB上 (不與點(diǎn) A,B重合 ),點(diǎn) D 為弦 BC的中點(diǎn) ,DE⊥ BC,DE與 AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,射線 AO與射線 EB交于點(diǎn) F,與☉ O交于 點(diǎn) G,設(shè) ∠ GAB=α,∠ ACB=β,∠ EAG+∠ EBA=γ. (1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫(huà)圖和測(cè)量得到以下 ? 數(shù)據(jù) : ??近 似α 30176。2(40176。, ∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB(∠ ODH+x) =60176。, ∵ OD=OA=1=DH, ∴∠ ODH=180176。. ∵ BC∥ DE,∴∠ BDE=∠ CBD=20176。.∴∠ NOH=180176。,∠ CAB=30176。, 又 ∵∠ PCB+∠ DCB=180176。 (2)過(guò)點(diǎn) B作 BG⊥ AD,垂足為 G,BG交 DE于點(diǎn) H,且點(diǎn) O和點(diǎn) A都在 DE的左側(cè) ,如圖 AB=? ,DH =1,∠ OHD=80176。, ∴∠ DOA=60176。 思路分析 利用垂徑定理和三角函數(shù)得出 ∠ CDO=30176。,∴∠ D=61176。,∴∠ AOC=90176。,∴∠ AOB=90176。,∴∠ BOC=120176。, ∴∠ D=115176。, ∵∠ P=40176。,故答案為 50. 14.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,18,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C是☉ O上的一點(diǎn) ,若 BC=6,AB=10,OD⊥ BC 于點(diǎn) D,則 OD的長(zhǎng)為 . ? 解析 ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。,因?yàn)?AB為☉ O的直徑 ,所以 ∠ ADB=90176。, 所以 OM=OB51176。, ∴∠ AEC=102176。,∴∠ DCB=180176。,∴∠ ACB=? ∠ AOB=20176。,故可得出 AD=BD,再 由 AB是☉ O的直徑可知△ ABD是等腰直角三角形 ,利用勾股定理求出 AB的長(zhǎng) ,在 Rt△ ABC中 ,利 用勾股定理可得出 BC的長(zhǎng) . ∵ AC=6, ∴ BC=? =? =8. 故答案為 8. 22AB AC? 2210 6?解題關(guān)鍵 本題考查的是圓周角定理 ,熟知直徑所對(duì)的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵 . 10.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,17,3分 )如圖 ,點(diǎn) A、 B、 C為☉ O上的三個(gè)點(diǎn) ,∠ BOC=2∠ AOB,∠ BAC=40176。. ? AD︵ CD︵129.(2022湖北十堰 ,14,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,∠ ACB=90176。40176。,則 ∠ CAD = 176。,∴∠ P=90176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。,故選 A. 2.(2022湖北宜昌 ,11,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,AC平分 ∠ BAD,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =AD =CD C.?=? D.∠ BCA=∠ DCA AB︵ AD︵答案 B 根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系 :在同圓或等圓中 ,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦 中有一組量相等 ,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 ,可知 : A.∵∠ ACB與 ∠ ACD的大小關(guān)系不確定 ,∴ AB與 AD不一定相等 ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點(diǎn) D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。290176?！?A, ∴∠ CDE=180176。,∴∠ 3=∠ CDE.? (6分 ) ∵∠ 3=∠ A+∠ 1=2∠ A,∴∠ CDE=2∠ A.? (7分 ) 22AC BC? 2242? 512 125 5OECBAOAC CB AOAC? 254 52? 證法二 :連接 OC.∵ CD是☉ O的切線 , ∴ OC⊥ CD,∴∠ 1+∠ 2=90176。. 在 Rt△ ABC中 ,由勾股定理得 AB=? =? =2? , ∴ AO=? AB=? 2? =? .? (1分 ) ∵ OD⊥ AB,∴∠ AOE=∠ ACB=90176。.? (4分 ) ∴ OA⊥ AD. ∵ OA為☉ O的半徑 , ∴ AD是☉ O的切線 .? (5分 ) (2)如圖 ,連接 BF. ? BE=BCCE=2OCCE=102=8. ∵∠ ACE=∠ OCA,∠ FAC=∠ AOC, ∴ △ OAC∽ △ AEC.? (6分 ) ∴ ? =? =? ,即 ? =? =? ,∴ AE=? .? (7分 ) ∵∠ AEC=∠ BEF,∠ ACB=∠ BFE, ∴ △ AEC∽ △ BEF.? (9分 ) ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ EF=? .? (10分 ) ACCE OCAC AOAE 2AC 5AC 5AE 10AEBE CEEF 108 2EF 8 1 05方法規(guī)律 在有關(guān)圓的問(wèn)題中 ,有直徑通常作直徑所對(duì)的圓周角 ,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題 。. 124.(2022甘肅蘭州 ,27,10分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,BC是☉ O的直徑 ,弦 AF交 BC于點(diǎn) E,延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) D,連接 OA,AD,使得 ∠ FAC=∠ AOD,∠ D=∠ BAF. (1)求證 :AD是☉ O的切線 。.連接 AC,則 ∠ A的度數(shù)是 176。,AC=3,BC= A、 B為圓心畫(huà)圓 ,如 果點(diǎn) C在☉ A內(nèi) ,點(diǎn) B在☉ A外 ,且☉ B與☉ A內(nèi)切 ,那么☉ B的半徑長(zhǎng) r的取值范圍是 . ? 答案 8r10 解析 ∵∠ C=90176。,弦 AD平分 ∠ CAB,所以 ∠ BAD=30176。=130176。,∴∠ ADC=? ∠ AOC=50176。 176。 176。.∵ 四邊形 ABCO是平行四邊形 ,∴∠ B=∠ AOC.∵∠ B+ ∠ D=180176。 176。40176。, ∴∠ BAC=2∠ BFC=40176。 176。得出 ∠ B=25176。,∴∠ B=25176。 176。. 所以 ∠ OBC=∠ CAB=30176。, 而 ∠ BDE+∠ ADB=180176。,∴ OA⊥ AD, ∴ AD是☉ O的切線 . ? 9.(2022湖南常德 ,24,8分 )如圖 ,已知☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,且 BD=BC,延長(zhǎng) AD 到 E,且有 ∠ EBD=∠ CAB. (1)求證 :BE是☉ O的切線 。, ∴ OC⊥ CM, ∴ 直線 CM是☉ O的切線 . BHOB 4545 24522 2465??? ????185OHOC 1856 35OBOM 664? 35OHOC OBOM思路分析 (1)延長(zhǎng) CD交☉ O于 G,利用垂徑定理得到 ? =?, 則可證明 ? =?, 然后根據(jù)圓周 角定理得 ∠ CBE=∠ GCB,從而得到 CF=BF. (2)連接 OC,交 BE于 H,先利用垂徑定理得到 OC⊥ BE,再在 Rt△ OBH中利用解直角三角形得到 BH=? ,OH=? ,接著證明△ OHB∽ △ OCM,得到 ∠ OCM=∠ OHB=90176。 ∵ PB=BD,∴∠ BPD=∠ BDP, ∵ OP⊥ PD, ∴∠ BPD+∠ BPO=∠ BDP+∠ BOP, ∴∠ BOP=∠ BPO, ∴ BP=BO=PO=6,即△ BOP是等邊三角形 , ∴ PD=? OP=6? ,故③正確 。CQ恒為定值 . ? BC︵BP︵ 3BC︵答案 ②③④ 解析 如圖 ,連接 OP,PB. ? ∵ AO=OP,∠ PAB=30176。,則 ? 的長(zhǎng)為 π。90176。,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可 . 解題關(guān)鍵 本題考查的是切線的性質(zhì) ,掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,18,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,D在☉ O上 ,∠ A=20176。, ∴∠ AOB=90176。BC=? AB.∴∠ DBA=75176。,CA=CD, 故△ CAD是等腰三角形 . ∵∠ C=30176。 176。 (2)過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ DF于點(diǎn) M,設(shè) AF=2a(a0),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 FM=EM=a,AM=? a,再 根據(jù)已知條件得到 AB=AF+BF=8a,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 AE=EF=AF=CE=2a,推出 ∠ ECF=∠ EFC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論 . 311.(2022湖南衡陽(yáng) ,26,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C、 D為半圓 O的三等分點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) C作 CE⊥ AD,交 AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. (1)求證 :CE為☉ O的切線 。=90176。,∴ AC=4a,∵ AE=EF=AF=CE=2a,∴∠ ECF=∠ EFC,∵∠ AEF=∠ ECF+ ∠ EFC=60176。,∴∠ B=30176。,點(diǎn) C在☉ O上 , ∴∠ ACB=? ∠ AOB=60176。.故選 D. AB︵ CD︵思路分析 根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得 ∠ ADB和 ∠ CAD的度數(shù) ,再由三角形 外角的性質(zhì)求解 . 易錯(cuò)警示 ①不會(huì)合理運(yùn)用圓周角定理 。,∠ ADB=45176。 176。和 50176。, ∴∠ BCD=180176。 176。, ∵ BO=OC, ∴∠ OBC=∠ OCB=? =22176。 176。,即可求出 ∠ BAC的度數(shù) . 解題關(guān)鍵 本題考查了圓周角定理以及角的計(jì)算 ,解題的關(guān)鍵是得出 ∠ ACB=90176。=30176。, ∴∠ BAC=180176。 176。=60176。 176。, 由圓周角定理得 ,∠ BOD=2∠ A=120176。 176。第五章 圓 167。 176?！?BCD=60176。 176。, ∴∠ BOC=2∠ A=230176。 176。, 又 ∵∠ OBC=60176。60176。以及 ∠ OBC= 60176。,則 ∠ OBC的大小是 ? ( ) ? 176。 答案 A 由題可知 ∠ BOC=2∠ A=136176。 176。, ∵∠ DAB=60176。.故選 D. 思路分析 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出答案 . 解題關(guān)鍵 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵 . 7.(2022湖南永州 ,6,3分 )如圖 ,P是☉ O外一點(diǎn) ,PA、 PB分別交☉ O于 C、 D兩點(diǎn) ,已知 ? 和 ? 所 對(duì)的圓心角分別為 90176。 176。, ∴∠ A=25176。=20176。 解析 ∵∠ AOB=120176。, ∵ △ AEF為等邊三角形 , ∴∠ CAB=∠ EFA=60176。,∠ ACB=90176。+30176。,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論 。,則 ∠ DBA的大小是 ? ( ) ? 176。 答案 D ∵ CA,CD是☉ O的切線 ,A,D為切點(diǎn) , ∴∠ CAB=90176。, ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ BDA=90176。,AC=4 cm,BC=3 cm, ∴ AB=? =5 cm. ∵ △ ABC的面積 =? AC 解析 ∵ AB是☉ O的切線 , ∴∠ OBA=90176。. 思路分析 根據(jù)切線的性質(zhì)得到 ∠ OBA=90176。, ∴ 在△ OBC中 ,∠ OCB=180176。. 5.(2022湖南岳陽(yáng) ,16,4分 )如圖 ,☉ O為等腰△ ABC的外接圓 ,直徑 AB=12,P為 ? 上任意一點(diǎn) (不 與 B,C重合 ),直線 CP交 AB延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,☉ O在點(diǎn) P處的切線 PD交 BQ于點(diǎn) D,下列結(jié)論正確的是 .(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào) ) ① 若 ∠ PAB=30176。④ 無(wú) 論點(diǎn) P在 ? 上的位置如何變化 ,CP ∵ PD是☉ O的切線 , ∴ OP⊥ PD, BP︵ 60 6180???∵ PD∥ BC, ∴ OP⊥ BC, ∴ ?= ? , ∴∠ PAC=∠ PAB, ∴ AP平分 ∠ CAB,故②正確 。 (2