關于地震問題的數(shù)學模型探究(數(shù)學建模)(編輯修改稿)
2025-07-06 22:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 有地震波中，P波擁有最快的傳遞度速，因此地震發(fā)生時，P波是最早抵達測站，并被地震儀紀錄下來的地震波，這也是P波名稱的由來。P波的P也能代表壓力（pressure），來自于其震動傳遞類似聲波，屬于縱波的一種(或疏密波)，傳遞時介質(zhì)的震動方向與震波能量的傳播方向平行。對于地球內(nèi)部構造的了解和推論，大部分是藉由觀測地震波中的體波。地震波在不同介質(zhì)有不同傳播時間和路徑，在介質(zhì)交界面時會產(chǎn)生反射、折射，以及相位的改變，地震學家利用這些特性來獲得地球內(nèi)部資訊。當體波穿越地球液態(tài)層時，P波在經(jīng)過下部地函與外地核時會稍許折射。造成P波在104176。至140176。間會有陰影區(qū)，即地震儀記錄不到?！ 波（Swave or secondary wave）是二種體波（體波的命名是因為此波穿越地球內(nèi)部，相對于體波的是表面波）中之一。它是因地震而產(chǎn)生的，被地震儀記錄下來。命名為S波（secondary wave）是因為它的速度僅次于P波（最快的地震波）。S波的S也可以代表剪力波(shear wave)，因為S波是一種橫波，地球內(nèi)部粒子的震動方向與震波能量傳遞方向是垂直的。S波與P波不同的是，S波無法穿越外地核。所以S波的陰影區(qū)正對著地震的震源。地震走時是指地震波從震源傳到觀測點所經(jīng)過的時間。地震縱波和橫波傳播的速度不同，同一距離傳播時間也不同。傳播時間的長短，還受到所經(jīng)之處的物質(zhì)組成情況的影響，準確地測出走時，對研究地震有重要意義。假定地面是一個平面，在這個平面上建立坐標系見圖5。圖5中給出了10個地震觀測站點（A—J）的坐標位置。圖5 地震觀測站點示意圖2009年4月1日某時在某一地點發(fā)生了一次地震，圖5中10個地震觀測站點均接收到了地震波，觀測數(shù)據(jù)見表1。地震觀測站橫坐標x（千米）縱坐標y（千米）接收地震波時間A50033004月1日9時21分9秒B3002004月1日9時19分29秒C80016004月1日9時14分51秒D140022004月1日9時13分17秒E17007004月1日9時11分46秒F230028004月1日9時14分47秒G250019004月1日9時10分14秒H29009004月1日9時11分46秒I320031004月1日9時17分57秒J34001004月1日9時16分49秒表1 地震觀測站坐標及接收地震波時間假定地震波在各種介質(zhì)和各個方向的傳播速度均相等，并且在傳播過程中保持不變。現(xiàn)在需要根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)確定這次地震的震中位置、震源深度以及地震發(fā)生的時間。由于P波和S波傳播的速度不同，我們采用均勻介質(zhì)模型，后引入虛波，利用公式“路程=距離時間”建立模型，提出一種線性單事件模型。設震源坐標為，發(fā)震時刻為，臺站的坐標為，P波、S波到時分別為，震源到臺站i的距離為。采用均勻介質(zhì)模型，設P波、S波速度分別為，引入虛波速度：，則有： ，從而 （4）對臺站i有： ， （5）對臺站j有： ， （6）將方程(5), (6)展開后相減，即可消去二次項，得到線性方程： ， （7）其中。將方程(7)用于3對以上的臺站，即得到一關于的線性方程組，從而反演得到震源位置。 由于表示臺站高度，當臺站不具有深度時，遠小于和，使得方程組(7)的系數(shù)矩陣具有奇異性，導致解發(fā)散?？梢酝ㄟ^其它方法單獨求解：取震中解，將其代入(5)式求得，將各個臺站求得的的平均值作為震源深度的解。這樣的誤差僅決定于震中的定位誤差和中的到時讀數(shù)誤差（二者均是可控的），從根本上解決了無法得到震源深度有效信息的問題。 關于發(fā)震時刻，有方程：， （8）將方程(8)用于各個臺站，求各的平均值作為發(fā)震時刻的解。由于完全取決于到時(見(4)式)，所以和震源的求解完全獨立，其誤差的唯一來源是到時讀數(shù)的誤差，只要到時讀數(shù)足夠精確，即使震源定位誤差很大，也可求得很精確的。采用奇異值分解(SVD)的廣義逆求解。將方程組表示為： ， （9）其中 對矩陣進行奇異值分解：， （10）其中滿足：，奇異值是矩陣的p個非零本征值的正平方根。則方程組（9）的廣義逆解為：. （11）因為原始方程組即為線性，故求解過程不需要迭代，也不存在初值選取問題。并且矩陣的計算只需要簡單的算術加減，非常容易，計算量小。 當?shù)臈l件數(shù)很大時，可以采用阻尼廣義逆解： ， （12）其中為單位矩陣，為阻尼系數(shù)，取值隨情況而變，對于震中解，的取值一般在0~1之間。本文直接采用(11)式求震中解。前已述及，當臺站不具有深度時，(7)式中的遠小于和，這表現(xiàn)為矩陣的3個奇異值中，最小值遠小于其它兩個奇異值，即的條件數(shù)很大。而對應模型空間中z方向的信息，故深度誤差已將到時讀數(shù)誤差（包含在中）放大了許多倍，用廣義逆及阻尼廣義逆均無法得到深度的有效信息。本模型充分利用臺站與震源的距離可由P波和S波的到時差事先確定的特點，直接由簡單的距離關系求得震源深度，避免了矩陣奇異問題。但是臺站一旦具有深度，增大，矩陣的條件數(shù)將很快減小，此時廣義逆解中的深度解將獲得很大改善。再次利用可事先確定的特點，使與震源參數(shù)完全解耦，發(fā)震時刻解的精度完全不受震源定位精度的影響。選取哪兩個臺站的方程相減構成方程組，對定位結果有著很大的影響。將臺站按照所有可能進行兩兩組合，這是一種操作最簡單的“盲組合”，并且含有的物理信息也最豐富，實驗證明這樣的定位結果是最理想的（圖6）。本文分別用dis,ddep,dt表示震中、震源深度和發(fā)震時刻的定位誤差。
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