軌跡方程求法匯總(編輯修改稿)
2025-07-13 19:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)， 消去k，得x＋2y－5＝0。 另外，當(dāng)k＝0時，AB中點(diǎn)為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng)k不存在時，AB中點(diǎn)為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x＋2y－5＝0。 分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時，需注意kk2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形 化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程。分析3：：設(shè)M（x，y），由已知l1⊥l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點(diǎn)坐標(biāo)表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由M為AB的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M（x，y），∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點(diǎn)P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，從而kPAkPB＝－1， 注意到l1⊥x軸時，l2⊥y軸，此時A（2，0），B（0，4） 中點(diǎn)M（1，2），經(jīng)檢驗，它也滿足方程x＋2y－5＝0 綜上可知，點(diǎn)M的軌跡方程為x＋2y－5＝0?！军c(diǎn)評】1） 解法1用了參數(shù)法，消參時應(yīng)注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運(yùn)用了kPAkPB＝－1，這些等量關(guān)系。用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2 +y2= 4 外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。 解法一：“幾何法” 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,因為點(diǎn)M 是弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC, 所以|OM | ２＋|ＭＡ|２?。絴ＯＡ| ２ ，即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16 化簡得：（x－2）2+ y2 =4................................① 由方程 ① 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)M的軌跡方程為 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法” 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x－4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0...........(*),由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以x=...............(1) , 又OM⊥BC，所以k=.................(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2≤,所以x＜1.所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程 例4. 軌跡方程。
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