【文章內(nèi)容簡介】 給定的集合內(nèi)，可以取任一值的量。 ?隨機變量可能是連續(xù)的，也可能是離散的。離散型隨機變量 (discrete random variable)只能取到有限多個 (或是可列有限多個 )數(shù)值。連續(xù)型隨機變量 (continuous random variable)可以取某一區(qū)間范圍內(nèi)的任意值。 事件的概率：古典定義或先驗定義 ?如果一隨機試驗的 n個結(jié)果互斥且每個結(jié)果等可能發(fā)生，并且事件 A含有 m個基本結(jié)果，則事件 A的發(fā)生的概率 ( probability )即 P(A)就是： nmAP ?)(定義有兩個特征 ? 試驗的結(jié)果必須 互斥 (mutually exclusive)—即它們不能同時發(fā)生。 ? 試驗的每個結(jié)果 等可能發(fā)生(equally likely)—例如，擲一顆骰子出現(xiàn)任何一個數(shù)字的機會均等。 概率的性質(zhì) ?事件的概率在 0～ 1之間。因而，事件 A的概率滿足： 0≤P(A)≤1 。 ?若事件 A， B， C為互斥事件，且為一完備事件組，則事件和的概率為 1。即P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1 。 ?事件 A， B， C稱為相互獨立的事件， ABC同時發(fā)生的聯(lián)合概率是 ABC邊緣概率的乘積：P(ABC)= P(A)P(B)P(C)。 ?若事件 A， B不是互斥事件，則有：P(A+B)=P(A)+P(B)－ P(AB)。 ?在事件 B發(fā)生條件下事件 A的條件概率(conditional probability)。用符號 P(A｜ B)表示： )()()(BPABPBAP ?獨立與互斥（不相容）的區(qū)別： ?兩事件 A、 B相互獨立是指事件 A出現(xiàn)的概率與事件 B是否出現(xiàn)沒有關(guān)系。 ?若 A、 B獨立，但 AB≠248。，則 AB非互斥。 ?A、 B互斥是指事件 A的出現(xiàn)必導致 B的不出現(xiàn)，即 P(AB)＝ 0。 互斥、相互獨立、BABPAPBAPBABPAPABP??????)()()()()()(概率密度函數(shù) ? 離散型 隨機變量 (a discrete random variable)的概率密度函數(shù) (probability distribution or probability density function， PDF) ???????iixXnixXPXf當當???.0,3,2,1)。()(概率密度函數(shù) ? 連續(xù)型 隨機變量 (a continuous random variable)的 概率密度函數(shù) (PDF): 的概率密度函數(shù)。是是連續(xù)型隨機變量，則有使對于任意實數(shù)，存在非負函數(shù)的分布函數(shù)對于隨機變量XxfXdttfxFxxfxFXx)()()()()(? ???分布函數(shù)（ cumulative distribution function， CDF） ?????????xdttfxXPXFXfxXPXF)()()()()()(＝連續(xù)型隨機變量：離散型隨機變量：全概和逆概公式、貝努利公式 。，發(fā)生的概率為注：事件＝次”發(fā)生“│││是完備事件組。，，注：│pqpAqpCkAPBAPBPBAPBPAPABPABPBBBBAPBPAPknkkniniijjjjninii??????????1)()()()()()()()()()()(1211?二維隨機變量（ ξ， η）分布的性質(zhì) ),(),(),(),(),(],(],()3(。1),(,0),(。0),(),()2(。1),(0)1(1121122221212121yxFyxFyxFyxFyyxxPyyxxFFxFyFyxF??????????????????????????????的概率是：矩形區(qū)域、）落在，隨機點（連續(xù)型二維隨機變量性質(zhì)： dxdyyxxFxxFyxPxPxFd x d yyxGyxPyxyxyxFd x d yyxd x d yyxyxFxGx y? ???? ?? ????????????????? ?????????????????????]),([)(),)(5(),(},{)()()4(),(}),{()3()。,(),()2(。1),(),(),()1(2???????????的邊緣分布函數(shù)：關(guān)于二階混合偏導離散型二維隨機變量（ ξ ， η ）的條件分布律 ),2,1()(),()(,)2(),2,1()(),()(,)1(????????????????????jppxPyxPxyPxippyPyxPyxPyiijijiijijijjjijij??????????????????的條件分布律：下＝）在條件（的條件分布律：下＝）在條件（連續(xù)型二維隨機變量（ ξ ， η ）的條件分布律 ??????xdxyxyxFyyxyxyyx）（其條件分布函數(shù)是：）（：的條件分布密度函數(shù)是下，則在條件的密度函數(shù)為?????????????)()(),(),(),(隨機變量的獨立性判斷 ）（）（）（連續(xù)型的：）離散型的：（是相互獨立的。與則稱隨機變量有：，若對于所有、及是緣分布函數(shù)分別）的聯(lián)合分布函數(shù)、邊，設隨機變量（yxyxpppyFxFyxFyxyFxFyxFjiij?????????????????????,)2(1)()(),(,)()(),(隨機變量的數(shù)字特征 ?（ 1）期望值：集中趨勢的度量 ???????iiiiiipxfEfpxE)()()(。)(?????時：當隨機變量函數(shù)為離散型隨機變量時：當???????????????dxxxfEfdxxxEx)()()()()()()(?????????時：當隨機變量函數(shù)時：的密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機變量，當期望值的性質(zhì) )()()()5()()4()()3()()(2)()()1(??????????????EEEEEECECEECCECCCE????????????相互獨立，則與若）（為常數(shù)?（ 2）方差：離散程度的度量 ??????????dxxExDxpExDiii)()()()(22?????連續(xù)隨機變量：離散隨機變量：方差的性質(zhì) 22222)()5(),c o v (2)()4()()3()()2(0)1(?????????????EEDabDbDabaDDCCDDCDDC???????????（ 3）協(xié)方差：度量兩變量同時變動的情況 ),c o v (),c o v (),c o v ()4(),c o v (),c o v ()3(),c o v (),c o v ()2(),c o v (1)()()()])([(),c o v (2121????????????????????????????????????????abbaDEEEEEE）（協(xié)方差的性質(zhì)：（ 4）相關(guān)系數(shù)：刻畫兩變量之間 的相關(guān)程度 線性相關(guān)以概率與相互獨立，則與）若（）－（相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11)3(02111),c o v (???????????????????????DD（ 5）條件期望值 dyxyfyxXYExXYfYxXYEY?????????????)()()()(*條件期望的性質(zhì)： )()]([)4()()(])([)()3()()(])[()2()()()1(XEYXEEYXEYgYYgXEYYgZYbEZXaEZbYaXEXEYXEYX????????條件期望：條件期望的期望等于無的實值函數(shù)：是當條件期望具有線性性：變?yōu)榱藷o條件期望：相互獨立，則條件期望與若（ 6）條件方差 222)]([)(})]({[)(YXEYXEYYXEXEYXD????)]([)]([)()]}([{})]({[)]([)]([)(})]({[)]([)]([)(2222222YXEDYXDEXDYXEEYXEEYXDEXEXEYXEEYXDEYXEEXE??????????補充：切比雪夫不等式 22)(1})({)2()(})({1)()(?????????????DEPDEPDE???????）（，則有：和方差具有數(shù)學期望設隨機變量統(tǒng)計動差（矩） ——原點動差（ moment about the origin） ? K階原點動差 ? 當 K＝ 0時，零階原點動差恒為 1； ? 當 K＝ 1時，一階原點動差為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)； ? 當 K＝ 2時，二階原點動差為平方均數(shù)。 ffxu KK ?????K階中心動差 ?當 K＝ 0時，零階中心動差恒為 1； ?當 K＝ 1時，一階中心動差恒為 0； ?當 K＝ 2時，二階中心動差就是方差。 ?變量數(shù)列的集中與離中趨勢可以用一階原點動差和二階中心動差來表示。 統(tǒng)計動差（矩） ——中心動差 (central moment) ffxxvKK?????)(偏度（ skewness）的測度 ?統(tǒng)計學中的算法 (指標：矩偏度系數(shù) )： ?計量經(jīng)濟學中的算法： 標準差的三次方三階中心矩??? ???3)(333??? ffxxv二階中心矩的立方三階中心矩的平方）（）（??? ???322)(32233)()(??ffxxvs?偏度的數(shù)值在－ 3到＋ 3之間， 0表示對稱分布，+3表示極端右偏， 3表示極端左偏。絕大多數(shù)變量分布偏度在 0與 177。 1之間。 X 0?? 0?? 0?? 補充： Pearson第一、第二偏度系數(shù) sMXp e a r s o nsMXp e a r s o neAoA）－（第二偏度系數(shù)第一偏度系數(shù)3???峰度（ kurtosis）的測度 二階中心矩的平方四階中心矩）（?????????2)()(4424ffxxffxxvK??統(tǒng)計學中的算法（指標： 矩峰度系數(shù) ）： ?計量經(jīng)濟學中的算法： 3332)()(4424????????????二階中心矩的平方四階中心矩）（ ffxxffxxv??峰度的判定 ?統(tǒng)計學中的算法： β＞ 0，分布曲線呈尖峰態(tài)； β＜ 0，分布曲線呈低峰態(tài)。 ?計量經(jīng)濟學中的算法： K＞ 3，分布曲線呈尖峰態(tài)； K＜ 3，分布曲線呈低峰態(tài)。 樣本均值、樣本方差 樣本協(xié)方差、樣本相關(guān)系數(shù) nXXnii??? 11)(122?????nXXSniix1))((),c o v (???? ?nYYXXYX ii樣本yxni