第一章電子、空穴和能帶概念(編輯修改稿)
2025-07-13 18:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 這也是從戴維森及蓋哥實驗推知的。由前已知與確定能量、動量粒子相對應的波具有平面波特性，因而可以寫成：寫成復指數(shù)形式，進一步利用德布羅衣關(guān)系可得：進一步推導利用自由粒子能量和動量關(guān)系式：，可得：此即自由粒子的薛定顎方程。同時，由上面推導過程可推出：這兩個算苻依次分別稱為能量算苻、動量算苻?，F(xiàn)在利用這兩個算苻來建立在外場中粒子波函數(shù)所滿足的微分方程。設粒子在外場的勢能U(r)，這樣，粒子的能量就可以利用漢彌頓算苻表示為：上式兩邊同乘以波函數(shù)后代入能量、動量算苻后，上式變?yōu)椋哼@個方程稱為薛定顎波動方程，它描寫勢場U(r)中粒子波函數(shù)隨時間的變化。2. 多粒子系統(tǒng)的薛定顎方程對于n個粒子所組成的多粒子體系。以r1，r2，…，rn表示這個n粒子的坐標，那么描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)y是r1，r2，…，rn的函數(shù)，整個多粒子體系的能量由哈密頓算苻可得式中mi為第i個粒子的質(zhì)量，Pi為第i個粒子的動量，而U(r1，r2，…，rn) 則是整個系統(tǒng)的勢能，它包括體系在外場中的能量和粒子間相互作用能量。在做變換后，可以得出多粒子體系的薛定顎方程:3. 定態(tài)薛定顎波動方程一般勢函數(shù)是時間t的函數(shù)。如果假定勢能與時間無關(guān)，那么可以利用分離變量求解上式將上式代入薛定顎方程，兩邊同除以上式令上式兩邊等于H，上式可變?yōu)橄铝袃墒接傻谝皇降玫剑簩⑸鲜酱?，可? （1）比較上式和德布羅衣波函數(shù)形式顯然，而由德布羅衣關(guān)系可知：，由此可以得到H——E。因而，體系處于（1）式所描寫的狀態(tài)時，能量具有確定值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)。而形如的方程稱為定態(tài)薛定顎方程。由于，因而將稱為能量算苻，又稱為哈密頓算苻。當U＝0時，對應的是自由空間中粒子的薛定顎方程，如果m為電子質(zhì)量，則可以通過求解此方程的一維解為 （1）三、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1. 有人認為波是由它所描寫的粒子組成的。這種看法是不正確地的。我們知道，衍射現(xiàn)象是由波的干涉而產(chǎn)生的，如果真是由它所描寫的粒子所組成，則粒子流的衍射現(xiàn)象應當是由于組成波的這些粒子相互作用而形成的。但事實證明，在粒子流衍射試驗中，照片上所顯示出來的衍射圖樣和入設粒子流強度無關(guān)，也就是說和單位體積內(nèi)的粒子數(shù)無關(guān)。如果減小入射粒子流強度，同時延長實驗時間，使投射到照片上粒子總數(shù)保持不變，則得到的衍射圖樣將完全相同。即使是把粒子流強度減小到使得粒子一個一個地被衍射，只要經(jīng)過足夠長的時間，所得衍射圖樣也還是一樣。這說明每個粒子被衍射的現(xiàn)象和其它粒子無關(guān)，衍射圖樣不是由粒子間相互作用產(chǎn)生的。2. 玻恩（Born）解釋為了說明波恩的解釋，我們?nèi)匀豢疾焐厦媪Ｗ友苌湓囼灐Ｈ绻肷潆娮恿鲝姸群艽?，即單位時間內(nèi)有很多電子被晶體反射，則照片上很快就出現(xiàn)衍射圖樣。如果入射電子流很小，電子一個一個地從晶體表面上反射，這時照片上就出現(xiàn)一個一個地點子，顯示出電子地微粒性。隨著時間的延長，點子數(shù)目逐漸增多，它們在照片上的分布就形成了衍射圖樣，顯示出電子的波動性。由此可見，實驗所顯示的電子的波動性是許多電子在同一實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。波函數(shù)正是為描寫粒子的這種行為而引進的。玻恩就是在這個基礎(chǔ)上，提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，即：波函數(shù)在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成比例。按照這種解釋，描寫粒子的波乃是幾率波。167。 利用薛定顎方程求解氫原子氫原子中電子是位于質(zhì)子和電子的庫侖力所形成的勢場中，因此定態(tài)薛定顎方程中的勢函數(shù)因而，依據(jù)多粒子體系的薛定顎方程，氫原子系統(tǒng)的薛定顎方程可以寫為其中i = 1，2分別表示質(zhì)子和電子。如果以（x，y，z）表示電子相對于原子核的坐標，以 (X，Y，Z) 表示體系質(zhì)心的坐標：則同樣可以得到的變換式。將這些式子代入薛定顎方程可得相對坐標和質(zhì)心坐標表示的薛定顎方程進一步設利用分離變量法求解。求解的詳細過程見《量子力學教程》，周世勛編，p71－77。最后，求得氫原子的能級這里，u為電子質(zhì)量。從上述求解氫原子的過程可以看到，微觀粒子處在一個個分離的、而不是連續(xù)的能級中。微觀粒子只有獲得一定的能量后，才能從一個能級躍遷到另一個能級。當然，這其中伴隨著能量的吸收和發(fā)射。167。 能帶模型一、晶格常見的晶體往往是凸多面體，圍成這個凸多面體的面是光滑的，稱為單晶。單晶外形上最顯著的特征是晶面有規(guī)則的配置，晶態(tài)物質(zhì)在適當?shù)臈l件下都能自發(fā)地發(fā)展為單晶。布喇菲的空間點陣學說：晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是一些有相同的點子在空間有規(guī)則地作周期性的無限分布。這些點子的總體稱為點陣。此定義中的點子代表了結(jié)構(gòu)周期中相同位置，又稱為結(jié)點。這些節(jié)點可以是原子本身，也可以是基元（分子結(jié)構(gòu)）中心。晶格：通過點陣中的結(jié)點，可以做許多平行的直線族和平行的晶面族。這樣，點陣就成為一些網(wǎng)絡，成為晶格，晶格呈周期性排布?；兄挥幸粋€原子的晶格稱為布拉菲格子，基元中有兩個/或兩個以上原子的晶格稱為復式格子。 為了深入了解固體的電特性，必須對固體中電子狀態(tài)和運動規(guī)律加以了解。這里，固體能帶論是目前研究固體
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