行列式教學(xué)中的幾個(gè)根本性問(wèn)題4頁(yè)(編輯修改稿)
2025-07-04 22:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解是多此一舉。許多數(shù)學(xué)書(shū)上對(duì)此定義方法早有定論。比如在[1]中明確地指出主元連乘積法是現(xiàn)有的行列式的三種定義方法之一。不知什么原因，得不到重視。中國(guó)直到2012年游宏教授的教材[2]中才首次見(jiàn)到其推導(dǎo)證明。三、 高階行列式的三種定義方法可以認(rèn)為三種高階行列式定義方法都是從二、三階行列式從形式上向上演繹而得出的。顯式法是從各元素下標(biāo)的排列組合規(guī)律向上演繹，代數(shù)余子式法是從矩陣按行展開(kāi)的規(guī)則進(jìn)行演繹，而主元連乘積法則是從消元法所得上三角矩陣向上演繹的。1．顯式法：按照這個(gè)定義，nn矩陣的行列式中每一項(xiàng)將由不同行不同列的n個(gè)矩陣元素乘積組成(即要做n1次乘法)，這些項(xiàng)應(yīng)該能覆蓋所有可能的排列方式，根據(jù)排列理論，行列式將有N=n!項(xiàng)相加。即使n=10，N將達(dá)3628800，而需要的乘法次數(shù)為n(n1)!之多，而每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)將由這n項(xiàng)下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，還需要更多的計(jì)算量。所以顯式法也稱(chēng)為‘大公式’法。顯式法中的逆序和排列計(jì)數(shù)對(duì)非數(shù)學(xué)系的大學(xué)新生往往是攔路虎。而它的運(yùn)算量不僅超越了人們筆算可能性，也超越了計(jì)算機(jī)的能力。一個(gè)25階的行列式若按這個(gè)大公式來(lái)算，用每秒1萬(wàn)億次的超級(jí)計(jì)算機(jī)，也要算1200萬(wàn)年才能得出結(jié)果。這種現(xiàn)象在計(jì)算數(shù)學(xué)上稱(chēng)為“維數(shù)災(zāi)難”。所以它的主要用途是數(shù)學(xué)推理，搞數(shù)學(xué)的當(dāng)然不可缺少，但在應(yīng)用上并沒(méi)有多少價(jià)值。2．代數(shù)余子式法，其思路是將nn矩陣的行列式化為n個(gè)(n1)(n1)較小的行列式（考慮正負(fù)號(hào)后稱(chēng)為代數(shù)余子式）的線性組合。逐級(jí)分解，可以減少高階行列式的計(jì)算量；逐級(jí)綜合，就可由n1階行列式向上定義n階行列式。因?yàn)槎A行列式要兩次乘法，按照這個(gè)方法，三階行列式要三個(gè)二階行列式的線性組合，即要3+3*2=9次乘法，四階行列式要4+4*9=40次乘法，…依此類(lèi)推，當(dāng)n很大時(shí)，要算的是n!個(gè)二階行列式的線性組合，近似為2n!次乘法。因此，這種方法的計(jì)算量與顯式法相差不大，其主要好處是可以避開(kāi)逆序定義和排列組合理論，但不可能成為有實(shí)用計(jì)算價(jià)值的方法。3．主元連乘法，它的核心是高斯消元法，通過(guò)等價(jià)變換消元，
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