第一章電子、空穴和能帶概念(參考版)
2025-06-19 18:02本頁(yè)面
【正文】 試解釋有效質(zhì)量的意義。習(xí)題 試解釋量子力學(xué)薛定顎方程中波函數(shù)的物理意義。由于價(jià)帶頂部電子有效質(zhì)量小于零。k的絕對(duì)值不斷增大，E(k) 曲線(xiàn)不斷增大，由hv=dE/dk可知，價(jià)帶中的電子（空穴）的運(yùn)動(dòng)速度不斷增大。通常把價(jià)帶中空著的狀態(tài)看成是帶正電的粒子，稱(chēng)為空穴。其運(yùn)動(dòng)和電子的k狀態(tài)完全相同。B，B174。這就是說(shuō)，電自從左邊離開(kāi)布里淵區(qū)，從右邊進(jìn)入布里淵區(qū)。Y，Y174?？梢钥吹剑娮拥膋狀態(tài)不斷隨時(shí)間變化，其變化率為。由于k狀態(tài)在布里淵區(qū)內(nèi)分布均勻，這時(shí)除A點(diǎn)外，所有的k狀態(tài)均被電子占據(jù)。上圖描述了布里淵區(qū)的E(k)與k的關(guān)系。由于這些電子在導(dǎo)帶底附近，所以它們的有效質(zhì)量是正的。 絕對(duì)溫度為零時(shí)，純凈半導(dǎo)體的價(jià)帶被價(jià)電子占滿(mǎn)，導(dǎo)帶是空的，不導(dǎo)電。4. 空穴的有效質(zhì)量 根據(jù)以上討論，電子可以在晶體中作共有化運(yùn)動(dòng)，但是，這些電子是否導(dǎo)電，還必須考慮電子填充能帶的情況，不能只看單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)。引進(jìn)有效質(zhì)量后，使問(wèn)題變的簡(jiǎn)單，有效質(zhì)量直接把外力和加速度聯(lián)系起來(lái)，而內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)的作用則由有效質(zhì)量加以概括。電子的加速度應(yīng)該是內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)和外電場(chǎng)作用的綜合效果。即使是沒(méi)有外力的情況下，晶體中的電子，也要受到晶體內(nèi)部勢(shì)場(chǎng)的作用。因?yàn)殡娮拥乃俣扰ck有關(guān)，既然k狀態(tài)不斷變化，則電子的速度必然不斷變化，其加速度帶入有效質(zhì)量表達(dá)式，可得由上式可以看到，在引進(jìn)有效質(zhì)量以后，晶體中電子所受外力與加速度之間的關(guān)系和牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律類(lèi)似。由于有效質(zhì)量有正有負(fù)，因而，電子運(yùn)動(dòng)的平均速度有正有負(fù)。二、晶體中電子的平均速度 加速度1．晶體中電子運(yùn)動(dòng)的平均速度 根據(jù)量子力學(xué)概念，電子的運(yùn)動(dòng)速度可以看作為波包的運(yùn)動(dòng)，波包的群速就是電子運(yùn)動(dòng)的平均速度。同樣道理，可以知道金屬晶體中，有效質(zhì)量也為正值。用泰勒級(jí)數(shù)將 E(k) 在k=0附近展開(kāi)，取前兩項(xiàng)：因?yàn)?，k=0時(shí)，能量取極小值，所以，因而E(0)為導(dǎo)帶底能量，對(duì)于給定半導(dǎo)體，應(yīng)該是定值，令將上式帶入能量表達(dá)式，得此式與自由空間電子的能量表達(dá)式相類(lèi)似，只是將慣性質(zhì)量變成了此處的，常稱(chēng)為能帶底電子的有效質(zhì)量。 半導(dǎo)體中電子的運(yùn)動(dòng) 有效重量一、半導(dǎo)體中E(k)與k的關(guān)系對(duì)于半導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，起作用的常常是接近于能帶底或能帶頂?shù)碾娮?，因此，只要掌握其能帶底或能帶頂電子底E(k)與k的關(guān)系就足夠了。價(jià)鍵上的電子激發(fā)成準(zhǔn)自由電子的過(guò)程，稱(chēng)為本征激發(fā)。所以在半導(dǎo)體中，導(dǎo)帶中的電子和價(jià)帶中的空穴均參與導(dǎo)電，這是與金屬導(dǎo)電的最大區(qū)別。當(dāng)外界條件發(fā)生變化，例如溫度升高、或有光照時(shí)，滿(mǎn)帶中的電子就有部分被激發(fā)到上面的空帶中，使上面能帶底部有少量電子，這部分電子位于未滿(mǎn)的能帶中，因而在外電場(chǎng)的作用下，這些電子將參與導(dǎo)電；同時(shí)，下面原來(lái)填滿(mǎn)的能帶由于其中有部分電子被激發(fā)到上面，也將出現(xiàn)空電子態(tài)，因而其中的電子在外電場(chǎng)的作用下，也將參與導(dǎo)電。l 絕緣體和半導(dǎo)體的能帶相近似，所圖所示，即下面是已被價(jià)電子占滿(mǎn)的滿(mǎn)能，中間為禁帶，上面為空帶。l 對(duì)于未滿(mǎn)帶，在外電場(chǎng)的作用下，其中的電子只要獲得就可以躍遷到同一個(gè)能帶的另一個(gè)能級(jí)上，能量得以改變，并形成電流，對(duì)電流有貢獻(xiàn)。從能帶論來(lái)看，電子能量的變化，就是從一個(gè)能級(jí)躍遷到另一個(gè)能級(jí)上。由于電場(chǎng)力對(duì)電子的加速作用，使電子的運(yùn)動(dòng)速度和能量都發(fā)生了變化。導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶 固體按其導(dǎo)電性分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體。 注意：由于晶體的具體尺寸遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，波氏k可以取很多個(gè)值。(2) 禁帶出現(xiàn)在 k=n/2a處，即出現(xiàn)在布里淵區(qū)的邊界上(3) 能量分布呈現(xiàn)周期性：E(k) = E(k + n/a)，所以在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，只需考慮－1/2a k 1/2a的區(qū)域就足夠了，只要考慮第一布里淵區(qū)即可。可以看到，當(dāng) 時(shí)，能量出現(xiàn)不連續(xù)，形成一系列的允帶和禁帶。由于u(x)為周期函數(shù)，所以在晶格中各點(diǎn)找到該電子的幾率也具有周期性，這反映了電子不再局限于某一個(gè)原子上，而是可以從晶體中某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到晶體中其它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，因而電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為電子在晶體中的共有化運(yùn)動(dòng)；組成晶體的原子的外層電子共有化運(yùn)動(dòng)較強(qiáng)，其行為與自由電子相類(lèi)似，稱(chēng)為準(zhǔn)自由電子。3．共有化運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)自由電子將Boch定律與自由空間電子波函數(shù)相比較（自由空間波函數(shù)）可以看出，晶體中的電子在周期勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)與自由電子的波函數(shù)相類(lèi)似，都代表一個(gè)波長(zhǎng)為1/k在K方向上傳播的平面波，不過(guò)這個(gè)波的振幅u(k)隨著x作周期性變化，其變化周期與晶格周期相同。但是找出實(shí)際晶體的V(x)很困難，因而只能采取一些近似方法來(lái)求解。例如對(duì)于一維晶格，表示晶格中位置x處的勢(shì)能為V(x) = V( x + sa) (2)其中s為整數(shù)，a為晶格常數(shù)。單電子近似認(rèn)為：晶體中某個(gè)電子是在周期性排列且固定不動(dòng)的原子核勢(shì)場(chǎng)以及其它大量電子平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的。二、能代理論1．單電子近似在量子力學(xué)中，微觀(guān)粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，決定粒子狀態(tài)變化為薛定顎方程。 為了深入了解固體的電特性，必須對(duì)固體中電子狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律加以了解。這樣，點(diǎn)陣就成為一些網(wǎng)絡(luò)，成為晶格，晶格呈周期性排布。這些節(jié)點(diǎn)可以是原子本身，也可以是基元（分子結(jié)構(gòu)）中心。
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