二次函數(shù)周長最小問題(編輯修改稿)
2025-07-04 15:20 本頁面
【文章內容簡介】 AC上存在點Q，使得△QBD的周長最小，Q點的坐標為（，－），矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點．（Ⅰ）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；（Ⅱ）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．OABxyCDOABxyCDED′（備用圖）解：（Ⅰ）如圖1，作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′ 與x軸交于點E，連接DEOABxyCDED′圖1E′若在邊OA上任取點E′（與點E不重合），連接CE′、DE′、D′E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE可知△CDE的周長最小∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，∴＝∴OE＝BC＝3＝1∴點E的坐標為（1，0） 6分OABxyCDED′圖2FG（Ⅱ）如圖2，作點D關于x軸的對稱點D′，在CB邊上截取CG＝2，連接D′G與x軸交于點E，在EA上截取EF＝2，則四邊形GEFC為平行四邊形，得GE＝CF又DC、EF的長為定值，∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，∴＝∴OE＝BG＝(BC－CG)＝1＝∴OF＝OE＋EF＝＋2＝∴點E的坐標為（，0），點F的坐標為（，0） 10分，拋物線y＝ax 2＋bx＋4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點
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