初中數(shù)學因式分解含答案競賽題精選(編輯修改稿)
2025-07-15 05:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z) =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)． (3)原式=(a22ab+b2)+(2bc+2ca)+c2 ＝(ab)2+2c(ab)+c2 =(ab+c)2． 本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2+(b)2+c2+2(b)c+2ca+2a(b) =(ab+c)2 (4)原式=(a7a5b2)+(a2b5b7) =a5(a2b2)+b5(a2b2) =(a2b2)(a5+b5) =(a+b)(ab)(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4) =(a+b)2(ab)(a4a3b+a2b2ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c33abc． 本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)． 分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)． 這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導． 解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)． 說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為 a3+b3+c33abc 顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c33abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有 等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論． 例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公式anbn來分解． 解 因為 x161=(x1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以 說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x1)，再除以(x1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用． 2．拆項、添項法 因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解． 例4 分解因式：x39x+8． 分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧． 解法1 將常數(shù)項8拆成1+9． 原式=x39x1+9 =(x31)9x+9 =(x1)(x2+x+1)9(x1) =(x1)(x2+x8)． 解法2 將一次項9x拆
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