【文章內(nèi)容簡介】 tan∠ CEB 的值 . ? 25535 ADAC 25解析 (1)證明 :∵∠ M=∠ N=∠ ABC=90176。, ∴∠ MAB+∠ MBA=∠ NBC+∠ MBA=90176。, ∴∠ MAB=∠ NBC, ∴ △ ABM∽ △ BCN. (2)過點(diǎn) P作 PM⊥ AP交 AC于點(diǎn) M,過點(diǎn) M作 MN⊥ PC交 BC于點(diǎn) N, 則△ PMN∽ △ APB. ∴ ? =? =tan∠ PAC=? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t. ∵∠ BAP+∠ APB=∠ MPC+∠ APB=90176。,∠ BAP=∠ C, ∴∠ MPC=∠ C,∴ CN=PN=2t. 易得△ ABP∽ △ CBA, ∴ AB2=BPBC,∴ (? t)2=BP( BP+4t), ∴ BP=t,∴ BC=5t, ∴ tan C=? . PNAB PMAP 255 5555? (3)在 Rt△ ABC中 ,sin∠ BAC=? =? ,∴ tan∠ BAC=? =? . 過點(diǎn) A作 AG⊥ BE于點(diǎn) G,過點(diǎn) C作 CH⊥ BE交 EB的延長線于點(diǎn) H, ∵∠ DEB=90176。,∴ CH∥ AG∥ DE, ∴ ? =? =? , 同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH, ∴ ? =? =? =? , 設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴ GH=BG+BH=4m+3n, ∵ AB=AE,AG⊥ BE,∴ EG=BG=4m, ∴ ? =? =? ,∴ n=2m,∴ EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在 Rt△ CEH中 ,tan∠ CEB=? =? . BCAC 35BCAB 34GHEG ACAD 52BGCH AGBH ABBC 43GHEG 434mnm? 52CHEH 314? 思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出 ∠ MAB=∠ NBC,即可得出結(jié)論 。 (2)作 PM⊥ AP,MN⊥ PC,先判斷出△ PMN∽ △ APB,得出 ? =? =? ,設(shè) PN=2t,則 AB=? t,再 判斷出△ ABP∽ △ CBA,設(shè) PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得 BP=t,則 BC=5t,即可得出結(jié)論 。 (3)作 AG⊥ BE,CH⊥ BE,先判斷出 ? =? =? ,同 (1)的方法得 ,△ ABG∽ △ BCH,所以 ? =? = ? =? ,設(shè) BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進(jìn)一步得出關(guān)于 m,n的等式 ,解得 n=2m,最后得出結(jié)論 . PNAB PMAP 255 5GHEG ACAD 52BGCH AGBHABBC 43方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 ,本題涉及的相似三角形 ,要尋 找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 .同時(shí)要注意挖掘題干中不變的幾何特征 ,根據(jù)特征尋方 法 . 11.(2022重慶 ,10,4分 )如圖 ,旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上 ,旗桿與地面垂 直 ,在教學(xué)樓底部 E點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角 ∠ AED=58176。,升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部的距離 DE =7米 ,升旗臺(tái)坡面 CD的坡度 i=1∶ ,坡長 CD=2米 ,若旗桿底部到坡面 CD的水平距離 BC=1米 , 則旗桿 AB的高度約為 ? ( ) (參考數(shù)據(jù) :sin 58176?！?,cos 58176。≈ ,tan 58176?！?) ? 答案 B 如圖 ,延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 BMJC是矩形 . ? 在 Rt△ CJD中 ,? =? =? ,設(shè) CJ=4k,DJ=3k,k0,已知 CD=2, 則有 9k2+16k2=4,解得 k=? , ∴ BM=CJ=? ,DJ=? ,又 ∵ BC=MJ=1, ∴ EM=MJ+DJ+DE=? , 在 Rt△ AEM中 ,tan∠ AEM=? ,∴ tan 58176。=? ≈ , 解得 AB≈ (米 ),故選 B. CJDJ 10 . 7 5 432585 65465AMEM 85465AB?思路分析 延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 J,則四邊形 BMJC是矩形 .在 Rt△ CJD中求 出 CJ、 DJ的長 ,再根據(jù) tan∠ AEM=? 即可解決問題 . AMEM方法總結(jié) 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫出圖 形 ,找到直角三角形 .根據(jù)題目中的已知條件 ,將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題 ,畫 出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 ,若圖中有直角三角形 ,根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì) 算即可 。若圖中沒有直角三角形 ,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決 . 12.(2022河南 ,20,9分 )“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競技項(xiàng)目 ,其比賽器材由高、低兩根 平行杠及若干支架組成 ,運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的 距離 .某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題 ,請你解答 . 如圖所示 ,底座上 A,B兩點(diǎn)間的距離為 90 C到直線 AB的距離 CE的長為 155 cm,高 杠上點(diǎn) D到直線 AB的距離 DF的長為 234 cm,已知低杠的支架 AC與直線 AB的夾角 ∠ CAE為 176。, 高杠的支架 BD與直線 AB的夾角 ∠ DBF為 176。.求高、低杠間的水平距離 CH的長 . (結(jié)果精確到 1 :sin 176?！?,cos 176。≈ ,tan 176。≈ ,sin 176?！?, cos 176。≈ ,tan 176?！?) ? 解析 在 Rt△ CAE中 ,AE=? =? ≈ ? ≈ .? (3分 ) 在 Rt△ DBF中 ,BF=? =? ≈ ? =40.? (6分 ) ∴ EF=AE+AB+BF=+90+40=≈ 151. ∵ 四邊形 CEFH為矩形 ,∴ CH=EF=151. 即高、低杠間的水平距離 CH的長約是 151 cm.? (9分 ) tanCECAE? 155tan ? tan DFDBF? 234tan ? 2345 .8 5 0思路分析 根據(jù) Rt△ CAE和 Rt△ DBF中的邊和角的數(shù)值 ,用正切函數(shù)分別求得 AE,BF的長度 , 得 EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知 CH=EF,可以求出問題的答案 . 方法總結(jié) 解直角三角形的應(yīng)用問題 ,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 ,結(jié)合所給的線段或角 ,借 助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題 ,若幾何圖形中無直角三角形 ,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三 角形 ,再解直角三角形 ,求出實(shí)際問題的答案 . 13.(2022湖北黃岡 ,21,7分 )如圖 ,在大樓 AB正前方有一斜坡 CD,坡角 ∠ DCE=30176。,樓高 AB=60米 , 在斜坡下的點(diǎn) C處測得樓頂 B的仰角為 60176。,在斜坡上的 D處測得樓頂 B的仰角為 45176。,其中點(diǎn) A,C, E在同一直線上 . (1)求坡底 C點(diǎn)到大樓距離 AC的值 。 (2)求斜坡 CD的長度 . ? 解析 (1)在 Rt△ ABC中 ,AB=60米 ,∠ ACB=60176。, ∴ AC=? =20? 米 . (2)過點(diǎn) D作 DF⊥ AB于點(diǎn) F,則四邊形 AEDF為矩形 ,∴ AF=DE,DF=AE. ? 設(shè) CD=x米 ,在 Rt△ CDE中 ,DE=? x米 ,CE=? x米 , 在 Rt△ BDF中 ,∠ BDF=45176。,∴ BF=DF=ABAF=? 米 , ∵ DF=AE=AC+CE,∴ 20? +? x=60? x, 解得 x=80? 120,即 CD=(80? 120)米 . tan 60AB?312 32160 2 x???????332 123 314.(2022山西 ,19,8分 ) 祥云橋位于省城太原南部 ,該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成 ,全橋共設(shè) 13對直線型斜拉索 , 造型新穎 ,是“三晉大地”的一種象征 .某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂 端到橋面的距離”作為一項(xiàng)課題活動(dòng) ,他們制訂了測量方案 ,并利用課余時(shí)間借助該橋斜拉索 完成了實(shí)地測量 .測量結(jié)果如下表 : 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 測量斜拉索頂端到橋面的距離 測量 示意圖 ? 說明 :兩側(cè)最長斜拉索 AC,BC相交于點(diǎn) C,分別與橋面交于 A,B兩點(diǎn) ,且 點(diǎn) A,B,C在同一豎直平面內(nèi) 測量 數(shù)據(jù) ∠ A的度數(shù) ∠ B的度數(shù) AB的長度 38176。 28176。 234米 … … (1)請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù) ,求斜拉索端點(diǎn) C到 AB的距離 (參考數(shù)據(jù) :sin 38176?！?, cos 38176?！?,tan 38176?！?,sin 28176?！?,cos 28176?！?,tan 28176。≈ )。 (2)該小組要寫出一份完整的課題活動(dòng)報(bào)告 ,除上表的項(xiàng)目外 ,你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項(xiàng)目 (寫 出一個(gè)即可 ). 解析 (1)如圖 ,過點(diǎn) C作 CD⊥ AB于點(diǎn) D.? (1分 ) ? 設(shè) CD=x米 ,在 Rt△ ADC中 ,∠ ADC=90176。,∠ A=38176。. ∵ tan 38176。=? ,∴ AD=? ≈ ? =? x.? (2分 ) 在 Rt△ BDC中 ,∠ BDC=90176。,∠ B=28176。. ∵ tan 28176。=? ,∴ BD=? ≈ ? =2x.? (3分 ) ∵ AD+BD=AB=234,∴ ? x+2x=234.? (5分 ) 解得 x=72.? (6分 ) 答 :斜拉索端點(diǎn) C到 AB的距離為 72米 .? (7分 ) (2)答案不唯一 ,還需要補(bǔ)充的項(xiàng)目可為測量工具 ,計(jì)算過程 ,人員分工 ,指導(dǎo)教師 ,活動(dòng)感受等 .? (8分 ) CDAD tan 38CD? 0 . 8x 54CDBD tan 28CD? 0 . 5x5415.(2022江西 ,19,8分 )圖 1是一種折疊門 ,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成 ,整個(gè)活頁 門的右軸固定在門框上 ,通過推動(dòng)左側(cè)活頁門開關(guān) .圖 2是其俯視簡化示意圖 ,已知軌道 AB=120 cm,兩扇活頁門的寬 OC=OB=60 cm,點(diǎn) B固定 ,當(dāng)點(diǎn) C在 AB上左右運(yùn)動(dòng)時(shí) ,OC與 OB的長度不變 (所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位 ). (1)若 ∠ OBC=50176。,求 AC的長 。 (2)當(dāng)點(diǎn) C從點(diǎn) A向右運(yùn)動(dòng) 60 cm時(shí) ,求 O在此過程中運(yùn)動(dòng)的路徑長 . 參考數(shù)據(jù) :sin 50176?！?,cos 50176?！?,tan 50176?！?,π取 . ? 解析 (1)如圖 ,過點(diǎn) O作 OD⊥ AB于點(diǎn) D, ? 在 Rt△ OBD中 , BD=OBcos∠ OBD=60cos 50176?！?60=(cm). ∵ OC=OB,∴ BC=2BD. ∴ AC=ABBC=1202=(cm). (2)如圖 , ? ∵ AB=120 cm,AC=60 cm, ∴ BC=ABAC=60 cm. ∵ OC=OB=60 cm,∴ BC=OC=OB, ∴ △ OBC為等邊三角形 ,∴∠ OBC=60176。. ∵ 點(diǎn) O的運(yùn)動(dòng)路徑為 ? , ∴ 點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)的路徑長為 ? =20π=(cm). OC︵60 60180? ?思路分析 (1)過點(diǎn) O作 OD⊥ AB于點(diǎn) D,先根據(jù) ∠ OBC的余弦求出 BD,然后根據(jù)等腰三角形的 性質(zhì)求得 BC,進(jìn)而求得 AC的長 。(2)點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn) B為圓心 ,OB長為半徑的圓弧 ,先確定當(dāng) 點(diǎn) C從點(diǎn) A向右運(yùn)動(dòng) 60 cm后 ∠ OBC的大小 ,進(jìn)而利用弧長公式求出結(jié)果 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ,根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確 理解點(diǎn) O的運(yùn)動(dòng)路徑 . 16.(2022云南昆明 ,19,7分 )小婷在放學(xué)路上 ,看到隧道上方有一塊宣傳“中國 ——南亞博覽 會(huì)”的豎直標(biāo)語牌 CD,她在 A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端 D處的仰角為 42176。,測得隧道底端 B處的俯角為 30176。(B,C,D在同一條直線上 ),AB=10 m,隧道高 m(即 BC= m),求標(biāo)語牌 CD的長 (結(jié)果保留小 數(shù)點(diǎn)后一位 ). (參考數(shù)據(jù) :sin 42176?！?,cos 42176?！?,tan 42176。≈ ,? ≈ ) ? 3解析 如圖 ,過點(diǎn) A作 AE⊥ BD于點(diǎn) E,? (1分 ) ? 由題意得 ∠ DAE=42176。,∠ EAB=30176。, 在 Rt△ ABE中 ,∠ AEB=90176。,AB=10,∠ EAB=30176。, ∴ BE=? AB=? 10=5.? (2分 ) ∵ cos∠ EAB=? , ∴ AE=ABcos 30176。=10? =5? .? (4分 ) 在 Rt△ DEA中 ,∠ DEA=90176。,∠ DAE=42176。, ∵ tan∠ DAE=? , ∴ DE=AEtan 42176?！?5? =? ,? (5分 ) 12 12AEAB323DEAE3 932∴ CD=BE+EDBC=5+? ≈ (m).? (6分 ) 答 :標(biāo)語牌 CD的長約為 m.? (7分 ) 932思路分析 作 AE⊥ BD于點(diǎn) E,構(gòu)造直角△ DEA和直角△ ABE,解直角△ DEA和直角△ ABE,求得 BE,DE的長 ,進(jìn)而可求出 CD的長度 . 方法總結(jié)