【文章內(nèi)容簡介】 ()稱為第階模態(tài)向量，反映該階模態(tài)的振動形狀。由各階模態(tài)向量組成()階的模態(tài)矩陣為。()式中的為第階模態(tài)坐標(biāo)，可以理解為各階模態(tài)對響應(yīng)的加權(quán)系數(shù)。一般來說，能量主要集中于低階模態(tài)，所以與高階模態(tài)相比低階模態(tài)具有較大的系數(shù)。令可以將系統(tǒng)的響應(yīng)列向量表示為 ()將()式帶入()式得到 ()下面分別從有阻尼和無阻尼兩種情況討論。①無阻尼自由振動 對于無阻尼系統(tǒng)矩陣，此時()式成為 ()即 ()對第r階模態(tài)有： ()上式左乘，可得 ()可得對于第s階模態(tài)的()式進(jìn)行轉(zhuǎn)置并右乘.，得 ()由于K, M為對稱陣，有那么( )式與()式相減得到 ()通常情況下：所以可得 ()同樣可得當(dāng)時，由()式可得令 () ()其中與分別稱為第r階的模態(tài)剛度及模態(tài)質(zhì)量。由振動理論，一個無阻尼系統(tǒng)的各階模態(tài)稱為主模態(tài)。各階模態(tài)向量所張成的空間稱為主空間，其相對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)，各階主模態(tài)在其N維主空間中正交。由以上公式正好證明了模態(tài)的這個重要特性即模態(tài)正交性。對(2..14)式左乘，并由正交性可得即： ()其中[Kr]和[Mr]均為對角陣。由此可以看出，原運動方程變?yōu)榱朔邱詈系姆匠探M。②有阻尼系統(tǒng)對于有阻尼的系統(tǒng)，通常情況下假設(shè)為比例阻尼就可以得到比較好的近似解，其運動微分方程為 ()比例阻尼滿足下列條件 ()其中為比例系數(shù)。對其進(jìn)行解耦變換 ()通常情況下并不是對角陣，這使得求解變得非常復(fù)雜，在工程中對其進(jìn)行忽略非對角元素的近似處理，簡化為對角陣，稱為模態(tài)阻尼。由此可將系統(tǒng)的運動方程表示為 ()即對第r階模態(tài)有： ()其中[9]本文對數(shù)控車床主軸箱從理論計算進(jìn)行了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的分析和研究即進(jìn)行了模態(tài)分析。有限元分析（PEA）的基本思想是用較簡單的問題替代復(fù)雜的問題后再求解。它將求解域看成是由愈多稱為有限元的小的互聯(lián)子域組成，對每一個單元假定一個合適的（較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件的解。這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜情況，因而有限元分析成為較之一有效的工程分析手段。[10]當(dāng)前有限元法已由線性到非線性問題，如塑性分析和疲勞分析；由靜力分析到動力分析；由彈性力學(xué)的平面問題擴展到了空間問題、板殼問題，而且擴展到各個領(lǐng)域，如流體力學(xué)、電磁學(xué)、傳熱學(xué)等。有限元基本思想是假象把彈性連續(xù)體分隔成數(shù)目有限的單元，并認(rèn)為相鄰單元之間僅在節(jié)點處相連。因為物體的載荷特性、幾何形狀特性、邊界約束特性等不同，單元可以分為各種類型。單元邊界上的點一般稱為節(jié)點，而節(jié)點的位移分量就是結(jié)構(gòu)的基本位置量，這樣就組成了有限單元體，由于節(jié)點數(shù)目有限，而又引進(jìn)了節(jié)點約束條件和等效節(jié)點力，這樣就構(gòu)成了有限個連續(xù)體，同時利用分塊相似的思想，在每一個單元了假設(shè)用一個簡單的函數(shù)來近似代替位移分量的分布規(guī)律，這個函數(shù)就是位移模式，然后通過虛功原理來構(gòu)成每個單元的方程這樣就建立起節(jié)點力與位移之間的關(guān)系。最后，按照保持節(jié)點位移連續(xù)即變形協(xié)調(diào)條件以及節(jié)點力平衡的方式把所有單元集合起來，就可以獲得整個系統(tǒng)的平衡方程組，在引入邊界約束條件后，就可以解方程組來獲得節(jié)點位移，然后通過計算得出各單元應(yīng)力。有限元的實質(zhì)就是把彈性連續(xù)體理想化為有限個單元幾何體，使問題簡化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題。有限元法的求解基本步驟分述如下①離散化把連續(xù)系統(tǒng)（連續(xù)體、連續(xù)介質(zhì)、連續(xù)區(qū)間等）劃分為一定數(shù)目的選定的形狀的單元，把單元之間的連接點稱為節(jié)點，單元之間的相互作用只能通過節(jié)點進(jìn)行，在節(jié)點上引進(jìn)等效載荷或者邊界條件，代替實際作用在系統(tǒng)上的外載荷或者邊界條件。有這種單元的集合體（離散系統(tǒng)）來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。有限元離散化過程中的一個重要環(huán)節(jié)是單元類型的選擇，這應(yīng)根據(jù)被分析結(jié)構(gòu)的幾何形狀特點，然后考慮載荷、約束、計算精度等的約束和要求以及求解該問題需要的空間坐標(biāo)的等問題來選擇合適的單元類型。離散化處理實質(zhì)上就是將原來的具有無限單元的連續(xù)變量系統(tǒng)微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化為只包含有限個節(jié)點變量的代數(shù)方程。②單元分析對每一個單元由分塊近似的思想，按一定的規(guī)則（由力學(xué)關(guān)系或選擇一個簡單的函數(shù)）建立求解未知量（如結(jié)點位移）與結(jié)點相互作用（力）之間的關(guān)系。在結(jié)構(gòu)的離散化完成以后，在每個單元的局部范圍里就可以比較容易的采用一個簡單的函數(shù)來近似表達(dá)單元的真實位移，也就是位移是某種簡單的函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)。這是單元分析的第一步。這樣在有限元法中就可以用節(jié)點位移表示單元的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。普遍地選擇多項式作為位移模式，至于多項式的項數(shù)和階次則要考慮到單元的自由度數(shù)和有關(guān)解的收斂性的要求，一般多項式階次應(yīng)包括常數(shù)項和線性項。在選擇了單元類型和相應(yīng)的位移模式后，就可以進(jìn)行單元特性的分析，它包括下面三部分內(nèi)容:1)利用幾何方程導(dǎo)出用節(jié)點位移表示單元應(yīng)變的關(guān)系式式中是單元內(nèi)應(yīng)變列陣。稱為應(yīng)變矩陣。2)利用物理方程，由應(yīng)變的表達(dá)式導(dǎo)出用節(jié)點位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式式中是單元內(nèi)應(yīng)力列陣。是與材料有關(guān)的彈性矩陣。稱為應(yīng)力矩陣。3)利用虛功原理建立各單元的剛度矩陣，即單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。其剛度方程為式中稱為單元剛度矩陣，是單元的節(jié)點力矩陣，是單元節(jié)點位移和單元節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換矩陣?？梢詫?dǎo)出 實際上離散系統(tǒng)是一個線性代數(shù)方程組，每個方程表示了在單元內(nèi)某個節(jié)點在某個自由度上力的平衡。在以上三項中，單元特性分析的核心內(nèi)容就是求解出單元剛度矩陣。[11]③整體分析把所有單元的特性關(guān)系按一定的條件集合起來（變形協(xié)調(diào)條件、平衡條件等），構(gòu)成一組以結(jié)點變量（位移、溫度、電壓等）為未知量的代數(shù)方程組，引入邊界條件，求解方程就得到有限個結(jié)點處的待求變量。因為相鄰單元在公共節(jié)點上的位移相同及變形協(xié)調(diào)條件，而且每個節(jié)點要保持平衡即節(jié)點力以及節(jié)點載荷保持平衡及平衡條件，所以可以對系統(tǒng)進(jìn)行整體分析。它內(nèi)容主要有兩個方面:一是根據(jù)各單元的剛度矩陣進(jìn)行耦合構(gòu)成整體結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣[K]。二是根據(jù)各單元的等效節(jié)點力來集合成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)總的載荷矩陣{R}.這樣就組成了整體結(jié)構(gòu)的總體剛度方程，又稱為系統(tǒng)的整體平衡方程組式中，其中為節(jié)點上的集中力。為各單元在節(jié)點處的等效節(jié)點載荷的和。 ANSYS軟件簡介ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。由世界上最大的有限元分析軟件公司之一的美國ANSYS公司開發(fā)，它能與多數(shù)CAD軟件接口，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計中的高級CAD工具之一。軟件主要包括三個部分：前處理模塊、分析計算模塊和后處理模塊[12]。前處理模塊提供了一個強大的實體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構(gòu)造有限元模型，該模塊用于定義求解所需的數(shù)據(jù)，用戶可選擇坐標(biāo)系統(tǒng)、單元類型、定義實常數(shù)和材料特性、建立實體模型并對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分、控制節(jié)點和單元，以及定義耦合和約束方程等。分析處理模塊包括結(jié)構(gòu)分析（可進(jìn)行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動力學(xué)分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析和優(yōu)化分析能力。在前處理階段完成建模后，用戶可在分析處理模塊進(jìn)行求解以獲得分析結(jié)果。后處理模塊可將計算結(jié)果以彩色等值線顯示。梯度顯示。矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明和半透明顯示等圖形方式顯示出來，也可將計算結(jié)果以圖表、曲線形式顯示或輸出。ANSYS技術(shù)特點有：可實現(xiàn)多場以及多場耦合功能，融前后處理與分析求解于一體，具有強大的非線性分析功能，具有智能網(wǎng)格劃分功能，具有流場優(yōu)化功能的CFD軟件。3 主軸箱有限元模型及模態(tài)分析主軸箱是主軸部件中重要的一部分，其動態(tài)特性非常重要，那么要分析其動態(tài)特性就需要有主軸箱的有限元模型。首先用UG軟件根據(jù)主軸箱零件圖畫出主軸箱的三維視圖，然后導(dǎo)出IGES文件。三維圖如下。CHK32型主軸箱的毛坯是鑄造得到的，然后進(jìn)行粗加工形成箱體，箱體外部加強筋是倒了圓角的，而且對主軸箱外部各個邊都進(jìn)行了倒角處理。因為在建立有限元模型中，倒圓以及倒角會產(chǎn)生畸形網(wǎng)格，從而影響計算精度，所以在建立主軸箱幾何模型時，要簡化其幾何模型，取消這些倒圓和倒角，這樣就不會影響計算精度，而且也使得網(wǎng)格劃分比較快捷。 主軸箱三維圖然后將igs格式的文件導(dǎo)入ANSYS Workbench進(jìn)行網(wǎng)格劃分。默認(rèn)選擇六面體單元，是20結(jié)點的單元。 主軸箱有限元模型動力響應(yīng)分析的基礎(chǔ)是模態(tài)分析，計算出的模態(tài)可以為運動方程的積分選擇合適的時間或頻率步長，而固有頻率和振型又可以用于模態(tài)頻率響應(yīng)分析和瞬態(tài)響應(yīng)分析中，同時模態(tài)分析可以了解零件的動態(tài)特性，從而可以為進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)改進(jìn)提供科學(xué)基礎(chǔ)。用ANSYS Workbench進(jìn)行模態(tài)分析。首先雙擊Modal，建立新的模態(tài)分析系統(tǒng)，然后在Geometry上點擊右鍵選擇導(dǎo)入模型，從而導(dǎo)入箱體igs文件，然后就雙擊Modal進(jìn)入分析界面。進(jìn)入界面后的求解順序一般為：材料設(shè)定、網(wǎng)格劃分、添加約束、施加載荷、運行求解與查看結(jié)果。主軸箱的材料設(shè)定位結(jié)構(gòu)剛，,，彈性模量為：200000Mpa，然后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在左側(cè)點擊Mesh，對Sizing選項進(jìn)行設(shè)定，設(shè)置為medium，然后進(jìn)行Generate M