【文章內(nèi)容簡介】 三角函數(shù)的定義求出 AC 的長 ， 再由勾股定理求出 BC 的長；設 CD ＝ x ， 用含有 x 的式子表示 BD ， AD 的長 ， 在 Rt △ ACD 中 ， 利用勾股定理列出方程求解 ． （ 1 ） 證明： 如圖 ， 連結 DE . ∵ BD 是 ⊙ O 的直徑 ， ∴∠ D E B ＝ 90 176。 . ∵ E 是 AB 的中點 ， ∴ DA ＝ DB ， ∴∠ 1 ＝ ∠ B ． ∵∠ B ＝ ∠ F ， ∴∠ 1 ＝ ∠ F . （ 2 ） 解： ∵∠ 1 ＝ ∠ F ， ∴ AE ＝ EF ＝ 2 5 ， ∴ AB ＝ 2 AE ＝ 4 5 . 在 Rt △ A B C 中 ， AC ＝ AB si n B ＝ 4 5 55＝ 4 ， ∴ BC ＝ AB2－ AC2＝ ( 4 5 )2－ 42＝ 8. 設 CD ＝ x ， 則 AD ＝ BD ＝ 8 － x . 在 Rt △ ACD 中 ， 由勾股定理 ， 得 AC2＋ CD2＝ AD2， 即 42＋ x2＝ (8 － x )2， 解得 x ＝ 3. ∴ CD ＝ 3. 方法總結： 圓周角定理是把圓周角和圓心角這兩類不同的角聯(lián)系在一起 ， 求圓周角的度數(shù) ， 可通過求同弧所對的圓 心角的度數(shù)得到；當已知條件中有直徑時 ， 常利用直徑所對的圓周角是 90 176。 來求解 ． 如 圖， ? ABCD 的頂點 A ， B ， D 在 ⊙ O 上 ， 頂點 C在 ⊙ O 的直徑 BE 上 ， 連結 AE . 若 ∠ E ＝ 36 176。， 則 ∠ A D C 的度數(shù)是( B ) A ． 44 176。 B ． 54 176。 C ． 72 176。 D ． 53 176。 考點四 圓的性質(zhì)的應用 將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒 ， 水平放置在桌面上．水杯的底面如圖所示 ， 已知水杯內(nèi)徑 ( 圖中小圓的直徑 ) 是 8 cm ， 水的最大深度是 2 cm ， 則杯底有水部分的面積 是 ( ) A ．????163π － 4 3 cm2 B ．????163π － 8 3 cm2 C ．????83π － 4 3 cm2 D ．????43π － 2 3 cm2 【思路點撥】 利用垂徑定理構造直角三角形 ， 然后解直角三角形 ， 求出相關長度和角度 ， 再用 對應扇形的面積減三角形面積即得有水部分的面積 ． 【自主解答】 【解析】 如圖 ， 設水面與小圓的兩個交點為A 和 B ， 連結 OA ， OB ， 過點 O 作 OC ⊥ AB 交AB 于點 D ． ∵ 小圓的直徑是 8 cm ， ∴ OA ＝ OB＝ OC ＝ 4( cm ) ， ∴ OD ＝ 4 － 2 ＝ 2( cm ) ， ∴ AD ＝42－ 22＝ 2 3 ( cm ) ， ∴ AB ＝ 2 AD ＝ 4 3 ( cm ) ． 在 Rt △ A O D 中 ， cos ∠ A O D ＝ODAO＝24＝12， ∴∠ A O D ＝ 60 176。 .同理 ∠ B O D ＝ 60 176。 ， ∴∠ A O B ＝ 120 176。 .∴ S ＝ S扇形 A OB－ S△ AO B＝120 π 42360－12 4 3 2＝????163π － 4 3 cm2.故選 A ． 答案： A 方法總結： 解決與圓的 性質(zhì)及定理有關的問題時 ， 常作的輔助線是連結半徑 ， 構造直角三角形 ． 如圖是一圓柱形輸水管的橫截面 ， 陰影部分為有水部分 ， 如果水面 AB 寬為 8 cm ， 水的最大深度為 2 cm ， 則該輸水管的半徑為 ( C ) A ． 3 cm B ． 4 cm C ． 5 cm D ． 6 cm 當堂達標訓練 1. 如圖 ， 在 ⊙ O 中 ， 點 C 是 AB︵的中點 ， 若 ∠ A ＝ 50 176。， 則 ∠ B O C的度數(shù) 是 ( A ) A ． 40 176。 B ． 45 176。 C ． 50 176。 D ． 60 176。 2. 如圖 ，在 ⊙ O 中 ， OC ⊥ AB ， ∠ A D C ＝ 32 176。， 則 ∠ O B A 的度數(shù)是 ( D ) A ． 64 176。 B ． 58 176。 C ． 32 176。 D ． 26 176。 3. 如圖 ， 四邊形 A BCD 為 ⊙ O 的內(nèi)接四邊形 ， ∠ B CD ＝ 1 20 176。，則 ∠ B O D 的度數(shù)是 ( B ) A ． 80 176。 B ． 1 20 176。 C ． 100 176。 D ． 90 176。 4. 如圖 ， AB 是 ⊙ O 的 直徑 ， 弦 CD 交 AB 于點 P ， A P ＝ 2 ，BP ＝ 6 ， ∠ A PC ＝ 30 176。， 則 CD 的長為 ( ) A ． 15 B ． 2 5 C ． 2 15 D ． 8 【解析】 如圖 ， 過點 O 作 OE ⊥ CD ， 垂足為 E ， 連結 O C ． ∵ AP ＝ 2 ， BP ＝ 6 ， AB 是 ⊙ O 的直徑 ， ∴ AB＝ 8 ， AO ＝ OC ＝ 4 ， ∴ OP ＝ AO － AP ＝2. ∵∠ A PC ＝ 30 176。 ， ∴∠ O P E ＝ 30 176。 ， OE ＝ 12OP ＝ 1. 在 Rt △ C O E 中 ， ∠ O E C ＝ 90 176。 ， OE＝ 1 ， OC ＝ 4 ， ∴ CE ＝ OC2－ OE2＝ 15 ， ∴ CD ＝ 2 CE ＝ 2 15 .故選 C ． 答案： C 5 ．如圖 ， 半徑為 5 的 ⊙ A 中 ， 弦 BC ， ED 所對的圓心角分別是 ∠ BAC ， ∠ EAD ． 已知 DE ＝ 6 ， ∠ BAC ＋ ∠ EAD ＝ 180 176。， 則弦BC 的弦心距等于 ( ) A ．412 B ．342 C ． 4 D ． 3 【解析】 如圖 ， 作 AH ⊥ BC 于點 H ， 作直徑 CF ， 連結BF .∵∠ BAC ＋ ∠ E A D ＝ 180 176。 ， 而 ∠ BAC ＋∠ B A F ＝ 180 176。 ， ∴∠ D A E ＝ ∠ B A F ， ∴ DE︵＝BF︵， ∴ DE ＝故 BF ＝ 6. ∵ AH ⊥ BC ， ∴ CH ＝ BH .而 CA ＝ AF ， ∴ AH 為 △ CBF 的中位線 ， ∴ AH ＝12BF ＝ 3. 故 選 D ． 答案： D 6 ． ( 2 0 1 7 紹興、義烏 ) 如圖 ， 一塊含 45 176。 角的三角尺 ，它的一個銳角頂點 A 在 ⊙ O 上 ， 邊 AB ， AC 分別與 ⊙ O 交于點 D ， E ，則 ∠ DOE 的度數(shù)為 90 176。 ． 7 ． 如圖 ， 在以點 O 為圓心的兩個同心圓中 ， 大圓的弦 AB 交小圓于點 C ， D ． ( 1)