【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 極重要的作用，特別是在近代的物理學(xué)中，對(duì)物理的發(fā)展起著極其重要的地位。俗話說(shuō):數(shù)理化是一家。既然是“一家“，那么他們一定有著必然的聯(lián)系。而變換群作為數(shù)學(xué)的一部分，那么與化學(xué)也應(yīng)有著些許聯(lián)系和應(yīng)用。比如：研究強(qiáng)激光場(chǎng)中三原子分子的線性熵，其主要采用動(dòng)力學(xué)李代數(shù)方法研究直線型三原子分子在含時(shí)激光場(chǎng)中的演化性質(zhì)。而激光場(chǎng)中分子的演化特性的理論研究是目前分子動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱門課題。且分子動(dòng)力學(xué)是結(jié)合了物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)綜合技術(shù)的一門新興邊緣學(xué)科。分子熵的理論研究發(fā)展迅速,出現(xiàn)了包括李代數(shù)理論在內(nèi)的多種方法。李代數(shù)是挪威數(shù)學(xué)家Marius Sophus Lie在19世紀(jì)后期研究連續(xù)變換群時(shí)引進(jìn)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念,它與變換群的研究密切相關(guān)。變換群不僅只在物理化學(xué)方面有重要地位，在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面也含有較高的分量，在2003年內(nèi)蒙古自治區(qū)科技信息研究所發(fā)表的《內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)》一書中曾談到Lie變換群理論在微分方程中的應(yīng)用很廣泛 ,延拓是Lie變換群很重要的特征。延拓可將作用于自變量和因變量空間上的單參數(shù) Lie變換群轉(zhuǎn)化到作用于其延拓空間上 ,在延拓空間中 ,不僅自變量和因變量 ,而且因變量對(duì)自變量的各階導(dǎo)數(shù)都看成空間變?cè)?。將Lie變換群延拓便于微分方程降階 ,并可用于進(jìn)一步研究微分方程的不變性。本文將熱傳導(dǎo)方程允許的一個(gè)單參數(shù) Lie變換群的無(wú)窮小形式作了二階延拓 ,并給出了作用于空間上的 Lie群的無(wú)窮小形式。單參數(shù) Lie變換群的二階延拓?zé)醾鲗?dǎo)方程 ut=uxx允許為一個(gè)單參數(shù) Lie變換群，由此知作用于空間上無(wú)窮小生成元，相繼在這方面解決了遇到的不少難題。目前變換群對(duì)于其他學(xué)科的聯(lián)系以及應(yīng)用就如此之多，我相信隨著科技的發(fā)展。它們之間的聯(lián)系和應(yīng)用還會(huì)繼續(xù)或者增加。不僅如此，或許變換群對(duì)于現(xiàn)在還無(wú)聯(lián)系和應(yīng)用的學(xué)科以后也會(huì)有著重要作用。由于時(shí)間緊迫以及我們對(duì)于知識(shí)的理解程度問(wèn)題，只能將變換群與其他學(xué)科的聯(lián)系和應(yīng)用了解到這里。我知道我們可能存在著許多問(wèn)題以及對(duì)知識(shí)理解的錯(cuò)誤，不過(guò)以后的我們會(huì)一直努力的?！　　∽儞Q群的作用可大可小，小到人際交往，大到科技的發(fā)展；由此可見，它所涉及的范圍是多么的廣泛。接下來(lái)只是簡(jiǎn)要的介紹變換群的部分應(yīng)用。在1872年，克萊因在愛爾蘭根大學(xué)的就職演說(shuō)中提出，每種幾何學(xué)就是研究相應(yīng)的變換群下不變性質(zhì)和不變量的科學(xué)。因此，按照群論原則，一種變換群對(duì)應(yīng)一門幾何學(xué)：研究在等距變換和相似變換下圖形的不變形和不變量形成了歐式幾何學(xué)；研究在仿射變換下圖形的不變形和不變量形成了仿射幾何學(xué)；研究在射影變換下圖形的不變形和不變量形成了射影幾何學(xué)。變換群思想的精髓在于把握變換中的不變性質(zhì)與不變量。在還沒(méi)有學(xué)“變換群”時(shí)，感覺(jué)是一個(gè)很陌生的知識(shí)，但是在學(xué)習(xí)過(guò)程中，慢慢的覺(jué)得它是一個(gè)很熟悉的知識(shí)點(diǎn)。其實(shí)在我們以前所做的高考試題中就已經(jīng)用到了變換群的思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，變換的應(yīng)用不勝枚舉：數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、三角恒等變換等等，以變換群思想解題即利用變換群中的不變性與不變量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易解決的問(wèn)題，其中抓住不變性與不變量對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)解題的捷徑?，F(xiàn)在就列舉幾個(gè)變換群思想在高考題中的應(yīng)用的問(wèn)題。函數(shù)問(wèn)題：函數(shù)圖像的平移、關(guān)于定直線對(duì)稱、繞某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)都體現(xiàn)了變換群的思想。這些變換屬于等距變換，即只改變圖形位置不改變圖像的形狀，任意兩點(diǎn)間的距離以及任意兩相交線段間的夾角。解析幾何問(wèn)題：平面解析幾何問(wèn)題是通過(guò)坐標(biāo)系用代數(shù)方法來(lái)確定平面圖形的幾何性質(zhì)，這些幾何性質(zhì)的代數(shù)表達(dá)式與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，它們都是坐標(biāo)變換下的不變量，因?yàn)樽鴺?biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)變換與點(diǎn)的平移和旋轉(zhuǎn)變換，只不過(guò)是同一個(gè)代數(shù)變換式的不同的幾何解釋而已。利用向量的代數(shù)幾何“二重性”，將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行幾何形式與代數(shù)形式間的轉(zhuǎn)化，其中顯然蘊(yùn)含著變換群的思想。立體幾何中的翻折問(wèn)題：立體幾何問(wèn)題中經(jīng)常涉及平面圖形按照某種要求翻折，轉(zhuǎn)化為空間圖形。這種圖形變換屬于翻折變換。作翻折變換的半平面內(nèi)的元素保持原有性質(zhì)和位置關(guān)系，利用變換群思想解決立體幾何問(wèn)題就是把握其中的不變性和不變量，并將這些條件歸結(jié)在翻折后的立體幾何圖形中，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)條件和求解明朗化的立體幾何問(wèn)題。坐標(biāo)系變換問(wèn)題：在一些幾何問(wèn)題中，特別是圓錐曲線問(wèn)題的求解過(guò)程中，利用極坐標(biāo)通常能使運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化。直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系間的變化蘊(yùn)含著變換群的思想：雖然選取坐標(biāo)系不同，但圖形的幾何性質(zhì)與幾何量與坐標(biāo)的選取無(wú)關(guān)。可以選取或變換適當(dāng)坐標(biāo)系，提高解題效率。 Gayley定理Gayley定理：任何一個(gè)群G都同構(gòu)于G上（作為集合）全變換群的一個(gè)子群。Gayley定理說(shuō)明任何群G都同構(gòu)于G上的某個(gè)變換群。我們?cè)谥苯友芯咳篏性質(zhì)不方便的時(shí)候，可以變換一下，我們可以去研究與其同構(gòu)的變換群，因?yàn)閮蓚€(gè)同構(gòu)的群具有完全一樣的運(yùn)算性質(zhì)，并且其代數(shù)結(jié)構(gòu)也完全一樣。例如：證明具有給定階n的互不同構(gòu)的有限群只有有限個(gè)。證明：Gayley定理斷言,有限群G同構(gòu)于G上的變換群，設(shè)G的階為n，則G同 構(gòu)與的子群，而的子群只有有限個(gè)故只有有限個(gè)不同構(gòu)的n階群。利用對(duì)稱變換群的原理對(duì)計(jì)算機(jī)斷層掃描(CT)重建中的濾波反投影算法(FBP)進(jìn)行了優(yōu)化，降低了算法中反投影部分的計(jì)算復(fù)雜度，從而得到一個(gè)快速重建算法。由于反投影的計(jì)算在FBP算法中耗時(shí)最多，所以新算法明顯加快了圖像重建的速度，通過(guò)與已有算法的比較，新算法在同等條件下重建速度可以提高一倍以上。 人際交往人們的口中總是念叨著這樣一句話：朋友多了路好走。其實(shí)不要小看這人們隨口說(shuō)出的話，其實(shí)其中蘊(yùn)含著一定數(shù)學(xué)知識(shí)。在我們做一道題百思不得其解的時(shí)候，只要我們變換一下方法，我們?nèi)?wèn)一下同學(xué)，那不是得到解決了嗎！在請(qǐng)人幫忙時(shí)，因?yàn)楹蛣e人不熟，可能事情進(jìn)展的不順利，可能會(huì)吃很多的閉門羹；如果這時(shí)有熟人可以在中間幫你一把，可能問(wèn)題就迎刃而解了。通過(guò)上面介紹幾個(gè)變換群的應(yīng)用，它們都具有這樣的共同點(diǎn)：復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。它可以把棘手問(wèn)題轉(zhuǎn)化到相對(duì)簡(jiǎn)單的方面。我總結(jié)了一下變換群的思想主要依靠了：不變性，變換。不變性：是實(shí)施變換的前提。變換：是措施。在得到不變的結(jié)論以后，再實(shí)施變換。所以變換對(duì)不變性是有著依存關(guān)系的。 對(duì)變換群未來(lái)應(yīng)用的預(yù)測(cè) 變換群是一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)名詞，但經(jīng)過(guò)前面從誕生、發(fā)展到與各個(gè)學(xué)科的聯(lián)系的介紹，我相信對(duì)變換群有了一個(gè)大體的了解。變換群的應(yīng)用很廣泛，在不同的領(lǐng)域有著不同的應(yīng)用，比如在物理中帶電粒子束在束流光學(xué)系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)射相圖與粒子分布函數(shù)的變換等。當(dāng)然，變換群絕不會(huì)停留在現(xiàn)在的應(yīng)用而不向前發(fā)展，通過(guò)對(duì)變換群在現(xiàn)在的幾個(gè)方面的應(yīng)用，分析它將在這些領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展和預(yù)測(cè)它的發(fā)展軌跡。 變換群在現(xiàn)代幾何學(xué)的應(yīng)用前景分析 根據(jù)高等教育出版社出版的《現(xiàn)代幾何學(xué)：方法與應(yīng)用》（第五版第一卷和第二卷）關(guān)于變換群的介紹，我對(duì)變換群在幾何學(xué)中的應(yīng)用有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，下面我根據(jù)自己的理解做一下簡(jiǎn)單的介紹：歐式空間的最簡(jiǎn)單的變換群假設(shè)在n維空間中有兩個(gè)區(qū)域：區(qū)域A，其坐標(biāo)為,…,和區(qū)域B，坐標(biāo)為,…,.另外假設(shè)區(qū)域B中每個(gè)點(diǎn)被指定了區(qū)域A中一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使=(,…,),i=1,…,…,表示,…,，即=(,…,),j=1,…,n,那么就說(shuō)給出了從區(qū)域B到A上的一個(gè)變換。若給定一個(gè)區(qū)域A， （1）對(duì)A中的任意三個(gè)元素g,h,f滿足：(f。g)。h=f。（g。h）。（2）對(duì)A中任意的元素g，存在元1∈A，使得1。g=g。1=g（群A的單位元）；（3）對(duì)A中任意的元素g, g。（ ）=1,。則稱所給的區(qū)域A上的所有變換構(gòu)成一個(gè)群，稱為變換群。 該變換群經(jīng)過(guò)平移、伸縮和平移連同