【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 TPBCO σ ( rx)E ( rx)圖 投資機(jī)會(huì)集合 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 對(duì)于一個(gè)聰明理智的投資者來(lái)說(shuō)，如果給定風(fēng)險(xiǎn)水平或者說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)差，他喜歡預(yù)期收益率高的投資機(jī)會(huì)；如果給定預(yù)期收益率水平， 他喜歡風(fēng)險(xiǎn)低的投資機(jī)會(huì)。于是我們定義如下的最小方差集合： 機(jī)會(huì)集合中的一個(gè)證券組合， 如果具有下述性質(zhì)：沒(méi)有其他的證券組合在與之相同的預(yù)期收益率水平下能達(dá)到更小的風(fēng)險(xiǎn) (標(biāo)準(zhǔn)差 )， 則我們稱它為最小方差證券組合。最小方差證券組合的全體， 我們稱為最小方差集合。 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 顯然， 最小方差集合是機(jī)會(huì)集合的子集，是由證券組合的組合線上具有最小風(fēng)險(xiǎn)的證券組合的包絡(luò)線組成。 由于投資者所面臨的投資條件不同， 受到的投資約束不同， 最小方差集合的形狀也不同，因此最小方 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 下面我們來(lái)尋求最小方差集合， 為此考慮一個(gè)證券組合 X， 它由 N個(gè)證券組成， 每個(gè)證券的預(yù)期收益率為 ，方差記為 ，證券間的協(xié)方差記 、 于是證券組合的收益率 的方差 可以表示成 在給定預(yù)期收益率水平之下， 如何選擇證券組合的權(quán)重，使證券組合具有最小方差呢 ? ? ?irE 2i? ? ? ijiij ,??1 , 2 , ,jn? Xr ? ?Xr2?? ? VXXr TX ?2? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 記 為確定最小方差集合， 我們考慮如下優(yōu)化模型， 即一般的馬柯維茨模型 這是一個(gè)等式約束的極值問(wèn)題，我們可以構(gòu)造Lagrange函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?12, , , Tne E r E r E r? ? ????????????????XTniiTrEeXxtsVXX11..21m in? ? ? ?? ? ? ?1, , 1 12 T T TXL X X V X E r X e X? ? ? ?? ? ? ? ? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 根據(jù) Lagrange乘數(shù)法解得 () 得 () 10L V X eX ??? ? ? ? ??? ? 0TXL E r X e?? ? ? ??1 1 0TL X?? ? ? ??? ? ? ?2 XXr E r? ? ???11 1X V e V?????? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 （ 4． 26）分別左乘 和 得 記 T1 Te111 1 1 1TTV e V??????? ? 11 1TTXE r e V e e V??????1112111TTTA V eB e V eCVBAD B C AAC???? ????????? ? ? ??? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 ? ?XX f h E r??于是解方程組得 將 代入（ ），得 ( ) 其中 ? ?? ??????????DrAEBDArCEXX??? ?? ?11111111????????AVeCVDheAVBVDf,???? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 注意 2 1 12( ) ( )()( ) ( )()( ( ) ) 2 ( )TTxTTxxxxxxr x Vx x V V e Vx e xErB AE r C E r AErDDC E r AE r CD? ? ???????? ? ????????????11 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 為求全局最小方差資產(chǎn)組合點(diǎn)，令： 得到 于是可解得 2 2 ( ) 20() xxC E r Add E r D? ???2 1( ) ,xAErCC?? ?? ?? ?() 0xC E r AD????22() 1xABB A E r CB A DCD D CD CD C??? ?? ? ? ? ? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 從而得全局最小方差組合 又因?yàn)? 而 1111110g M VPTVVx V e V xC C V?????? ? ? ? ?111111111111211( ) ( )TTdgTTx V e VV e VV e V x xV e V??? ? ? ???????????? ? ?111 1 11 1 11112 1TTV e V? ? ? ???? ? ? ?1 1 1 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 我們有兩基金分離定理 定理 任一最小方差集合上的投資組合 都可以唯一地表示為全局最小方差 和可分散化資產(chǎn)組合 的組合。 我們將 代入 () () pxgx dx,????? ? ? ?22 1XXCAr E rC D C???? ? ?????? ?? ?2222211XXAErr CDCC??????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 （ ）式給出了證券組合權(quán)重與預(yù)期收益率的關(guān)系。（ ）式給出了證券組合預(yù)期收益率與方差的關(guān)系 ,且說(shuō)明在平面上面 有雙曲線形式，而在 平面上可有拋物線形式。在 平面上的拋物線，其頂點(diǎn)在 ,如圖 。 ? ? ? ?XX rrE ?~? ? ? ?XX rrE 2~ ? ? ? ? ?XX rrE 2~ ?1 , ACC???????? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 （通過(guò)上面的討論，在 平面上， 最小方差集合是雙曲線型，它能分成兩部分：上半部和下半部， 兩部分以頂點(diǎn)為分界點(diǎn)， 分界點(diǎn)代表了一個(gè)具有最小標(biāo)準(zhǔn)差的證券組合。顯然我們?cè)敢獬钟械淖C券組合是在頂點(diǎn)的上半部， 而不愿意持有的證券組合是在頂點(diǎn)的下半部。 ? ? ? ?XX rrE ?~ 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 E ( r )σ ( r )MCAC1E ( rx)σ2( r )C1CA圖 平面上的 一支雙曲線型 ? ? ? ?2~XXE r r? 圖 平面上的 拋物線 ? ? ? ?~XXE r r? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 最小方差集合在頂點(diǎn)上半部的證券組合集合稱為有效集合。 有效集合中所有證券組合符合以下準(zhǔn)則：給定某一標(biāo)準(zhǔn)差， 顯然最小方差集合在頂點(diǎn)的下半部分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的預(yù)期收益率 在上面確定最小方差集合的過(guò)程中， 權(quán)重約束為 ,求得的結(jié)果諸 中可能有為正的也有為負(fù)的，它反映了允許賣空的情形。 ???niix11ix 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 在有些情況下， 投資者把不進(jìn)行賣空作為一種投資策略，因此，討論在不允許賣空的約束下如何確定最小方差集合是必要的。這時(shí)在約束條件中需要加入 相應(yīng)的模型為 這是二次規(guī)劃模型。利用 KuhnTucker條件，可得到其解所滿足的必要條件。 0 , 0 , ,ix i n? ?? ? ?? ??VXX Tm in? ?????????????01..1XrEeXxtsXTnii 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 如果以三個(gè)證券 A， B， C在不許賣空的條件下考慮其證券組合的最小方差集合， 則它將由組合線 APSTC所確定(參見(jiàn)圖 )， 其中 PST部分與允許賣空時(shí)的最小方差集合相同，余者受限于機(jī)會(huì)集合中的證券的最高預(yù)期收益率和最低預(yù)期收益率。 下面我們?cè)賮?lái)看最小方差集合的證券組合權(quán)重的幾何意義。由于 對(duì)于一個(gè)由 n個(gè)證券組成的證券組合 X， 它的預(yù)期收益率和方差分別為 ? ?XrhEfX ??? ? ? ? ? ?21,nTX i i XiE r x E r r X V X??? ?? ?? 第三節(jié) 最小方差集合與有效集合 給定預(yù)期收益率時(shí)，證券組合的權(quán)重變化