行列式教學中的幾個根本性問題4頁(編輯修改稿)
2025-07-04 22:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解是多此一舉。許多數(shù)學書上對此定義方法早有定論。比如在[1]中明確地指出主元連乘積法是現(xiàn)有的行列式的三種定義方法之一。不知什么原因，得不到重視。中國直到2012年游宏教授的教材[2]中才首次見到其推導證明。三、 高階行列式的三種定義方法可以認為三種高階行列式定義方法都是從二、三階行列式從形式上向上演繹而得出的。顯式法是從各元素下標的排列組合規(guī)律向上演繹，代數(shù)余子式法是從矩陣按行展開的規(guī)則進行演繹，而主元連乘積法則是從消元法所得上三角矩陣向上演繹的。1．顯式法：按照這個定義，nn矩陣的行列式中每一項將由不同行不同列的n個矩陣元素乘積組成(即要做n1次乘法)，這些項應(yīng)該能覆蓋所有可能的排列方式，根據(jù)排列理論，行列式將有N=n!項相加。即使n=10，N將達3628800，而需要的乘法次數(shù)為n(n1)!之多，而每項的正負號將由這n項下標排列的逆序數(shù)決定，還需要更多的計算量。所以顯式法也稱為‘大公式’法。顯式法中的逆序和排列計數(shù)對非數(shù)學系的大學新生往往是攔路虎。而它的運算量不僅超越了人們筆算可能性，也超越了計算機的能力。一個25階的行列式若按這個大公式來算，用每秒1萬億次的超級計算機，也要算1200萬年才能得出結(jié)果。這種現(xiàn)象在計算數(shù)學上稱為“維數(shù)災(zāi)難”。所以它的主要用途是數(shù)學推理，搞數(shù)學的當然不可缺少，但在應(yīng)用上并沒有多少價值。2．代數(shù)余子式法，其思路是將nn矩陣的行列式化為n個(n1)(n1)較小的行列式（考慮正負號后稱為代數(shù)余子式）的線性組合。逐級分解，可以減少高階行列式的計算量；逐級綜合，就可由n1階行列式向上定義n階行列式。因為二階行列式要兩次乘法，按照這個方法，三階行列式要三個二階行列式的線性組合，即要3+3*2=9次乘法，四階行列式要4+4*9=40次乘法，…依此類推，當n很大時，要算的是n!個二階行列式的線性組合，近似為2n!次乘法。因此，這種方法的計算量與顯式法相差不大，其主要好處是可以避開逆序定義和排列組合理論，但不可能成為有實用計算價值的方法。3．主元連乘法，它的核心是高斯消元法，通過等價變換消元，
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