線性回歸方程的求法(編輯修改稿)
2025-06-08 22:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 60000800001000001202201992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2022 2022 2022 2022年GDP函數(shù)模型： abxy ??回歸模型： eabxy ???可以提供 選擇模型的準(zhǔn)則 函數(shù)模型與回歸模型之間的差別 函數(shù)模型： abxy ??回歸模型： eabxy ??? 線性回歸模型 y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng) e，因變量 y的值由自變量 x和隨機(jī)誤差項(xiàng) e共同確定，即 自變量 x只能解析部分 y的變化 。 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量 x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量。 例 1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取 8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表 11所示。 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。 案例 1：女大學(xué)生的身高與體重 解： 選取身高為自變量 x，體重為因變量 y，作散點(diǎn)圖： 由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程 刻畫它們之間的關(guān)系。 從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數(shù) y=bx+a描述它們關(guān)系。 我們可以用下面的 線性回歸模型 來(lái)表示： y=bx+a+e，其中 a和 b為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機(jī)誤差 。 例 1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取 8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表 11所示。 59 43 61 64 54 50 57 48 體重 /kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高 /cm 8 7 6 5 4 3 2 1 編號(hào) 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。 根據(jù)最小二乘法估計(jì) 和 就是未知參數(shù) a和 b的最好估計(jì)， a b制表 xi2 xi yi yi xi 7 8 合計(jì) 6 5 4 3 2 1 i 2i i ix y x x y? ? ? ???nni= 1 i= 1 ， ， ， .例 1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取 8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表 11所示。 59 43 61 64 54 50 57 48 體重 /kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高 /cm 8 7 6 5 4 3 2 1 編號(hào) 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。 根據(jù)最小二乘法估計(jì) 和 就是未知參數(shù) a和 b的最好估計(jì)， a b于是有 b= 1221niiiniix y n x yx n x????????8 5 .7 1 2a y b x? ? ? ?所以回歸方程是 0 . 8 4 9 8 5 . 7 1 2yx??所以，對(duì)于身高為 172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 0 . 8 4 9 7 2 8 5 . 7 1 2 6 0 . 3 1 6 ( )y k g? ? ? ?( , )xy 稱 為樣 本 點(diǎn) 的 中 心探究 P4： 身高為 172cm的女大學(xué)生的體重一定是 ？如果不是，你能解析一下原因嗎？ 探究 P4： 身高為 172cm的女大學(xué)生的體重一定是 ？ 如果不是，你能解析一下原因嗎？ 答：身高為 172cm的女大學(xué)生的體重不一定是 ， 但一般可以認(rèn)為她的體重在 。 對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 表 14列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)， 是否可以用回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)。 殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過(guò)殘差 來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)， 這方面的分析工作稱為殘差分析 。 12, , , ne e e編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 殘差 我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本 編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為 殘差圖 。 殘差圖的制作及作用。 ? 坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； ? 若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域 ； ? 對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意 。 身高與體重殘差圖 異常點(diǎn) ? 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) ? 模型問(wèn)題 幾點(diǎn)說(shuō)明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第 6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過(guò)程中
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