【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 EI 1 EI 1 x x b /2 b /2 a /2 a /2 y y 對(duì)稱(chēng)軸 對(duì)稱(chēng)軸 k k l l EI EI 2．荷載的對(duì)稱(chēng)性 任何荷載都可以分解為兩部分：一部分是對(duì)稱(chēng)荷載，另一部分是反對(duì)稱(chēng)荷載。 對(duì)稱(chēng)荷載 —— 繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，對(duì)稱(chēng)軸兩邊的荷載彼此重合。 反對(duì)稱(chēng)荷載 —— 繞對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后，對(duì)稱(chēng)軸兩邊的荷載正好相反。 + = a a C F P a a C F P a 2 F P C 取對(duì)稱(chēng)基本體系的計(jì)算 計(jì)算對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)考慮利用對(duì)稱(chēng)的基本體系進(jìn)行計(jì)算。 可沿對(duì)稱(chēng)軸上梁的中間截面 C切開(kāi)，所得的基本體系是對(duì)稱(chēng)的。 根據(jù)力的對(duì)稱(chēng)性分析， X X2是對(duì)稱(chēng)力， X3是反對(duì)稱(chēng)力。 力法方程 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 P2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 P3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 P000X X XX X XX X Xd d dd d dd d d? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??對(duì)稱(chēng)未知力 X1和 X2所產(chǎn)生的彎矩圖和及變形圖是對(duì)稱(chēng)的； 反對(duì)稱(chēng)未知力 X3所產(chǎn)生的彎矩圖及變形圖是反對(duì)稱(chēng)的。 X 1 =1 2 F P X 3 X 3 X 1 X 1 X 2 X 2 X 2 =1 X 3 =1 因此，力法方程的系數(shù) 于是，力法方程可簡(jiǎn)化為 1 3 3 12 3 3 200dddd????1 1 1 1 2 2 1 P2 1 1 2 2 2 2 P3 3 3 3 P000XXXXXddddd? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ??力法方程的自由項(xiàng)，也同樣可以簡(jiǎn)化。 在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是對(duì)稱(chēng)的，而 圖是反對(duì)稱(chēng)的。 因此，反對(duì)稱(chēng)未知力 X3=0，只需用前兩式計(jì)算未知力 X1和 X2即可。 F P F P X 1 X 1 X 2 X 2 X 3 =0 F P F P 因此 3P 0??MP圖 3M在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是反對(duì)稱(chēng)的，而 圖和 圖是對(duì)稱(chēng)的。 此時(shí)，對(duì)稱(chēng)未知力 X1= X2=0，只需用式第三式計(jì)算反對(duì)稱(chēng)未知力 X3即可。 1M 2MF P F P X 1 = X 2 =0 X 3 F P F P 因此 1 P 2 P00? ? ? ? MP圖 從上述分析可得到如下結(jié)論： （ 1）對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，變形是對(duì)稱(chēng)的，支座反力和內(nèi)力也是對(duì)稱(chēng)的。因此，對(duì)稱(chēng)的基本體系在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，反對(duì)稱(chēng)的未知力必等于零，只需計(jì)算對(duì)稱(chēng)未知力。 （ 2）對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，變形是反對(duì)稱(chēng)的，支座反力和內(nèi)力也是反對(duì)稱(chēng)的。因此，對(duì)稱(chēng)的基本體系在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)的未知力必等于零，只需計(jì)算反對(duì)稱(chēng)未知力。 （ 3）若結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，外荷載不對(duì)稱(chēng)時(shí)，可將外荷載分解為對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載而分別計(jì)算，然后疊加。 取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算 根據(jù)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載作用下受力和變形的特點(diǎn)，可以利用半邊結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。 1．奇數(shù)跨對(duì)稱(chēng)剛架 （ 1）對(duì)稱(chēng)荷載作用 （ 2）反對(duì)稱(chēng)荷載作用 2．偶數(shù)跨對(duì)稱(chēng)剛架 （ 1）對(duì)稱(chēng)荷載作用 （ 2）反對(duì)稱(chēng)荷載作用 變形是對(duì)稱(chēng)的，對(duì)稱(chēng)軸上的截面 C移到對(duì)稱(chēng)軸上的 Cˊ，只有豎向位移，水平位移和轉(zhuǎn)角為零。 受力也是對(duì)稱(chēng)的，在對(duì)稱(chēng)軸截面 C上只有對(duì)稱(chēng)內(nèi)力 —— 彎矩和軸力，反對(duì)稱(chēng)內(nèi)力 —— 剪力等于零。 q C39。 C E B A D 1．奇數(shù)跨對(duì)稱(chēng)剛架 （ 1）對(duì)稱(chēng)荷載作用 因此，從對(duì)稱(chēng)軸切開(kāi)取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸截面 C處的支座可取為定向支座。 q C A D q C39。 C E B A D （ 2）反對(duì)稱(chēng)荷載作用 變形是反對(duì)稱(chēng)的，對(duì)稱(chēng)軸上截面 C移到 Cˊ， C點(diǎn)有水平位移和轉(zhuǎn)角，豎向位移為零。 受力也是反對(duì)稱(chēng)的，在對(duì)稱(chēng)軸截面 C上只有反對(duì)稱(chēng)內(nèi)力 —— 剪力，而對(duì)稱(chēng)內(nèi)力 —— 彎矩和軸力等于零。 F P E D C39。 C B A F P 因此，取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)， C端可取為可動(dòng)鉸支座。 F P C A D F P E D C39。 C B A F P 2．偶數(shù)跨對(duì)稱(chēng)剛架 （ 1）對(duì)稱(chēng)荷載作用 由變形的對(duì)稱(chēng)性可知， C點(diǎn)的水平位移和轉(zhuǎn)角等于零。柱 CD沒(méi)有彎矩和剪力（忽略柱 CD的軸向變形），只有軸力。 而 C點(diǎn)左右兩側(cè)的橫梁截面則有一對(duì)互相平衡的力矩、軸力以及和柱 CD軸力平衡的對(duì)稱(chēng)的剪力。 q F C E D B A 因此，沿對(duì)稱(chēng)軸切開(kāi)取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)， C端可取為固定支座。 q C E A q F C E D B A （ 2）反對(duì)稱(chēng)荷載作用 因變形的反對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)柱 CD有彎曲變形，對(duì)稱(chēng)軸上 C點(diǎn)經(jīng)變形移到 C′點(diǎn)，剛結(jié)點(diǎn) C有轉(zhuǎn)角，C點(diǎn)的豎向位移為零。 相應(yīng)的反對(duì)稱(chēng)受力情形是在對(duì)稱(chēng)軸上的柱 CD有彎矩和剪力，而無(wú)軸力。 F P I F C E B A C39。 D F P 如果從柱 CD切開(kāi)，即將柱 CD分解為兩根位于對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)而抗彎剛度為的分柱，則一個(gè)兩跨對(duì)稱(chēng)剛架分為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的單跨半結(jié)構(gòu)剛架，計(jì)算簡(jiǎn)圖可簡(jiǎn)化為圖示情形。 F P I F C E B A C39。 D F P F P C 1 I 2 D 1 A E 當(dāng)繪制出半邊結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖后，就可根據(jù)內(nèi)力圖圖形的對(duì)稱(chēng)關(guān)系或反對(duì)稱(chēng)關(guān)系畫(huà)出另一側(cè)半邊結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。 在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的彎矩圖、軸力圖是對(duì)稱(chēng)的，剪力圖是反對(duì)稱(chēng)的； 在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的彎矩圖、軸力圖是反對(duì)稱(chēng)的，剪力圖是對(duì)稱(chēng)的。 對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)計(jì)算舉例 例 13–4 求作圖示單跨對(duì)稱(chēng)剛架的彎矩圖。 6m 6m 20kN 2 EI 2 EI 3 EI 解 ：（ 1）對(duì)稱(chēng)性分析 三次超靜定對(duì)稱(chēng)剛架，非對(duì)稱(chēng)荷載。 可將其分解為對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載兩部分。 在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，忽略橫梁軸向變形，只有橫梁承受壓力 10kN，其他桿件無(wú)內(nèi)力。 反對(duì)稱(chēng)荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算如下。 10kN 10kN 10kN 10kN 6m 6m 20kN 2 EI 2 EI 3 EI （ 2）基本體系 在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，基本體系如圖所示。 （ 3）力法方程 X 1 10kN 10kN 10kN 10kN 1 1 1 1 P 0Xd ? ? ?（ 4）系數(shù)和自由項(xiàng) 10kN 10kN 60 60 X 1 10kN 10kN 3 3 3 3 X 1 =1 （ 5）解力法方程 111 1 2 12 [ ( 3 3 ) 3 (6 3 ) 3 ] 6 03 2 3 2E I E Id ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1P112 [ ( 6 6 0 ) 3 ] 5 4 022EI? ? ? ? ? ? ?1P111540 k N 9k N60X d?? ? ? ? ? ?1M圖 MP圖 （ 6）作彎矩圖 剛架彎矩圖如圖 1 1 PM M X M??27 27 27 33 33 M圖（ kNm） 等截面單跨超靜定梁 的桿端內(nèi)力 在超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算中，常常用到等截面單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力。 常用的等截面單跨超靜定梁有三種類(lèi)型，也叫做三種類(lèi)型單元。 l A B A l B A l 單跨超靜定梁由于荷載、溫度改變等作用所產(chǎn)生的桿端彎矩和桿端剪力，通常稱(chēng)為 固端彎矩 和固端剪力 。 上述固端力在位移法中經(jīng)常用到，為方便應(yīng)用，將其列于表中，以便查閱。 注意： —— AB桿 A端的彎矩，以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎? —— AB桿 A端的剪力，以使桿件繞另一端順時(shí)針旋轉(zhuǎn)者為正； qA—— 固定端 A的角位移，以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎? ?A—— 固定端或鉸支座的線位移，以使桿件繞另一端順時(shí)針旋轉(zhuǎn)者為正； i —— 桿件的線剛度 ，其大小為 i = EI / l b?—— 桿件的弦轉(zhuǎn)角 ，其大小為 b = ? / l ，以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎? FABMQFABF 位移法基本原理 與位移法典型方程 位移法基本原理 力法是以多余約束力作為基本未知量，通過(guò)變形條件建立力法方程，求出未知量后，再通過(guò)平衡條件來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)全部?jī)?nèi)力的一種計(jì)算方法； 位移法則是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，通過(guò)平衡條件建立位移法方程，求出位移后，利用位移和內(nèi)力之間的關(guān)系來(lái)計(jì)算桿件或結(jié)構(gòu)內(nèi)力的一種計(jì)算方法。 位移法的基本原理 圖示剛架在給定荷載作用下發(fā)生變形，在忽略桿件軸向變形條件下，結(jié)點(diǎn) C只發(fā)生角位移。 當(dāng)用位移法計(jì)算時(shí)，將結(jié)點(diǎn)角位移作為基本未知量。若能設(shè)法將位移求出，則 CB和 CA各桿的變形就可求出，從而可求出各桿的內(nèi)力。 q C q C q l 2 l 1 A EI 2 B C EI 1 現(xiàn)討論如何求基本未知量 qC，計(jì)算分為兩步： （ 1）增加約束，將結(jié)點(diǎn)位移鎖住。 原結(jié)構(gòu)變?yōu)閮筛o定桿件。荷載作用下的彎矩可用力法求出（可直接查表得到）。 這時(shí)，在結(jié)點(diǎn) C處的附加約束上產(chǎn)生了一個(gè)約束反力矩 F 1p 12 2 ql 1 ql 1 2 12 A B C q 21P 1 / 12F ql??規(guī)定約束反力矩以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎? q C q C q l 2 l 1 A EI 2 B C EI 1 （ 2）為了消除現(xiàn)結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的差別，使結(jié)點(diǎn) C產(chǎn)生角位移 qC 。 兩根超靜定桿在 C端有轉(zhuǎn)角 qC時(shí)彎矩圖可由力法求出（可直接查表得到） 。這時(shí)，由于結(jié)點(diǎn) C發(fā)生轉(zhuǎn)角而在附加約束上產(chǎn)生的約束反力矩為 u C u C q C q C B A 4 EI l 1 l 1 2 EI 1 q C 2 EI 2 l 2 F 11 F 1p 12 2 ql 1 ql 1 2 12 A B C q 1 1 1 1 2 2( 4 / ) ( 3 / )CCF E I l E I lqq??q C q C q l 2 l 1 A EI 2 B C EI 1 這里將實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力和變形分解成了兩部分： 一部分是荷載單獨(dú)作用下的結(jié)果。此時(shí)只有荷載作用，而無(wú)結(jié)點(diǎn) C的角位移；