專題講座數(shù)學(xué)思想方法在直線與圓中的運用(編輯修改稿)
2025-07-04 13:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3． 直線L經(jīng)過點（1,2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線L的方程。4． 直線L經(jīng)過點（2,3），且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，求直線L的方程 直線L經(jīng)過點，且與圓相切，求直線L的方程例6．已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0）。求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線。解析：如圖，設(shè)直線MN切圓O于N，則動點M組成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ0) ，∵圓半徑|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|2－1，設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），則，整理得：，經(jīng)檢驗，坐標(biāo)適合這個方程的點都屬于集合P，故這個方程為所求的軌跡方程。當(dāng)λ=1時，方程化為 ，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點；當(dāng)λ≠1時，方程化為，它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為 ，半徑為。點評：本題在求出軌跡方程之后，在判定為何曲線時，因參數(shù)引起了分類討論：一些問題中的數(shù)學(xué)表達式中因含有會導(dǎo)致不同結(jié)論的參數(shù)，從而需對參數(shù)分情況討論，求得問題的結(jié)果。練習(xí)2答案 例5 已知直線(a2)y=(3a1)x1 (1)求證無論a為何值，直線總過第一象限．(2)為使這直線不過第二象限，求a的范圍． 解 (1)將方程整理得為a(3xy)+(x+2y1)=O對任意實數(shù)a，恒過直線3xy=O與x2y+1=0的交點(，)， ∴直線系恒過第一象限內(nèi)的定點(，)； (2)當(dāng)a=2時，直線為x=不過第二象限；當(dāng)a≠2時，直線方程化為：y=x，不過第二象限的充要條件為 或 a2，總之，a≥2時直線不過第二象限． 例6 過點P(2，1)作直線l，與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，| PA|| PB|的最小值及此時l的方程． 分析 本題除了用斜率、角度作為參數(shù)外，我們再給出以直線的參數(shù)方程來求解的方法． 解 設(shè)直線AB的傾斜角為(), 則直線AB的參數(shù)方程為 令x=O，則得B點所對應(yīng)的參數(shù)t=， 令y=O，則得A點所對應(yīng)的參數(shù)t= ∴|PA||PB|=||||= 當(dāng)a=時|PA||PB|有最小值4，此時直線l的方程為 即練習(xí)3練習(xí)3答案 根據(jù)給定條件求直線和圓方程時，待定系數(shù)法和代點法是常用的方法．例7 已知直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過一定點P(6，2)，求直線的方程． 解法一 設(shè)直線l的方程為+=1． ① ∵直線l過點(6，2)， ∴=1． ② 又∵a=b+1．代入②整理得b23b+2=O，解之b1=1，b2=2，∴a1=2，a2=3．代入①得所求的直線方程為x+2y2=O或2x+3y6=O． 解法二 設(shè)所求直線l的斜率為k，又直線l過定點P(6，2)，于是直線l的方程是y+2=k(x6)，即+=+6k+2=1,∴k=或k=.∴直線l的方程是y+2=(x6)或y+2=(x6)，即x+2y2=O或2x+3y6=O． 例8 已知△ABC中，A點坐標(biāo)為(1，2)， AB邊和AC邊上的中線方程分別為5x
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